Réels, inégalités et Archimède en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Encadrer somme, différence, produit et quotient

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(2 \leqslant x \leqslant 5\) et \(-3 \leqslant y \leqslant -1\).

1. D’abord, encadrer \(x + y\) et \(x – y\).
2. Ensuite, encadrer \(xy\) en justifiant chaque multiplication.
3. Enfin, encadrer \(\dfrac{1}{y}\), puis \(\dfrac{x}{y}\).

Exercice 2 – Équations et inéquations avec valeurs absolues

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les problèmes suivants et donner les solutions sous forme d’intervalles ou d’ensembles finis.

1. \(|2x – 3| \leqslant 5\).
2. \(|x + 1| > |x – 4|\).
3. \(|x – 1| + |x + 2| = 5\). Pour cela, on pourra s’aider du graphe ci-dessous.

Exercice 3 – Calculs de parties entières

1. Calculer \(\left\lfloor -\frac{7}{3} \right\rfloor\), \(\lfloor \sqrt{50} \rfloor\) et \(\lfloor -\pi \rfloor\).
2. Ensuite, montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1\).
3. Enfin, résoudre l’équation \(\lfloor 2x – 1 \rfloor = 3\).

Exercice 4 – Bornes de trois parties simples

Pour chacune des parties suivantes, déterminer, s’ils existent, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum.

1. \(A = [1, 4[ \,\cup\, \{6\}\).
2. \(B = \{ x \in \mathbb{R} \,:\, x^2 < 5 \}\).
3. \(C = \left\{ \dfrac{1}{n} \,:\, n \in \mathbb{N}^* \right\}\).

Exercice 5 – Reconnaître des intervalles

Dire si chacune des parties suivantes est un intervalle. Le cas échéant, l’écrire avec des crochets ; sinon, exhiber un trou.

1. \(E_1 = \{ x \in \mathbb{R} \,:\, x^2 \leqslant 4x \}\).
2. \(E_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}^* \,:\, \dfrac{1}{x} > 2 \right\}\).
3. \(E_3 = \{ x \in \mathbb{R} \,:\, |x| \geqslant 1 \}\).
4. \(E_4 = \mathbb{Q}\), en admettant que \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) est irrationnel.

Exercice 6 – Seuils fournis par Archimède

1. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(0{,}003\,n > 7\).
2. Déterminer le plus petit entier \(n \geqslant 1\) tel que \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0{,}02\).
3. De plus, montrer que, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(n \geqslant 1\) tel que \(\dfrac{1}{n^2} < \varepsilon\).
4. Enfin, montrer que la partie \(\{ 0{,}003\,n \,:\, n \in \mathbb{N} \}\) n’est pas majorée.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Inégalité de Bernoulli et puissances non bornées

1. Montrer par récurrence que, pour tout réel \(x \geqslant -1\) et tout entier naturel \(n\), on a \((1 + x)^n \geqslant 1 + nx\).
2. Soit \(q > 1\). En déduire que, pour tout réel \(A\), il existe un entier \(n\) tel que \(q^n > A\).
3. Ensuite, donner, à l’aide de la question 1, un entier \(n\) tel que \(1{,}01^n > 1000\).
4. Enfin, soit \(0 < q < 1\). Montrer alors que, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(n\) tel que \(q^n < \varepsilon\).

Exercice 8 – Moyennes harmonique, géométrique et arithmétique

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.

1. Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}\) et préciser le cas d’égalité.
2. En déduire que \(\dfrac{2ab}{a + b} \leqslant \sqrt{ab}\).
3. Calculer les trois moyennes pour \(a = 4\) et \(b = 9\).
4. De même, montrer que, pour tous réels \(x, y, z\), on a \(xy + yz + zx \leqslant x^2 + y^2 + z^2\).

Exercice 9 – Minorer un dénominateur

1. Démontrer que, pour tous réels \(x\) et \(y\), on a \(\big|\,|x| – |y|\,\big| \leqslant |x – y|\).
2. Soit \(x\) un réel tel que \(|x – 4| < 1\). Montrer d’abord que \(|x| > 3\), puis que \(\left|\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{4}\right| \leqslant \dfrac{|x – 4|}{12}\).
3. En déduire que, si \(|x – 4| < 0{,}06\), alors \(\left|\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{4}\right| < 0{,}005\).
4. Enfin, déterminer un réel \(\eta > 0\) tel que \(|x – 4| < \eta\) entraîne \(\left|\dfrac{1}{x^2} – \dfrac{1}{16}\right| < 0{,}01\).

