Réels, inégalités et Archimède en L1 de maths : cours et méthodes
Ce cours inégalités Archimède L1 fixe les règles du jeu de toute l’analyse réelle. Nous y étudions les inégalités dans le corps ordonné des réels, la valeur absolue et la partie entière. Ensuite, nous abordons la notion centrale de borne supérieure, qui distingue vraiment les réels des rationnels.
La présentation suit une construction pas à pas. Chaque résultat important est démontré, puis illustré par un exemple guidé ou un contre-exemple pris dans les rationnels. La caractérisation par epsilon y occupe une place de choix, car vous la retrouverez dans toutes les définitions de limite.
Enfin, la propriété d’Archimède et la densité de Q terminent le chapitre. Elles préparent directement l’étude des suites réelles et de la continuité au premier semestre de licence.
Ce que vous saurez faire
- Manipuler des inégalités sans erreur de signe, puis démontrer une inégalité par une méthode adaptée.
- Traduire une condition sur une valeur absolue en encadrement ou en intervalle.
- Calculer une partie entière et exploiter son encadrement caractéristique.
- Distinguer majorant, maximum et borne supérieure d’une partie de \(\mathbb{R}\).
- Prouver qu’un réel est une borne supérieure grâce à la caractérisation par epsilon.
- Utiliser la propriété d’Archimède et approcher tout réel par des rationnels.
1. Les réels, un corps totalement ordonné
Nous ne construisons pas \(\mathbb{R}\) à partir de \(\mathbb{Q}\). En effet, cette construction est longue et sans intérêt pour les calculs. Nous préférons partir d’une liste de règles admises. Ainsi, \(\mathbb{R}\) est pour nous un objet donné, avec son addition, sa multiplication et sa comparaison. Ces trois structures obéissent à quelques règles simples. Ensuite, toutes les propriétés des réels se déduisent de ces règles.
1.1 Les axiomes de l’ordre
D’abord, \((\mathbb{R},+,\times)\) est un corps commutatif : addition et multiplication se comportent comme dans \(\mathbb{Q}\). De plus, la relation \(\leqslant\) est une relation d’ordre total. Autrement dit, deux réels sont toujours comparables. Enfin, l’ordre est compatible avec les opérations.
Un corps \(K\) muni d’une relation d’ordre total \(\leqslant\) est un corps totalement ordonné lorsque, pour tous \(x, y, z\) de \(K\) :
- si \(x \leqslant y\), alors \(x+z \leqslant y+z\) ;
- si \(0 \leqslant x\) et \(0 \leqslant y\), alors \(0 \leqslant xy\).
Les ensembles \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) sont des corps totalement ordonnés.
1.2 Règles de calcul sur les inégalités
Ces deux règles suffisent à retrouver toutes les manipulations habituelles. Par exemple, on montre que \(x^2 \geqslant 0\) pour tout réel \(x\). Si \(x \geqslant 0\), la seconde règle donne directement le résultat. Sinon, \(-x \geqslant 0\), donc \((-x)(-x) = x^2 \geqslant 0\). On en déduit en particulier que \(1 = 1^2 > 0\).
Soient \(a, b, c, d\) des réels.
- Somme : si \(a \leqslant b\) et \(c \leqslant d\), alors \(a + c \leqslant b + d\).
- Produit par un réel : si \(a \leqslant b\) et \(c \geqslant 0\), alors \(ac \leqslant bc\) ; si \(c \leqslant 0\), alors \(ac \geqslant bc\).
- Produit de positifs : si \(0 \leqslant a \leqslant b\) et \(0 \leqslant c \leqslant d\), alors \(ac \leqslant bd\).
- Inverse : si \(0 < a \leqslant b\), alors \(\dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a}\).
Nous prouvons la règle du produit de positifs. D’abord, \(c \geqslant 0\) et \(a \leqslant b\) donnent \(ac \leqslant bc\). Ensuite, \(b \geqslant 0\) et \(c \leqslant d\) donnent \(bc \leqslant bd\). Par transitivité, on obtient \(ac \leqslant bd\). Pour l’inverse, on multiplie \(a \leqslant b\) par le réel positif \(\frac{1}{ab}\).
