Combinatoire et probabilités en L1 de maths : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Options et divisibilité

1. Dans une promotion de \(120\) étudiants, \(70\) suivent l’option informatique, \(45\) l’option physique et \(20\) suivent les deux. Déterminer le nombre d’étudiants qui ne suivent aucune de ces deux options.
2. Ensuite, déterminer le nombre d’entiers de \(1\) à \(600\) divisibles par \(4\) ou par \(6\).

Exercice 2 – Mots, codes et anagrammes

On appelle mot toute suite de lettres de l’alphabet latin, qui en compte \(26\), même dépourvue de sens.

1. D’abord, dénombrer les mots de \(5\) lettres.
2. Ensuite, dénombrer les mots de \(5\) lettres deux à deux distinctes.
3. Enfin, dénombrer les anagrammes du mot PAPILLON, c’est-à-dire les mots obtenus en permutant ses lettres.

Exercice 3 – Premiers calculs de coefficients binomiaux

1. Calculer \(\dbinom{9}{4}\) et \(\dbinom{9}{5}\), puis expliquer leur égalité.
2. Ensuite, pour \(1 \leqslant k \leqslant n\), prouver la relation \((\star)\) : \(n\dbinom{n-1}{k-1} = k\dbinom{n}{k}\).
3. Enfin, calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k}\) sans calculer chaque terme.

Exercice 4 – Deux dés de couleurs différentes

On lance un dé rouge et un dé bleu, tous deux équilibrés à six faces.

1. Décrire un univers adapté et justifier l’équiprobabilité.
2. Calculer la probabilité que la somme des deux dés vaille \(9\).
3. De même, calculer la probabilité d’obtenir au moins un \(6\).
4. Enfin, calculer la probabilité que le plus grand des deux résultats soit égal à \(4\).

Exercice 5 – Deux tirages sans remise

Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) boules vertes. On tire successivement deux boules sans remise.

1. Calculer la probabilité que la seconde boule soit verte sachant que la première est rouge.
2. Ensuite, calculer la probabilité que les deux boules soient vertes.
3. Enfin, calculer la probabilité que la seconde boule soit verte.

Exercice 6 – Jetons numérotés

Un sac contient quatre jetons portant les numéros \(1\), \(1\), \(2\) et \(5\). On tire un jeton au hasard et l’on note \(X\) son numéro.

1. Déterminer la loi de \(X\).
2. Puis calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
3. Enfin, on reçoit \(Y = 4X – 3\) euros. Calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Former un comité

Un club compte \(7\) femmes et \(5\) hommes. On forme un comité de \(4\) personnes.

1. Dénombrer les comités possibles.
2. Ensuite, dénombrer les comités comportant exactement deux femmes.
3. De même, dénombrer les comités comportant au moins un homme.
4. Enfin, le comité doit désigner un président parmi ses membres. Compter de deux façons différentes le nombre de comités avec président.

Exercice 8 – Chemins dans un quadrillage

Dans le plan, on se déplace de \(O = (0, 0)\) à \(Q = (6, 4)\) par pas d’une unité, vers la droite ou vers le haut. La figure montre un tel chemin.

1. Combien de pas comporte un chemin ? Dénombrer les chemins de \(O\) à \(Q\).
2. Ensuite, dénombrer les chemins qui passent par \(P = (2, 3)\).
3. Enfin, en déduire le nombre de chemins qui évitent \(P\).

Exercice 9 – Multiples de 3, 5 ou 7

On note \(N\) le nombre d’entiers de \(1\) à \(1000\) divisibles par au moins l’un des nombres \(3\), \(5\) ou \(7\).

1. Justifier qu’il y a \(\left\lfloor \frac{1000}{d} \right\rfloor\) multiples de \(d\) entre \(1\) et \(1000\).
2. Puis calculer \(N\) grâce à la formule du cardinal d’une réunion de trois ensembles.
3. Enfin, on choisit un entier au hasard entre \(1\) et \(1000\). Donner la probabilité qu’il soit premier avec \(105\).