Exercice 10 – Deux propriétés de la partie entière

1. Soit \(n \geqslant 1\) un entier et \(x\) un réel. Montrer que \(\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor\).
2. Ensuite, montrer que, pour tous réels \(x\) et \(y\), on a \(\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1\).
3. Illustrer les deux cas possibles avec \(x = 2{,}7\), \(y = 1{,}6\), puis \(x = 2{,}2\), \(y = 1{,}6\).
4. Enfin, calculer \(\lfloor -x \rfloor + \lfloor x \rfloor\) selon que \(x\) est entier ou non.

Exercice 11 – Borne supérieure d’une famille de quotients

On considère \(B = \left\{ b_n = \dfrac{3n – 1}{n + 2} \,:\, n \in \mathbb{N} \right\}\).

1. Montrer que \(b_n = 3 – \dfrac{7}{n + 2}\) pour tout \(n\).
2. Ensuite, montrer que \(B\) admet un plus petit élément et le calculer.
3. Démontrer alors par la caractérisation par epsilon que \(\sup B = 3\). Cette borne est-elle atteinte ?
4. Enfin, pour \(\varepsilon = 0{,}25\), déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(b_n > 3 – \varepsilon\).

Exercice 12 – Différences d’inverses d’entiers

Soit \(C = \left\{ \dfrac{1}{m} – \dfrac{1}{n} \,:\, m, n \in \mathbb{N}^* \right\}\).

1. D’abord, montrer que \(C\) est majorée par \(1\) et minorée par \(-1\).
2. Ensuite, prouver que \(\sup C = 1\) et que cette borne n’est pas atteinte.
3. Enfin, vérifier que \(C = \{ -c \,:\, c \in C \}\). En déduire \(\inf C\).

Exercice 13 – Borne supérieure d’une somme de parties

Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides et majorées de \(\mathbb{R}\). On pose \(A + B = \{ a + b \,:\, a \in A,\ b \in B \}\) et, pour \(\lambda > 0\), \(\lambda A = \{ \lambda a \,:\, a \in A \}\).

1. Montrer que \(A + B\) admet une borne supérieure et que \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\).
2. De même, montrer que \(\sup(\lambda A) = \lambda \sup A\).
3. Enfin, vérifier ces formules avec \(A = ]0, 1[\), \(B = \{ -2, 5 \}\) et \(\lambda = 3\).

Exercice 14 – Ensemble alterné et borne inférieure

Soit \(D = \left\{ (-1)^n + \dfrac{2}{n} \,:\, n \in \mathbb{N}^* \right\}\). La figure place quelques éléments de \(D\) selon la parité de \(n\).

1. Calculer les éléments obtenus pour \(n = 1, 2, 3, 4\).
2. Ensuite, montrer que \(D\) admet un maximum et le déterminer.
3. Enfin, prouver que \(\inf D = -1\) et que \(D\) n’a pas de minimum.

Exercice 15 – Un rationnel entre racine de 7 et 2,646

1. Montrer que \(2{,}645 < \sqrt{7} < 2{,}646\).
2. Calculer \(\dfrac{\lfloor 10^4 \sqrt{7} \rfloor}{10^4}\) en admettant que \(\sqrt{7} = 2{,}645\,75\ldots\), puis trouver un rationnel strictement compris entre \(\sqrt{7}\) et \(2{,}646\). Justifier par un calcul exact.
3. Plus généralement, soient \(a < b\) deux réels. Montrer que \(]a, b[\) contient une infinité de rationnels.

Exercice 16 – Irrationnels construits à partir de racine de 2

On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

1. Soit \(r\) un rationnel. Montrer que \(r + \sqrt{2}\) est irrationnel, puis que \(r\sqrt{2}\) l’est aussi lorsque \(r \neq 0\).
2. La somme de deux irrationnels est-elle toujours irrationnelle ? Et leur produit ?
3. Soient \(0 < a < b\). En considérant l’intervalle \(\left] \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}} \right[\), construire un irrationnel de la forme \(r\sqrt{2}\) dans \(]a, b[\).
4. Par exemple, donner explicitement un irrationnel dans \(\left]0, \frac{1}{1000}\right[\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Q privé de borne supérieure

On admet que \(\sqrt{3}\) est irrationnel. On pose \(E = \{ x \in \mathbb{Q} \,:\, x > 0 \text{ et } x^2 < 3 \}\) et, pour tout rationnel \(r > 0\), \(g(r) = \dfrac{2r + 3}{r + 2}\).