1.3 Le piège de la soustraction
Piège à éviter :
On ne soustrait pas des inégalités membre à membre. Par exemple, \(1 \leqslant 4\) et \(1 \leqslant 9\) sont vraies. Pourtant, la soustraction donnerait \(0 \leqslant -5\), ce qui est faux. La bonne démarche consiste à écrire \(x – y = x + (-y)\). On encadre alors \(-y\) en renversant l’encadrement de \(y\), puis on additionne.
1.4 Démontrer une inégalité
Démontrer une inégalité est un geste central de l’analyse. Pourtant, il n’existe pas de recette unique. Voici les trois stratégies qui couvrent la plupart des situations de première année.
- Étudier le signe d’une différence : pour montrer \(A \leqslant B\), on factorise \(B – A\) ou on l’écrit comme une somme de carrés.
- Enchaîner des inégalités connues : on part d’un membre et on majore pas à pas, chaque étape étant justifiée.
- Passer par une fonction : on étudie les variations de \(x \mapsto B(x) – A(x)\) et on cherche son minimum.
Dans tous les cas, on vérifie les signes avant de multiplier ou de prendre un inverse.
Montrons que, pour tous réels \(u\) et \(v\), on a \(uv \leqslant \dfrac{u^2 + 4v^2}{4}\).
On étudie la différence. On calcule \(\dfrac{u^2 + 4v^2}{4} – uv = \dfrac{u^2 – 4uv + 4v^2}{4} = \dfrac{(u – 2v)^2}{4}\). Or un carré est positif. Par conséquent, la différence est positive, ce qui prouve l’inégalité. De plus, l’égalité a lieu exactement lorsque \(u = 2v\).
2. Valeur absolue et intervalles
La valeur absolue mesure une distance sur la droite réelle. C’est pourquoi elle intervient dans toutes les définitions de l’analyse : limite, continuité, approximation. Nous fixons ici ses règles de calcul.
2.1 Distance entre deux réels
Pour \(x\) réel, on note \(|x|\) le plus grand des deux nombres \(x\) et \(-x\) : c’est la valeur absolue de \(x\). Concrètement, elle vaut \(x\) pour un réel positif et \(-x\) pour un réel négatif. Le réel \(|x – y|\) est la distance entre \(x\) et \(y\).
Pour tous réels \(x, y\) et tout réel \(r \geqslant 0\) :
- \(|x| \geqslant 0\), avec égalité si et seulement si \(x = 0\) ;
- \(|xy| = |x|\,|y|\) ;
- \(|x| \leqslant r \iff -r \leqslant x \leqslant r\).
La dernière équivalence est la plus utile. Appliquée à \(x – c\) avec un rayon \(\rho \geqslant 0\), elle montre que \(|x – c| \leqslant \rho\) signifie \(c – \rho \leqslant x\) et \(x \leqslant c + \rho\). Autrement dit, les réels situés à distance au plus \(\rho\) de \(c\) forment le segment \([c – \rho, c + \rho]\). La figure suivante illustre la version stricte avec le centre \(1{,}5\) et le rayon \(1\).
2.2 L’inégalité triangulaire
Inégalité triangulaire. Pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[ \big|\,|x| – |y|\,\big| \leqslant |x + y| \leqslant |x| + |y|. \]
D’abord, \(-|x| \leqslant x \leqslant |x|\) et \(-|y| \leqslant y \leqslant |y|\). En additionnant, on obtient \(-(|x| + |y|) \leqslant x + y \leqslant |x| + |y|\). C’est exactement l’inégalité de droite. Ensuite, on écrit \(x = (x + y) + (-y)\). L’inégalité de droite donne alors \(|x| \leqslant |x + y| + |y|\), donc \(|x| – |y| \leqslant |x + y|\). En échangeant les rôles, on a aussi \(|y| – |x| \leqslant |x + y|\). Finalement, l’inégalité de gauche est démontrée.
