Complexes et forme exponentielle en L1 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Quotient et module sans calcul inutile

On pose \(z = \dfrac{3 – 2i}{1 + 4i}\).

1. Écrire \(z\) sous forme algébrique.
2. En déduire \(\overline{z}\) et \(\mathrm{Re}(z)\).
3. Calculer \(|z|\) de deux façons : à partir de la forme algébrique, puis directement avec les propriétés du module.
4. Ensuite, sans développer, calculer le module de \(\dfrac{(3 – 2i)^4}{(1 + 4i)^2 (2 + 3i)^2}\).

Exercice 2 – Passer à la forme exponentielle

On considère \(z_1 = -2 + 2i\) et \(z_2 = \sqrt{3} – 3i\).

1. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme exponentielle.
2. En déduire la forme exponentielle de \(z_1 z_2\) et de \(z_1 / z_2\).
3. Calculer \(z_1^4\) et \(z_2^3\), puis montrer que \(z_1^4 / z_2^3\) est un réel dont on donnera la valeur exacte.
4. Enfin, déterminer les entiers \(n \geqslant 1\) tels que \(z_1^n\) soit un réel positif.

Exercice 3 – Linéariser un produit de puissances

1. À l’aide des formules d’Euler, linéariser \(\cos^3 x\) et \(\cos^5 x\).
2. En remarquant que \(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\), en déduire la linéarisation de \(g(x) = \cos^3 x \sin^2 x\).
3. Vérifier le résultat en \(x = 0\) et en \(x = \pi/3\).
4. Enfin, calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x \sin^2 x \, dx\) de deux façons différentes.

Exercice 4 – Racines carrées par identification

1. Déterminer sous forme algébrique les racines carrées de \(21 – 20i\).
2. De même, déterminer les racines carrées de \(8i\), d’abord sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
3. En déduire les solutions de l’équation \(z^4 = 8i\).

Exercice 5 – Racines quatrièmes de moins seize

1. Écrire \(-16\) sous forme exponentielle.
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^4 = -16\) ; donner les solutions sous forme exponentielle puis algébrique.
3. Placer ces solutions dans le plan et préciser la nature du quadrilatère qu’elles forment.
4. Enfin, en déduire une factorisation de \(X^4 + 16\) en produit de deux polynômes de degré 2 à coefficients réels.

Exercice 6 – Reconnaître une transformation du plan

Donner la nature et les éléments caractéristiques des transformations suivantes.

1. La transformation \(f_1 : z \mapsto iz + 3\).
2. Ensuite, \(f_2 : z \mapsto -2z + 3i\).
3. Puis \(f_3 : z \mapsto z + 1 – i\).
4. Enfin, \(f_4 : z \mapsto \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}\, z\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire

1. Rappeler le cas d’égalité dans l’inégalité \(|z + w| \leqslant |z| + |w|\).
2. Soit \(z\) un complexe. Montrer que \(|z – 1| + |z – i| \geqslant \sqrt{2}\).
3. Déterminer l’ensemble des complexes \(z\) tels que \(|z – 1| + |z – i| = \sqrt{2}\), et l’interpréter géométriquement.
4. Enfin, soit \(z_1, \dots, z_n\) des complexes non nuls tels que \(|z_1 + \dots + z_n| = |z_1| + \dots + |z_n|\). Montrer que tous les \(z_k\) ont un même argument.

Exercice 8 – Moivre et tangente de l’angle quadruple

1. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer \(\cos 4\theta\) et \(\sin 4\theta\) en fonction de \(c = \cos\theta\) et \(s = \sin\theta\).
2. En déduire que, lorsque les quantités sont définies, \(\tan 4\theta = \dfrac{4t – 4t^3}{1 – 6t^2 + t^4}\) avec \(t = \tan\theta\).
3. Ensuite, montrer que \(\tan(\pi/8)\) est racine du polynôme \(X^4 – 6X^2 + 1\).
4. Enfin, en déduire que \(\tan(\pi/8) = \sqrt{2} – 1\).

Exercice 9 – Sommes binomiales trigonométriques

Soit \(\theta \in \,]-\pi, \pi[\) et \(n \in \mathbb{N}^*\).

1. Mettre \(1 + e^{i\theta}\) sous forme exponentielle.
2. En déduire la valeur de \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \sin(k\theta)\).
3. De même, calculer \(T_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k \cos(k\theta)\), en factorisant \(1 – e^{i\theta}\) pour \(\theta \in \,]0, \pi[\).
4. Vérifier les formules obtenues pour \(n = 1\).

Exercice 10 – Sommes de puissances des racines de l’unité

Soit \(n \geqslant 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\).

1. Pour \(p \in \mathbb{Z}\), calculer \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{kp}\). On distinguera selon que \(n\) divise \(p\) ou non.
2. Ensuite, calculer le produit \(\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k\).
3. Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1} (1 + \omega^k)^n = 2n\).
4. Enfin, pour \(n = 5\), en déduire la valeur de \(\cos\dfrac{2\pi}{5} + \cos\dfrac{4\pi}{5}\).

Exercice 11 – Une équation de degré six

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(w^2 + w + 1 = 0\) et écrire ses solutions sous forme exponentielle.
2. En déduire les six solutions de \(z^6 + z^3 + 1 = 0\), sous la forme \(e^{2ik\pi/9}\) avec des entiers \(k\) à préciser.
3. Montrer que ces solutions sont exactement les racines neuvièmes de l’unité qui ne sont pas racines cubiques de l’unité.
4. Enfin, en déduire que \(\cos\dfrac{2\pi}{9} + \cos\dfrac{4\pi}{9} + \cos\dfrac{8\pi}{9} = 0\).