Exercice 10 – Sommes de coefficients binomiaux

Soit \(n \geqslant 1\) un entier.

1. À l’aide de la formule du binôme, calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}\).
2. En déduire qu’un ensemble à \(n\) éléments possède autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair, puis donner ce nombre.
3. Ensuite, à l’aide de la relation \((\star)\) de l’exercice 3, calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k}\).
4. Enfin, vérifier les résultats pour \(n = 4\).

Exercice 11 – Trois machines et une pièce défectueuse

Un atelier fabrique des pièces sur trois machines. La machine \(M_1\) produit \(50\,\%\) des pièces, \(M_2\) en produit \(30\,\%\) et \(M_3\) le reste. Les proportions de pièces défectueuses sont respectivement \(2\,\%\), \(3\,\%\) et \(5\,\%\). On prélève une pièce au hasard ; on note \(D\) l’événement « la pièce est défectueuse ».

1. Calculer \(P(D)\).
2. Ensuite, la pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de \(M_3\).
3. Enfin, comparer la part de \(M_3\) dans la production et sa part parmi les pièces défectueuses. Commenter.

Exercice 12 – Un test de dépistage et ses faux positifs

Dans un pays, \(0{,}4\,\%\) des habitants sont porteurs d’un virus. Le test de détection réagit pour \(98\,\%\) des porteurs, mais aussi, à tort, pour \(3\,\%\) des non-porteurs. On choisit un habitant au hasard et on le teste.

1. Calculer la probabilité d’une réaction positive.
2. Ensuite, le test a réagi. Calculer la probabilité que l’habitant soit porteur, puis commenter.
3. Enfin, un second test est pratiqué ; conditionnellement au statut de l’habitant, les deux tests sont indépendants. Les deux ont réagi : que devient la probabilité qu’il soit porteur ?

Exercice 13 – Parités de deux dés et indépendance

On jette un dé rouge et un dé bleu, équilibrés à six faces. Soient \(A\) l’événement « le dé rouge montre une face paire », \(B\) l’événement « le dé bleu montre une face paire » et \(C\) l’événement « le total des deux faces est pair ».

1. Calculer \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(C)\).
2. Ensuite, montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) sont deux à deux indépendants.
3. Sont-ils mutuellement indépendants ?
4. Enfin, démontrer en général que, si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline{B}\) le sont aussi.

Exercice 14 – Répondre au hasard à un QCM

Un QCM comporte \(12\) questions, chacune avec \(4\) propositions dont une seule est exacte. Un candidat qui n’a rien révisé coche une case au hasard pour chaque question, indépendamment d’une question à l’autre. Soit \(X\) le total de ses réponses exactes.

1. Identifier la loi de \(X\), paramètres compris, en justifiant.
2. Ensuite, calculer \(P(X = 3)\) et \(P(X \geqslant 1)\), avec trois chiffres significatifs.
3. De plus, donner \(E(X)\) et \(V(X)\).
4. Enfin, une bonne réponse rapporte \(1\) point et une mauvaise en retire \(\frac{1}{3}\). Exprimer la note \(S\) en fonction de \(X\), puis calculer \(E(S)\) et \(V(S)\).

Exercice 15 – Un jeu de dés est-il favorable

Pour jouer, on paie \(2\) euros puis on lance deux dés équilibrés. On reçoit \(10\) euros si l’on obtient un double, \(3\) euros si la somme vaut \(7\), et rien sinon. On note \(G\) le gain net, mise déduite.

1. Déterminer la loi de \(G\).
2. Ensuite, calculer \(E(G)\) et dire si le jeu est favorable au joueur.
3. De plus, calculer \(V(G)\).
4. Enfin, déterminer la mise qui rend le jeu équitable.

Exercice 16 – Écart entre deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces et l’on note \(X\) la valeur absolue de la différence des deux résultats.

1. Déterminer la loi de \(X\) à l’aide d’un tableau à double entrée.
2. Ensuite, calculer \(E(X)\).
3. Enfin, calculer \(V(X)\) par la formule de König-Huygens.