On utilise souvent ces inégalités avec \(-y\) à la place de \(y\). On obtient ainsi \(\big|\,|x| – |y|\,\big| \leqslant |x – y|\). Cette forme sert à minorer une valeur absolue, par exemple pour éloigner un dénominateur de zéro.
Soit \(x\) un réel tel que \(|x – 6| \leqslant 2\). Majorons \(\left|\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{6}\right|\).
On écrit d’abord \(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{6} = \dfrac{6 – x}{6x}\). Ensuite, la seconde forme de l’inégalité triangulaire donne \(|x| \geqslant 6 – |x – 6| \geqslant 4\). Par conséquent :
\[ \left|\frac{1}{x} – \frac{1}{6}\right| = \frac{|x – 6|}{6|x|} \leqslant \frac{|x – 6|}{24}. \]
Ainsi, l’écart entre les inverses est au plus le vingt-quatrième de l’écart entre \(x\) et \(6\).
2.3 Les intervalles
Les intervalles sont familiers depuis le lycée. Cependant, il est utile d’en donner une définition qui ne dépend pas de la forme des crochets.
Une partie \(I\) de \(\mathbb{R}\) est un intervalle lorsque, pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) avec \(a \leqslant b\), tout réel \(c\) tel que \(a \leqslant c \leqslant b\) appartient à \(I\).
Autrement dit, un intervalle n’a pas de trou. Par exemple, \([-1, 4[\), \(]0, +\infty[\) et \(\mathbb{R}\) sont des intervalles. De même, l’ensemble vide et les singletons en sont aussi. En revanche, \(\mathbb{R}^*\) n’en est pas un : il contient \(-1\) et \(1\), mais pas \(0\).
L’intersection de deux intervalles est un intervalle. En revanche, la réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles, et \(a \leqslant c \leqslant b\) avec \(a, b\) dans \(I \cap J\). Comme \(I\) est un intervalle contenant \(a\) et \(b\), il contient \(c\). Le même argument vaut pour \(J\). Donc \(c\) appartient à \(I \cap J\). Pour la réunion, l’exemple \([0, 1] \cup [2, 3]\) suffit, car \(\frac{3}{2}\) n’y figure pas.
3. La partie entière d’un réel
Tout réel est encadré par deux entiers consécutifs. Ce fait intuitif repose en réalité sur la propriété d’Archimède, que nous démontrerons à la partie 5. Nous l’admettons provisoirement pour définir la partie entière.
3.1 Définition et encadrement
Soit \(x\) un réel. Un seul entier \(n \in \mathbb{Z}\) vérifie à la fois \(n \leqslant x\) et \(x < n + 1\). On l’appelle partie entière de \(x\) et on l’écrit \(\lfloor x \rfloor\). Autrement dit, c’est le plus grand entier qui ne dépasse pas \(x\).
L’unicité se prouve facilement. Si deux entiers \(n\) et \(m\) conviennent, alors \(n \leqslant x < m + 1\), donc \(n < m + 1\), soit \(n \leqslant m\). Par symétrie, \(m \leqslant n\), d’où \(n = m\). Le graphe ci-dessous montre la fonction partie entière, coincée entre les droites \(y = x – 1\) et \(y = x\).
- Pour tout réel \(x\) : \(0 \leqslant x – \lfloor x \rfloor < 1\).
- Pour tout réel \(x\) et tout entier \(k\) : \(\lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor\).
- Pour tout entier \(n\) et tout réel \(x\) : \(\lfloor x \rfloor = n \iff n \leqslant x < n + 1\).
3.2 Calculer avec la partie entière
Piège à éviter :
La partie entière d’un négatif n’est pas obtenue en effaçant les décimales. Par exemple, \(\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3\) et non \(-2\). En effet, \(-3 \leqslant -2{,}3 < -2\). De même, \(\lfloor x + y \rfloor\) diffère en général de \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor\) : avec \(x = y = 0{,}6\), on trouve \(1\) d’un côté et \(0\) de l’autre.
Pour résoudre une équation du type \(\lfloor f(x) \rfloor = n\) :
- on la traduit par l’encadrement \(n \leqslant f(x) < n + 1\) ;
- on résout ce système de deux inégalités ;
- on écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle ou de réunion d’intervalles.
