Quiz ordre, bornes et densité en L1

Quiz ordre, bornes et densité en L1 de maths

Dix réflexes sur les nombres réels : manipuler une inégalité, encadrer une valeur absolue, trouver une borne supérieure et utiliser Archimède ou la densité des rationnels.

\(M\) majore \(A\). C'est la borne supérieure si pour tout \(\varepsilon > 0\) :

A.\(\exists a \in A,\ a < M - \varepsilon\)B.\(\forall a \in A,\ a > M - \varepsilon\)C.\(\exists a \in A,\ a > M - \varepsilon\)D.\(\exists a \in A,\ a > M + \varepsilon\)

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz express porte sur la construction ordonnée de \(\mathbb{R}\), base de toute l'analyse de première année. Tu y travailles les règles de calcul sur les inégalités, la valeur absolue et son emploi pour majorer un écart, la partie entière d'un réel négatif, la recherche d'une borne supérieure et sa caractérisation par epsilon, puis l'axiome d'Archimède et le fait que \(\mathbb{Q}\) comme son complémentaire sont denses dans la droite réelle.

Fais-le avant un TD de licence sur les réels ou avant une interrogation écrite : chaque question demande moins d'une minute. Une erreur sur la multiplication par un nombre négatif ou sur un sup non atteint signale un point à reprendre tout de suite, car ces réflexes servent ensuite partout, des suites aux intégrales. Pour progresser, rédige au brouillon la preuve complète de deux questions de ton choix.

Aller plus loin sur ordre, bornes et densité

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Questions fréquentes : ordre, bornes et densité en L1

Une borne supérieure appartient-elle toujours à l'ensemble ?

Non. Pour \(]0,1[\), la borne supérieure vaut 1 et n'est pas atteinte. Quand elle appartient à l'ensemble, on parle de plus grand élément.

Pourquoi Q ne vérifie-t-il pas l'axiome de la borne supérieure ?

Les rationnels positifs de carré inférieur à 2 forment un ensemble non vide et majoré dans \(\mathbb{Q}\), mais sa borne supérieure serait \(\sqrt{2}\), qui est irrationnel.

À quoi sert concrètement la propriété d'Archimède ?

Elle garantit qu'un entier dépasse n'importe quel réel donné. On l'utilise pour trouver un rang \(n\) tel que \(1/n\) soit plus petit qu'une précision fixée, ou pour définir la partie entière.

Quiz ordre, bornes et densité en L1 de maths

Que vaut la partie entière \(\lfloor -2{,}3 \rfloor\) ?

Borne supérieure de \(\{1 - 1/n,\ n \geq 1\}\) ?

\(\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}\) a-t-il une borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\) ?

\(M\) majore \(A\). C'est la borne supérieure si pour tout \(\varepsilon > 0\) :

Si \(|x-2| \leq 1\), meilleur majorant simple de \(|x^2-4|\) obtenu par factorisation ?

Plus petit entier \(n\) tel que \(1/n < 0{,}003\) ?

\(|x-3| < 2\) équivaut à :

\(a < b\) et \(c < 0\). Que peut-on affirmer ?

Entre deux réels distincts, combien y a-t-il d'irrationnels ?

Quelle suite de rationnels converge vers le réel \(x\) ?

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