Exercice 12 – Équation du second degré à coefficients complexes

1. Calculer le discriminant de l’équation \(z^2 – (5 + 3i)z + 2 + 9i = 0\).
2. Déterminer ses racines carrées sous forme algébrique.
3. Résoudre l’équation, puis contrôler la somme et le produit des solutions.
4. Ensuite, pour \(\alpha\) réel, résoudre \(z^2 – 2\cos(\alpha)\, z + 1 = 0\) et donner les solutions sous forme exponentielle.

Exercice 13 – Construire un triangle équilatéral

Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes \(a\) et \(b\).

1. Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral si et seulement si \(c – a = e^{i\pi/3}(b – a)\) ou \(c – a = e^{-i\pi/3}(b – a)\), où \(c\) est l’affixe de \(C\).
2. On prend \(a = 1\) et \(b = 3 + 2i\). Déterminer sous forme algébrique les deux affixes possibles de \(C\).
3. Enfin, calculer l’affixe du centre de gravité de chacun des deux triangles obtenus.

Exercice 14 – Composer des rotations

On note \(r_1\) la rotation de centre 0 et d’angle \(\pi/2\), et \(r_2\) la rotation de centre 2 et d’angle \(\pi/2\).

1. Donner l’écriture complexe de \(r_1\) et de \(r_2\).
2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(r_2 \circ r_1\), puis de \(r_1 \circ r_2\). Ces deux composées sont-elles égales ?
3. Plus généralement, soit deux rotations d’angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\). Montrer que leur composée est une rotation d’angle \(\theta_1 + \theta_2\) si \(\theta_1 + \theta_2 \notin 2\pi\mathbb{Z}\), et une translation sinon.

Exercice 15 – Lieux de points avec un quotient

Pour \(z \neq -1\), on pose \(Z = \dfrac{z – 2i}{z + 1}\). On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes \(2i\) et \(-1\).

1. Écrire \(Z\) sous forme algébrique lorsque \(z = x + iy\).
2. Déterminer l’ensemble \(\mathcal{D}\) des points d’affixe \(z\) tels que \(Z\) soit réel, et l’interpréter géométriquement.
3. Déterminer ensuite l’ensemble \(\mathcal{C}\) des points tels que \(Z\) soit imaginaire pur.
4. Enfin, retrouver ces deux ensembles par un argument d’angle.

La figure montre l’allure des deux ensembles cherchés.

Pour approfondir

Exercice 16 – L’exponentielle d’un nombre complexe

Pour \(z = x + iy\), avec \(x\) et \(y\) réels, on pose \(\exp(z) = e^x e^{iy}\).

1. Montrer que \(\exp(z + w) = \exp(z)\exp(w)\) pour tous complexes \(z\) et \(w\).
2. Déterminer le module et un argument de \(\exp(z)\). En déduire que \(\exp(z)\) n’est jamais nul.
3. Montrer que \(\exp(z) = 1\) si et seulement si \(z \in 2i\pi\mathbb{Z}\). L’application \(\exp\) est-elle injective ?
4. Résoudre les équations \(\exp(z) = 1 + i\sqrt{3}\) et \(\exp(z) = -e\).
5. Enfin, montrer que tout complexe non nul possède des antécédents par \(\exp\), et décrire leur ensemble.

Exercice 17 – Problème – Racines septièmes et heptagone régulier

On pose \(\omega = e^{2i\pi/7}\), puis \(S = \omega + \omega^2 + \omega^4\) et \(T = \omega^3 + \omega^5 + \omega^6\).

1. Calculer \(1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6\). En déduire \(S + T\).
2. Montrer que \(ST = 2\), en développant et en utilisant \(\omega^7 = 1\).
3. Former un trinôme réel dont \(S\) et \(T\) sont les racines, puis le résoudre.
4. Montrer que \(\mathrm{Im}(S) = \sin\dfrac{2\pi}{7} + \sin\dfrac{4\pi}{7} – \sin\dfrac{\pi}{7}\), puis que \(\mathrm{Im}(S) > 0\).
5. En déduire la valeur exacte de \(S\).
6. Enfin, en déduire \(\cos\dfrac{2\pi}{7} + \cos\dfrac{4\pi}{7} + \cos\dfrac{6\pi}{7}\) et \(\sin\dfrac{2\pi}{7} + \sin\dfrac{4\pi}{7} – \sin\dfrac{\pi}{7}\).

La figure représente l’heptagone régulier formé par les racines septièmes de l’unité.

Exercice 18 – Problème – Une suite qui s’enroule autour d’un point fixe

Soit \(a = \dfrac{1 + i}{2}\) et \(f(z) = az + 1\). La suite \((z_n)\) part de \(z_0 = 0\) et vérifie \(z_{n+1} = f(z_n)\) pour tout \(n\).

1. Écrire \(a\) sous forme exponentielle.
2. Déterminer le point fixe \(\omega\) de \(f\), et décrire \(f\) comme composée d’une rotation et d’une homothétie de même centre.
3. Montrer que \(z_n – \omega = a^n(z_0 – \omega)\) pour tout \(n\), puis exprimer \(z_n\) en fonction de \(n\).
4. En déduire que la suite \((z_n)\) converge vers \(\omega\), au sens où \(|z_n – \omega|\) tend vers 0.
5. Calculer \(z_4\). Pour quels entiers \(n\) les points \(z_0\), \(\omega\) et \(z_n\) sont-ils alignés ?
6. Calculer \(|z_{n+1} – z_n|\), puis la longueur totale de la ligne brisée \(z_0 z_1 z_2 \dots\), définie comme la somme de la série \(\sum |z_{n+1} – z_n|\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «complexes et forme exponentielle en L1 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 767 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.