Par exemple, \(\lfloor 3x + 1 \rfloor = 4\) équivaut à \(4 \leqslant 3x + 1 < 5\), c’est-à-dire \(x \in \left[1, \frac{4}{3}\right[\).
4. Majorants, bornes et axiome de la borne supérieure
Les règles de la partie 1 sont aussi vraies dans \(\mathbb{Q}\). Elles ne suffisent donc pas à caractériser \(\mathbb{R}\). Il manque une propriété qui exprime l’absence de trous dans la droite réelle. C’est le rôle de l’axiome de la borne supérieure.
4.1 Majorant, maximum, borne supérieure
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\) et \(M\) un réel.
- \(M\) est un majorant de \(A\) si \(a \leqslant M\) pour tout \(a\) de \(A\). On dit alors que \(A\) est majorée.
- \(M\) est le plus grand élément (ou maximum) de \(A\) si \(M\) est un majorant de \(A\) et si \(M\) appartient à \(A\).
- \(M\) est la borne supérieure de \(A\) si \(M\) est le plus petit des majorants de \(A\). On la note \(\sup A\).
On définit de même minorant, plus petit élément et borne inférieure \(\inf A\), qui est le plus grand des minorants.
4.2 Une borne supérieure qui n’est pas un maximum
Un maximum, quand il existe, est toujours la borne supérieure. En effet, tout majorant \(M^{\prime}\) de \(A\) vérifie \(\max A \leqslant M^{\prime}\), puisque \(\max A\) est dans \(A\). La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple suivant.
Soit \(A = \left\{ 2 – \dfrac{3}{n + 1} \,:\, n \in \mathbb{N} \right\}\). Ses premiers éléments sont \(-1\), \(\frac{1}{2}\), \(1\), \(\frac{5}{4}\).
D’abord, \(2\) majore \(A\), car \(\frac{3}{n+1} > 0\). Ensuite, \(2\) n’est pas dans \(A\), car \(\frac{3}{n+1}\) ne s’annule jamais. Donc \(A\) n’a pas de maximum. Montrons pourtant qu’aucun réel \(M < 2\) ne majore \(A\). On pose \(\varepsilon = 2 – M > 0\). Il suffit de trouver \(n\) avec \(\frac{3}{n+1} < \varepsilon\), soit \(n + 1 > \frac{3}{\varepsilon}\). Un tel entier existe (propriété d’Archimède). Par conséquent, \(\sup A = 2\).
La figure représente les éléments de \(A\) qui s’accumulent près de \(2\). Quelle que soit la largeur \(\varepsilon\) de la bande verte, elle contient des éléments de \(A\).
4.3 Un axiome propre aux réels
Axiome de la borne supérieure. Soit \(A \subset \mathbb{R}\). Si \(A\) possède au moins un élément et au moins un majorant, alors l’ensemble de ses majorants a un plus petit élément. Autrement dit, \(\sup A\) existe dès que \(A\) est non vide et majorée.
Par passage à l’opposé, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure, et \(\inf A = -\sup(-A)\).
Les deux hypothèses sont indispensables. D’une part, l’ensemble vide est majoré par tout réel : il n’a donc pas de plus petit majorant. D’autre part, \(\mathbb{N}\) n’a aucun majorant réel. Cette propriété distingue réellement \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\).
Dans \(\mathbb{Q}\), l’axiome est faux. Considérons \(E = \{ x \in \mathbb{Q} \,:\, x > 0 \text{ et } x^2 < 7 \}\). Cette partie est non vide (elle contient \(1\)) et majorée par \(3\). Dans \(\mathbb{R}\), sa borne supérieure vaut \(\sqrt{7}\). Or \(\sqrt{7}\) est irrationnel. Ainsi, \(E\) n’a pas de borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\) : il existe des rationnels majorants aussi proches qu’on veut de \(\sqrt{7}\), mais aucun n’est le plus petit.
4.4 Caractérisation par epsilon
Prouver qu’un réel est le plus petit des majorants peut sembler abstrait. Heureusement, la définition se traduit en deux conditions concrètes.