Pour approfondir

Exercice 17 – Lettres et enveloppes mélangées

Une secrétaire place au hasard \(n\) lettres dans \(n\) enveloppes déjà adressées, une lettre par enveloppe. Toutes les permutations sont équiprobables. Pour \(1 \leqslant j \leqslant n\), on note \(L_j\) l’événement « la lettre \(j\) arrive dans son enveloppe ».

1. D’abord, pour des indices distincts \(j_1, \ldots, j_k\), calculer la probabilité que les lettres \(j_1, \ldots, j_k\) soient toutes bien placées.
2. Ensuite, on admet la formule du crible : la probabilité de \(L_1 \cup \cdots \cup L_n\) vaut \(\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} s_k\), où \(s_k\) est la somme des probabilités \(P(L_{j_1} \cap \cdots \cap L_{j_k})\) sur tous les choix \(j_1 < \cdots < j_k\). En déduire que la probabilité qu’aucune lettre ne soit bien placée vaut \(\displaystyle p_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\).
3. Enfin, calculer \(p_4\) et vérifier ce résultat en dénombrant directement les permutations de \(\{1, 2, 3, 4\}\) sans point fixe.

Exercice 18 – Espérance et variance de la loi binomiale

Soit \(X\) une variable de loi \(\mathcal{B}(n, p)\), avec \(n \geqslant 2\), et \(q = 1 – p\).

1. D’abord, à l’aide de la relation \((\star)\) de l’exercice 3 et de la formule du binôme, montrer que \(E(X) = np\).
2. Ensuite, établir que \(k(k-1)\binom{n}{k} = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}\) pour \(2 \leqslant k \leqslant n\), puis calculer \(E(X(X-1))\).
3. Enfin, en déduire que \(V(X) = npq\).

Exercice 19 – Une urne qui se renforce

Une urne contient \(2\) boules blanches et \(1\) boule noire. On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l’urne avec une boule supplémentaire de la même couleur. On effectue ensuite un second tirage. On note \(B_1\) et \(B_2\) les événements « la boule tirée est blanche » au premier et au second tirage.

1. Calculer \(P(B_2)\) et comparer avec \(P(B_1)\).
2. Ensuite, calculer \(P_{B_2}(B_1)\).
3. Les événements \(B_1\) et \(B_2\) sont-ils indépendants ?
4. Enfin, calculer la probabilité que les deux premiers tirages donnent des couleurs différentes.

Exercice 20 – Problème – Records dans une permutation

Soit \(n \geqslant 2\). On choisit au hasard une permutation \((\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) de \(\{1, \ldots, n\}\), toutes étant équiprobables. On dit que le rang \(k\) est un record si \(\sigma_k\) est strictement plus grand que \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{k-1}\) ; le rang \(1\) est toujours un record. On note \(R_n\) le nombre de records et \(X_k\) la variable qui vaut \(1\) si le rang \(k\) est un record, \(0\) sinon.

1. Pour \(n = 3\), dresser la liste des six permutations, compter leurs records et en déduire la loi de \(R_3\) et \(E(R_3)\).
2. Ensuite, dans le cas général, montrer que \(P(X_k = 1) = \frac{1}{k}\). On pourra compter les permutations pour lesquelles le maximum de \(\sigma_1, \ldots, \sigma_k\) est atteint au rang \(k\).
3. De plus, exprimer \(R_n\) à l’aide des \(X_k\) et en déduire \(E(R_n)\). Vérifier la valeur obtenue pour \(n = 3\).
4. Par ailleurs, calculer \(P(R_n = 1)\) et \(P(R_n = n)\).
5. Enfin, pour \(n = 3\), montrer que \(X_2\) et \(X_3\) sont indépendantes, c’est-à-dire que \(P(X_2 = 1, X_3 = 1) = P(X_2 = 1)\,P(X_3 = 1)\).

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «combinatoire et probabilités en L1 de maths : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 224 426 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.