QCM : Pivot de Gauss et matrices en L1 de maths

Réponse D.

Les trois opérations élémentaires sont réversibles : échange, multiplication par un réel non nul, ajout d’un multiple d’une autre ligne. Les trois enchaînements proposés en sont formés. Cependant, faire les deux remplacements simultanément produit deux lignes identiques égales à \(L_1+L_2\). On perd donc une équation, et l’ensemble des solutions peut grossir. Le piège est de croire que toute combinaison de lignes est permise.

Réponse B.

Chaque équation définit un plan, et ces deux plans ne sont pas parallèles, car leurs vecteurs normaux \((1,1,-1)\) et \((2,-1,1)\) ne sont pas colinéaires. Leur intersection est donc une droite. Concrètement, la somme des lignes donne \(x=\frac{5}{3}\), puis \(y-z=-\frac{2}{3}\) laisse un paramètre libre. Le piège « un point » vient de l’idée fausse qu’un système a toujours une seule solution.

Réponse C.

Le coefficient \((i,j)\) de \(AB\) est le produit de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\). Ainsi la première ligne donne \(3+2=5\) et \(0+8=8\), la seconde \(-1\) et \(-4\). La matrice de première ligne \((3,6)\) est \(BA\), différent de \(AB\). La matrice diagonale multiplie terme à terme. Celle qui a \(1\) en bas à gauche oublie le signe de \(0\times 3+(-1)\times 1\).

Réponse D.

La transposée d’un produit inverse l’ordre des facteurs. D’ailleurs, \(A^{T}B^{T}\) n’est en général même pas défini, puisque \(A^{T}\) est de taille \(p\times n\) et \(B^{T}\) de taille \(q\times p\). Par conséquent, l’ordre \(B^{T}A^{T}\) est le seul compatible avec les tailles. Enfin, écrire \(AB\) ou \(BA\) revient à confondre transposition et symétrie, ou à ignorer la transposée.

Réponse B.

On développe \((A+B)(A+B)\) en respectant l’ordre des facteurs, ce qui donne bien \(A^2+AB+BA+B^2\). Le produit matriciel n’étant pas commutatif, on ne peut regrouper \(AB\) et \(BA\) que si \(A\) et \(B\) commutent. Ainsi l’identité remarquable du lycée est un piège. Quant à \(A^2+B^2\), elle oublie complètement les termes croisés.

Réponse A.

Une matrice triangulaire est déjà échelonnée. Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, ils servent de pivots et la remontée fournit l’inverse. En revanche, un zéro sur la diagonale fait perdre un pivot, donc le rang devient strictement inférieur à la taille. Le piège de la trace est fréquent : \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) a une trace non nulle sans être inversible.

Réponse C.

Les inconnues principales sont celles des pivots, c’est-à-dire la première inconnue de chaque ligne non nulle : ici \(x\) et \(z\). Les autres, \(y\) et \(t\), sont secondaires et servent de paramètres. Le piège \(x\) et \(z\) inverse les deux notions. Par ailleurs, choisir \(z\) et \(t\) revient à prendre les inconnues de la dernière ligne, ce qui ne correspond à aucune règle.

Réponse A.

La seconde ligne donne \(y=1-2\lambda\). On remonte ensuite dans la première : \(x=2-y+z=2-(1-2\lambda)+\lambda=1+3\lambda\). La réponse \(1+\lambda\) oublie de distribuer le signe moins devant la parenthèse. La réponse \(1+2\lambda\) se trompe de signe en isolant \(y\). Enfin, \(1-3\lambda\) vient d’un \(z\) passé du mauvais côté de l’égalité.

Réponse B.

La deuxième ligne vaut deux fois la première. Donc l’opération \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) l’annule. Ensuite, \(L_3\leftarrow L_3-L_1\) donne \((0,-2,-2)\), qui fournit un second pivot. Il reste ainsi deux pivots, et le rang vaut \(2\). Le piège \(3\) compte les lignes sans échelonner. À l’inverse, \(1\) suppose à tort que toutes les lignes sont proportionnelles.

Réponse A.

Le pivot transforme \(A\) en \(I_2\) et, en parallèle, \(I_2\) en \(A^{-1}\). Ici, \(2\times 3-1\times 5=1\), donc l’inverse est \(\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\). Vérification : le produit par \(A\) redonne bien \(I_2\). La matrice de première ligne \((3,-5)\) est la transposée de l’inverse. Celle aux signes tous changés est son opposé. Celle qui commence par \(2\) oublie d’échanger les coefficients diagonaux.

Réponse C.

Après échelonnement, il reste deux pivots et une ligne de gauche nulle. Si le second membre de cette ligne vaut \(0\), le système est compatible, et l’inconnue secondaire donne une infinité de solutions. Sinon, on obtient \(0=c\) avec \(c\) non nul, donc aucune solution. L’unicité exige un rang \(3\). Le piège est d’oublier la condition de compatibilité.

Réponse D.

L’opération \(L_2\leftarrow L_2-3L_1\) donne \((m-6)y=1\). Si \(m\neq 6\), on obtient une unique valeur de \(y\), puis de \(x\). En revanche, si \(m=6\), la ligne devient \(0=1\), donc aucune solution. Le piège « une infinité » oublie de regarder le second membre. Quant à \(m=2\), il vient d’une élimination faite sans le facteur \(3\).