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) et \(M\) un réel. Alors \(M = \sup A\) si et seulement si :
- pour tout \(a \in A\), on a \(a \leqslant M\) ;
- pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(a \in A\) tel que \(M – \varepsilon < a\).
Supposons d’abord \(M = \sup A\). Alors \(M\) est un majorant, d’où la condition 1. Soit ensuite \(\varepsilon > 0\). Le réel \(M – \varepsilon\) est strictement inférieur au plus petit majorant. Il ne majore donc pas \(A\) : il existe \(a \in A\) avec \(a > M – \varepsilon\).
Réciproquement, supposons les deux conditions vraies. La condition 1 dit que \(M\) est un majorant. Prenons un réel \(c\) strictement plus petit que \(M\). L’écart \(M – c\) est strictement positif ; on l’utilise comme \(\varepsilon\). La condition 2 fournit alors \(a \in A\) avec \(a > c\). Donc \(c\) ne majore pas \(A\). Finalement, \(M\) est le plus petit majorant.
4.5 Méthode pour établir une borne supérieure
Pour montrer que \(M = \sup A\) :
- vérifier que \(M\) majore tous les éléments de \(A\) ;
- fixer \(\varepsilon > 0\) quelconque ;
- résoudre l’inéquation \(a > M – \varepsilon\) en fonction du paramètre qui décrit \(A\) ;
- exhiber un paramètre qui convient, souvent grâce à la propriété d’Archimède.
Si \(M\) appartient à \(A\), l’étape 2 est inutile : c’est alors un maximum.
Remarque :
La borne supérieure se comporte bien vis-à-vis de l’inclusion. Si \(A \subset B\) avec \(A\) non vide et \(B\) majorée, alors \(\sup A \leqslant \sup B\). En effet, \(\sup B\) majore \(B\), donc aussi \(A\), et il dépasse ainsi le plus petit majorant de \(A\).
5. Propriété d’Archimède et densité des rationnels
Nous arrivons au cœur du chapitre. La propriété d’Archimède affirme qu’aucun réel n’est infiniment grand devant un autre. Elle découle de l’axiome de la borne supérieure. Ensuite, elle entraîne l’existence de la partie entière et la densité de \(\mathbb{Q}\).
5.1 L’énoncé et sa preuve
Propriété d’Archimède. Soient \(\varepsilon\) un réel strictement positif et \(x\) un réel quelconque. Alors au moins un entier naturel \(n\) vérifie \(n\varepsilon > x\).
En particulier, \(\mathbb{N}\) n’est pas majorée dans \(\mathbb{R}\).
Raisonnons par l’absurde. Supposons que \(n\varepsilon \leqslant x\) pour tout entier naturel \(n\). Alors la partie \(P = \{ n\varepsilon \,:\, n \in \mathbb{N} \}\) est non vide et majorée par \(x\). D’après l’axiome, elle possède une borne supérieure \(s\).
Or \(s – \varepsilon < s\). Donc \(s – \varepsilon\) ne majore pas \(P\) : il existe un entier \(m\) avec \(m\varepsilon > s – \varepsilon\). Par conséquent, \((m + 1)\varepsilon > s\). Pourtant, \((m + 1)\varepsilon\) appartient à \(P\), ce qui contredit le fait que \(s\) majore \(P\). Finalement, l’hypothèse est absurde.
5.2 Premières conséquences de la propriété d’Archimède
Cette preuve est un modèle du genre. On y retrouve la caractérisation par epsilon, utilisée avec \(\varepsilon\) lui-même. Retenons aussi la conséquence la plus utilisée : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(n \geqslant 1\) tel que \(\frac{1}{n} < \varepsilon\). Il suffit d’appliquer le théorème avec \(x = 1\).
Cherchons le plus petit entier \(n \geqslant 1\) tel que \(\dfrac{5}{n + 3} < 0{,}004\).
L’inéquation équivaut à \(n + 3 > \dfrac{5}{0{,}004} = 1250\), donc à \(n > 1247\). Le plus petit entier qui convient est donc \(n = 1248\). La propriété d’Archimède garantit l’existence d’un tel entier pour tout seuil strictement positif. Ici, le calcul fournit même sa valeur exacte.
