Partiel d’analyse du premier semestre : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « partiel d’analyse du premier semestre », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures clôt l’analyse réelle du premier semestre de licence. Il commence par deux questions de cours démontrées : la limite monotone, qui repose sur la borne supérieure, puis l’égalité des accroissements finis déduite de Rolle. Ensuite, deux ensembles servent à manier la caractérisation epsilon et la propriété d’Archimède.
Les exercices 3 et 4 exigent des preuves de limites en epsilon, des suites extraites et le théorème des valeurs intermédiaires. Enfin, le problème réunit TVI et accroissements finis autour d’une suite récurrente qui converge vers un point fixe. Faites ce sujet en révision finale, quand les chapitres sur les réels, les suites, la continuité et la dérivation sont acquis.
Ce qu’évalue le contrôle : partiel d’analyse du premier semestre
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Inégalités, borne supérieure et propriété d’Archimède et Limite d’une suite : définition epsilon et théorèmes et Continuité, bijection continue et théorème de Heine et Nombre dérivé, théorème de Rolle et TAF (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer le théorème de la limite monotone et l’égalité des accroissements finis à partir du cours
- Déterminer une borne supérieure ou inférieure par la caractérisation epsilon et la propriété d’Archimède
- Prouver une limite de suite ou de fonction en revenant à la définition avec epsilon
- Utiliser des suites extraites ou des suites images pour établir une divergence ou une discontinuité
- Localiser un point fixe par le TVI, puis contrôler la vitesse de convergence d’une suite récurrente
Avant de commencer le devoir
Commencez par le cours, car ses deux preuves servent ensuite dans les exercices 2 et 5. Dans chaque preuve en epsilon, fixez d’abord \(\varepsilon\), puis exhibez explicitement le rang ou le réel \(\delta\) qui convient. Avant d’appliquer le TVI ou les accroissements finis, citez les hypothèses une à une. Le problème est long : gardez-lui une bonne heure. Ses questions s’enchaînent, mais vous pouvez admettre un résultat pour poursuivre.
Le sujet du contrôle : partiel d’analyse du premier semestre
Exercice 1 – Questions de cours démontrées (4 points)
Les démonstrations doivent être complètes. En revanche, on peut utiliser l’axiome de la borne supérieure et le théorème de Rolle sans les redémontrer.
- Énoncer l’axiome de la borne supérieure dans \(\mathbb{R}\). Donner ensuite la caractérisation de \(\sup A\) avec \(\varepsilon\) pour une partie \(A\) non vide et majorée.
- Soit \((u_n)\) une suite réelle croissante et majorée. Démontrer qu’elle converge vers \(\sup\left\{u_n : n \in \mathbb{N}\right\}\).
- Énoncer l’égalité des accroissements finis, puis la démontrer à l’aide du théorème de Rolle appliqué à une fonction auxiliaire bien choisie.
Exercice 2 – Deux bornes à justifier (3 points)
On considère les deux parties de \(\mathbb{R}\) suivantes :
\[A = \left\{ \frac{3n – 1}{n + 2} : n \in \mathbb{N} \right\} \quad \text{et} \quad B = \left\{ \frac{pq}{p^2 + q^2} : p \in \mathbb{N}^*,\; q \in \mathbb{N}^* \right\}.\]
Ainsi, la figure place sur une droite graduée les éléments de \(A\) obtenus pour \(n\) allant de \(0\) à \(14\).
- Écrire \(\frac{3n – 1}{n + 2}\) sous la forme \(3 – \frac{c}{n + 2}\). En déduire que \(A\) admet un plus petit élément, que l’on précisera. Montrer ensuite que \(\sup A = 3\) avec la caractérisation \(\varepsilon\), puis dire si cette borne est atteinte.
- Montrer que \(B\) admet un plus grand élément, que l’on déterminera. Prouver aussi que \(\inf B = 0\) et que cette borne inférieure n’est pas un minimum.
Exercice 3 – Limites de suites (3,5 points)
Les trois questions sont indépendantes. De plus, on note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière du réel \(x\).
