Borne supérieure et propriété d’Archimède : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « borne supérieure et propriété d’Archimède », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure porte sur le chapitre consacré aux inégalités dans \(\mathbb{R}\) et à l’axiome de la borne supérieure. Vous manipulerez d’abord la valeur absolue et l’inégalité triangulaire, puis vous déterminerez des bornes à l’aide de la caractérisation par epsilon. Ensuite, la partie entière et la propriété d’Archimède serviront d’outils de preuve. Une question de cours vous demande aussi de démontrer la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\). Enfin, le problème étudie la borne supérieure d’une somme de parties, avec une application. Traitez ce sujet avant le chapitre sur les suites, qui réutilise ces outils.
Ce qu’évalue le contrôle : borne supérieure et propriété d’Archimède
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Inégalités, borne supérieure et propriété d’Archimède (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Résoudre une inéquation avec valeurs absolues et majorer une expression sur un intervalle
- Prouver qu’un réel est la borne supérieure d’une partie grâce à la caractérisation par epsilon
- Utiliser la propriété d’Archimède et la partie entière dans une démonstration
- Démontrer la densité de Q dans R puis celle des irrationnels
Avant de commencer le devoir
Pour prouver que \(M\) est une borne supérieure, séparez toujours les deux étapes : d’abord \(M\) est un majorant, ensuite tout réel strictement inférieur à \(M\) n’en est plus un. Dans la seconde étape, fixez \(\varepsilon > 0\) en début de phrase, puis exhibez un élément explicite, souvent grâce à Archimède. Avec la partie entière, écrivez enfin \(x = n + t\), où \(t \in [0\,;1[\), car cette décomposition évite bien des erreurs.
Le sujet du contrôle : borne supérieure et propriété d’Archimède
Exercice 1 – Valeurs absolues et majorations (3 points)
La figure représente les fonctions \(x \mapsto |2x – 3|\) et \(x \mapsto |x + 1|\) sur \([-2\,;6]\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(|2x – 3| \leq |x + 1|\), puis contrôler le résultat sur la figure.
- Démontrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\big||a| – |b|\big| \leq |a – b|\).
- Montrer que, pour tout \(x \in [-2\,;3]\), \(|x^3 – 4x + 5| \leq 44\).
Exercice 2 – Un ensemble qui s’accumule près de 2 (4 points)
On considère la partie \(A = \left\{ 2 – \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{m} \;:\; n \in \mathbb{N}^*,\ m \in \mathbb{N}^* \right\}\) de \(\mathbb{R}\). La figure place quelques-uns de ses éléments sur une droite graduée.
- Montrer que \(A\) admet un plus petit élément, que l’on précisera.
- Justifier que \(2\) est un majorant de \(A\).
- À l’aide de la caractérisation par \(\varepsilon\) et de la propriété d’Archimède, prouver que \(\sup A = 2\).
- La partie \(A\) possède-t-elle un plus grand élément ? Justifier.
Exercice 3 – Partie entière et principe d’Archimède (4 points)
Pour tout réel \(x\), \(\lfloor x \rfloor\) désigne sa partie entière ; on définit alors \(g(x) = \lfloor 3x \rfloor – 3\lfloor x \rfloor\). La figure trace \(g\) sur \([-1\,;2[\).
- Démontrer que \(g\) ne prend que les valeurs \(0\), \(1\) et \(2\), et décrire les réels pour lesquels \(g(x) = 2\).
- Soit \(k \in \mathbb{N}^*\). Établir que, pour tout réel \(x\), \(\left\lfloor \dfrac{\lfloor x \rfloor}{k} \right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{x}{k} \right\rfloor\).
- Énoncer la propriété d’Archimède. Prouver ensuite que tout réel \(\varepsilon > 0\) majore strictement au moins un inverse d’entier \(\frac{1}{p}\), avec \(p \in \mathbb{N}^*\), puis en déduire la borne inférieure de \(\left\{ \frac{1}{p} : p \in \mathbb{N}^* \right\}\).
Exercice 4 – Question de cours : densité de Q dans R (3 points)
Dans cet exercice, on admet l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) ; en revanche, chaque autre étape doit être démontrée.
- Soient \(a < b\) deux réels. Démontrer qu’il existe un rationnel \(r\) tel que \(a < r < b\). On pourra choisir \(q \in \mathbb{N}^*\) avec \(q(b – a) > 1\), puis poser \(p = \lfloor qa \rfloor + 1\).
- En déduire qu’entre deux réels distincts il existe toujours un irrationnel.
Exercice 5 – Problème : borne supérieure d’une somme de parties (6 points)
On fixe deux parties \(A\) et \(B\) de \(\mathbb{R}\), chacune non vide et majorée, puis l’on définit \(A + B = \{ a + b : a \in A,\ b \in B \}\) et \(A \cdot B = \{ ab : a \in A,\ b \in B \}\).
- Justifier l’existence de \(\sup A\) et de \(\sup B\). Établir ensuite que \(A + B\) possède une borne supérieure vérifiant \(\sup(A + B) \leq \sup A + \sup B\).
- Prouver l’égalité \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\) grâce à la caractérisation par \(\varepsilon\).
- Application : on pose \(A_0 = \left\{ 1 – \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^* \right\}\) et \(B_0 = \{ q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2 \}\). Déterminer \(\sup A_0\) et \(\sup B_0\), puis \(\sup(A_0 + B_0)\).
- La borne supérieure de \(A_0 + B_0\) est-elle atteinte ?
- Montrer par un contre-exemple que l’égalité \(\sup(A \cdot B) = \sup A \times \sup B\) est fausse en général.
Réviser borne supérieure et propriété d’Archimède avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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