1. Montrer que \(E\) est non vide et majorée par \(2\).
2. Ensuite, montrer que \(g(r)\) est un rationnel strictement positif, puis établir \(g(r) – r = \dfrac{3 – r^2}{r + 2}\) et \(g(r)^2 – 3 = \dfrac{r^2 – 3}{(r + 2)^2}\).
3. Soit \(r > 0\) rationnel avec \(r^2 < 3\). Montrer que \(r\) ne majore pas \(E\).
4. De même, soit \(r > 0\) rationnel avec \(r^2 > 3\). Montrer que \(g(r)\) est un majorant rationnel de \(E\) strictement plus petit que \(r\).
5. En déduire que \(E\) n’a pas de borne supérieure dans \(\mathbb{Q}\).
6. Enfin, montrer que, dans \(\mathbb{R}\), on a \(\sup E = \sqrt{3}\).

Exercice 18 – Inégalité de Cauchy-Schwarz discrète

Soient \(n \geqslant 1\) et des réels \(a_1, \ldots, a_n\), \(b_1, \ldots, b_n\).

1. En étudiant le signe de \(P(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i t + b_i)^2\), montrer que :
   \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). \]
2. Ensuite, soient \(x, y, z\) trois réels strictement positifs tels que \(x + y + z = 1\). Montrer que \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \geqslant 9\).
3. Enfin, soient \(x, y, z\) des réels tels que \(x + 2y + 2z = 9\). Montrer que \(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 9\) et trouver un cas d’égalité.

Exercice 19 – Approximations décimales et borne supérieure

Soit \(x\) un réel. Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n = \dfrac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}\) et \(v_n = u_n + 10^{-n}\).

1. D’abord, montrer que \(u_n \leqslant x < v_n\).
2. Ensuite, prouver que \(u_n \leqslant u_{n+1}\) pour tout \(n\).
3. Établir de plus que \(10^n \geqslant n\) pour tout \(n\), puis que \(x = \sup \{ u_n \,:\, n \in \mathbb{N} \}\) et \(x = \inf \{ v_n \,:\, n \in \mathbb{N} \}\).
4. Enfin, calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\) pour \(x = \dfrac{13}{7}\).

Exercice 20 – Problème – Sous-groupes additifs de R

Une partie \(G\) de \(\mathbb{R}\) est un sous-groupe additif si \(0 \in G\) et si \(x – y \in G\) pour tous \(x, y\) de \(G\). On admet qu’alors \(G\) est stable par somme et par opposé, et contient \(kg\) pour tout \(g \in G\) et tout \(k \in \mathbb{Z}\). Soit \(G\) un sous-groupe additif différent de \(\{0\}\).

1. Montrer que \(G_+ = G \cap \,]0, +\infty[\) est non vide. On pose \(a = \inf G_+\).
2. On suppose \(a > 0\).
   1. Montrer par l’absurde que \(a \in G\). On pourra trouver deux éléments \(g_1 > g_2\) de \(G\) dans \(]a, 2a[\).
   2. Ensuite, montrer que \(G = a\mathbb{Z} = \{ ka \,:\, k \in \mathbb{Z} \}\), en utilisant \(\left\lfloor \frac{g}{a} \right\rfloor\) pour \(g \in G\).
3. On suppose \(a = 0\). Soient \(x < y\) deux réels. Montrer qu’il existe \(g \in G\) avec \(0 < g < y – x\), puis que \(]x, y[\) contient un élément de \(G\). Par conséquent, conclure que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
4. Application. Soit \(H = \{ m + n\sqrt{2} \,:\, m, n \in \mathbb{Z} \}\).
   1. D’abord, montrer que \(H\) est un sous-groupe additif de \(\mathbb{R}\).
   2. Établir qu’aucun réel \(a > 0\) ne vérifie \(H = a\mathbb{Z}\), puis conclure à la densité de \(H\).

Pour aller plus loin

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