- Pour \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \frac{4n + 3}{2n – 1}\). Démontrer, en revenant à la définition avec \(\varepsilon\), que \((u_n)\) converge vers \(2\).
- Pour \(n \geq 1\), on pose \(v_n = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \lfloor k\sqrt{2} \rfloor\). Encadrer \(\lfloor k\sqrt{2} \rfloor\), puis la somme, et en déduire la limite de \((v_n)\).
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(w_n = \frac{n}{n + 1}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)\). Cette suite est bornée. Montrer pourtant qu’elle diverge, en étudiant deux suites extraites bien choisies.
Exercice 4 – Continuité, limites et contre-exemples (3,5 points)
Les quatre questions sont indépendantes. Par exemple, la figure illustre la question c) avec une fonction continue quelconque du carré unité.
![Carré unité contenant la courbe d'une fonction continue g de [0 ; 1] dans [0 ; 1] et la diagonale y égale x qui la coupe](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/partiel-analyse-premier-semestre-controle-maths-l1-ex4-point-fixe.png)
- Démontrer avec \(\varepsilon\) et \(\delta\) que \(\lim_{x \to 2} \left(x^2 + x\right) = 6\).
- Pour \(x \neq 0\), on pose \(h(x) = \cos\left(\frac{\pi}{x}\right)\). Montrer, à l’aide de deux suites tendant vers \(0\), que \(h\) n’a pas de limite en \(0\). Peut-on prolonger \(h\) par continuité en \(0\) ?
- Soit \(g\) une fonction continue de \([0\,;\,1]\) dans \([0\,;\,1]\). Montrer que \(g\) admet au moins un point fixe.
- Montrer que la fonction \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \([0\,;\,+\infty[\). Expliquer ensuite pourquoi elle l’est sur \([0\,;\,5]\).
Exercice 5 – Problème : un point fixe approché (6 points)
On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \frac{1}{2 + x^2}\), et l’on pose \(I = \left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]\). Le but est d’approcher sans calculatrice l’unique réel \(\ell\) de \(I\) tel que \(f(\ell) = \ell\). La figure montre la courbe de \(f\) et la droite d’équation \(y = x\) sur \([0\,;\,1]\).
Partie A – Le point fixe
- Étudier les variations de \(f\) sur \(I\). En déduire que \(f(I) = \left[\frac{4}{9}\,;\,\frac{1}{2}\right]\), donc que \(f(I) \subset I\).
- On pose \(\varphi(x) = x – f(x)\) sur \(I\). Montrer que \(\varphi\) s’annule en un unique point \(\ell\) de \(I\). Justifier ensuite que \(\frac{4}{9} \leq \ell \leq \frac{1}{2}\), puis que \(\ell\) est racine du polynôme \(x^3 + 2x – 1\).
- Montrer que, pour tout \(x \in I\), on a \(\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{1}{4}\).
Partie B – Une suite qui converge vers \(\ell\)
On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
- Montrer que tous les termes de la suite appartiennent à \(I\). Calculer ensuite \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sous forme de fractions.
- Grâce à l’inégalité des accroissements finis appliquée à \(f\) sur \(I\), établir que \(\left|u_{n+1} – \ell\right| \leq \frac{1}{4}\left|u_n – \ell\right|\) pour tout \(n\). En déduire que \(\left|u_n – \ell\right| \leq \frac{1}{2} \times \frac{1}{4^n}\).
- Vérifier que \(4^n \geq n\) pour tout entier \(n\). Démontrer alors, avec la définition en \(\varepsilon\), que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
- Trouver un entier \(n_0\) tel que l’écart entre \(u_n\) et \(\ell\) ne dépasse pas \(10^{-3}\) dès que \(n \geq n_0\). Montrer que \(u_n – \ell\) et \(u_{n+1} – \ell\) sont de signes contraires, puis dire si \(u_5\) approche \(\ell\) par excès ou par défaut.
Réviser partiel d’analyse du premier semestre avant le contrôle
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Sujets proches à faire ensuite
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