Grâce à Archimède, on justifie aussi la partie entière. Pour \(x \geqslant 0\), l’ensemble des entiers \(k\) tels que \(k > x\) est non vide. Il possède donc un plus petit élément \(k_0\), et \(n = k_0 – 1\) vérifie \(n \leqslant x < n + 1\). Pour \(x < 0\), on se ramène au cas positif en ajoutant un entier assez grand.
5.3 Rationnels et irrationnels partout sur la droite
On dit que \(D \subset \mathbb{R}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) lorsque, pour tous réels \(a < b\), on peut trouver un point de \(D\) strictement entre \(a\) et \(b\).
Entre deux réels distincts se trouvent toujours un rationnel et un irrationnel. Ainsi, \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\).
Soient \(a < b\) deux réels. D’après Archimède, il existe un entier \(q \geqslant 1\) tel que \(q(b – a) > 1\). On pose ensuite \(p = \lfloor qa \rfloor + 1\). Par définition de la partie entière, \(qa < p \leqslant qa + 1\). Or \(qa + 1 < qb\), donc \(qa < p < qb\). En divisant par \(q > 0\), on obtient \(a < \frac{p}{q} < b\).
Pour les irrationnels, on applique ce résultat à l’intervalle \(]a – \sqrt{2}, b – \sqrt{2}[\). On obtient un rationnel \(r\) tel que \(a < r + \sqrt{2} < b\). Enfin, \(r + \sqrt{2}\) est irrationnel : sinon, \(\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) – r\) serait rationnel.
L’idée de la preuve est visuelle. On choisit un pas \(\frac{1}{q}\) plus petit que la longueur de l’intervalle. Les multiples de ce pas ne peuvent donc pas sauter par-dessus \(]a, b[\). De plus, un intervalle ouvert non vide contient alors une infinité de rationnels : il suffit de recommencer dans \(]a, \frac{p}{q}[\).
5.4 Approcher un réel par des rationnels
La densité s’accompagne d’une construction explicite. Fixons un réel \(x\). Pour chaque entier \(n\), on note \(t_n\) le quotient de \(\lfloor 10^n x \rfloor\) par \(10^n\). C’est un nombre décimal, donc un rationnel.
Pour tout entier naturel \(n\), on a \(t_n \leqslant x < t_n + 10^{-n}\). Ainsi, \(t_n\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\) près, et \(t_n + 10^{-n}\) une valeur approchée par excès.
En effet, le réel \(10^n x – \lfloor 10^n x \rfloor\) appartient à \([0, 1[\). Il suffit alors de diviser par \(10^n\). Par exemple, pour \(x = \sqrt{5} \approx 2{,}236\,07\), on trouve \(t_0 = 2\), \(t_1 = 2{,}2\), \(t_2 = 2{,}23\) et \(t_3 = 2{,}236\). La figure montre les deux suites d’approximations qui se resserrent autour de \(\sqrt{5}\).
5.5 Un rationnel entre deux réels très proches
Trouvons un rationnel strictement compris entre \(\sqrt{5}\) et \(2{,}2361\).
D’abord, l’écart vaut environ \(0{,}000\,03\). Il faut donc un pas inférieur à cet écart, par exemple \(10^{-5}\). Ensuite, on calcule \(t_5 = 2{,}236\,06\), puis \(t_5 + 10^{-5} = 2{,}236\,07\). On vérifie enfin \(2{,}236\,07^2 = 5{,}000\,009\ldots > 5\). Par conséquent, \(\sqrt{5} < 2{,}236\,07 < 2{,}2361\), et le rationnel \(\frac{223\,607}{100\,000}\) convient.
Remarque :
Pour tout réel \(x\), on a \(x = \sup \{ t_n \,:\, n \in \mathbb{N} \}\). En effet, chaque \(t_n\) est inférieur à \(x\). De plus, pour \(\varepsilon > 0\), on choisit \(n\) tel que \(10^{-n} < \varepsilon\), et alors \(t_n > x – \varepsilon\). Tout réel est donc la borne supérieure d’un ensemble de décimaux.
Les erreurs fréquentes
- Multiplier une inégalité par un réel dont on ignore le signe, ou soustraire deux inégalités membre à membre.
- Confondre borne supérieure et maximum : la borne supérieure n’appartient pas forcément à la partie.
- Oublier de vérifier qu’une partie est non vide et majorée avant d’invoquer l’axiome de la borne supérieure.
- Choisir l’élément \(a\) avant \(\varepsilon\) dans la caractérisation : \(a\) dépend de \(\varepsilon\), jamais l’inverse.
- Écrire \(\lfloor -4{,}7 \rfloor = -4\) au lieu de \(-5\).
Fiche mémo
- \(\mathbb{R}\) est un corps totalement ordonné : on additionne des inégalités et on les multiplie par un positif.
- \(|x – a| \leqslant r \iff a – r \leqslant x \leqslant a + r\).
- Inégalité triangulaire : \(\big|\,|x| – |y|\,\big| \leqslant |x \pm y| \leqslant |x| + |y|\).
- Un intervalle est une partie sans trou ; l’intersection de deux intervalles en est un.
- \(\lfloor x \rfloor\) est l’unique entier \(n\) tel que \(n \leqslant x < n + 1\) ; on a \(x – 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x\).
- Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) a une borne supérieure ; c’est faux dans \(\mathbb{Q}\).
- \(M = \sup A\) : \(M\) majore \(A\), et pour tout \(\varepsilon > 0\), un élément de \(A\) dépasse \(M – \varepsilon\).
- Archimède : pour \(\varepsilon > 0\) et \(x\) réel, un entier \(n\) vérifie \(n\varepsilon > x\).
- \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\) ; \(\frac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\) approche \(x\) à \(10^{-n}\) près.
Questions fréquentes
Quelle différence entre borne supérieure et maximum ?
Le maximum est un majorant qui appartient à la partie. La borne supérieure est seulement le plus petit des majorants, qui peut ne pas appartenir à la partie. Ainsi, l’ensemble des réels strictement compris entre -3 et 2 admet 2 comme plus petit majorant, sans que 2 en fasse partie. Quand un maximum existe, il coïncide avec la borne supérieure.
Pourquoi l'axiome de la borne supérieure est-il indispensable ?
Les règles de calcul et d’ordre sont vraies aussi dans les rationnels. Elles ne suffisent donc pas à décrire les réels. L’axiome de la borne supérieure exprime que la droite réelle n’a pas de trou. Sans lui, on ne pourrait démontrer ni la propriété d’Archimède ni l’existence de racine de 2.
Comment choisir epsilon dans une preuve de borne supérieure ?
On ne choisit pas epsilon : il est fixé au départ, strictement positif et quelconque. C’est l’élément de la partie qui dépend de epsilon. En pratique, on résout l’inéquation qui exprime que cet élément dépasse M moins epsilon, puis on invoque souvent la propriété d’Archimède pour conclure.
La partie entière de -3,2 vaut-elle -3 ?
Non, elle vaut -4. La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au réel. Or -3 est strictement supérieur à -3,2. On vérifie l’encadrement -4 ≤ -3,2 < -3, qui caractérise bien la valeur -4.
Pour aller plus loin
- S’exercer : exercices corrigés de L1 de maths sur réels, inégalités et Archimède
- Bases utiles : Connecteurs, quantificateurs et types de démonstration
- Chapitre d’avant : Complexes : forme exponentielle, racines et géométrie
- Chapitre d’après : Limite d'une suite : définition epsilon et théorèmes
- Vérifier ses acquis : QCM de L1 de maths sur réels, inégalités et Archimède
- Contrôle corrigé en temps limité : Borne supérieure et propriété d'Archimède : contrôle de maths en L1
- Un autre sujet noté sur 20 : Partiel d'analyse du premier semestre : contrôle de maths en L1
- Le même thème en maths sup (MPSI) : Borne supérieure, partie entière et densité dans R
- Tous les chapitres : le sommaire de la L1 de maths
- Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3
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