QCM : Relations d’équivalence et d’ordre en L1 de maths

Réponse C.

La réflexivité exige \((x,x)\) pour tout \(x\) de \(E\), y compris \(c\) : elle échoue donc. En revanche, la transitivité tient, puisque les seules chaînes possibles retombent sur \((a,b)\). L’antisymétrie tient aussi, car \((b,a)\) est absent. Ainsi, la relation n’est pas un ordre sur \(E\) faute de réflexivité. Le piège sur \((b,a)\) confond transitivité et symétrie.

Réponse C.

Si \(x\,\mathcal{R}\,y\), la symétrie donne \(y\,\mathcal{R}\,x\), puis l’antisymétrie impose \(x=y\). Par conséquent, tout couple du graphe est diagonal. Cependant, rien n’oblige tous les couples \((x,x)\) à y figurer : sans réflexivité, ce n’est pas forcément l’égalité. Le graphe vide et l’égalité sont deux cas particuliers, donc ni l’un ni l’autre n’est imposé.

Réponse B.

La divisibilité est réflexive et transitive. De plus, sur \(\mathbb{N}^*\), \(a\mid b\) et \(b\mid a\) donnent \(a=b\) : c’est donc un ordre. Il n’est pas total, puisque 4 ne divise pas 6 et 6 ne divise pas 4. Le piège de l’antisymétrie vient de \(\mathbb{Z}\), où 3 et \(-3\) se divisent mutuellement. Enfin, la relation n’est pas symétrique.

Réponse A.

Comme \(2\equiv -1\) modulo 3, la condition équivaut à \(x\equiv y \pmod 3\). Ainsi, \(\mathcal{R}\) n’est autre que la congruence modulo 3, avec les classes de 0, 1 et 2. L’écriture \(x+2y\) semble dissymétrique, d’où le piège de la symétrie. Or \(y+2x=3(x+y)-(x+2y)\), qui est bien divisible par 3 dès que \(x+2y\) l’est.

Réponse D.

Une relation d’équivalence correspond exactement à une partition de l’ensemble en classes. Pour \(\{a,b,c\}\), on trouve une seule classe, trois partitions du type une paire plus un singleton, et la partition en trois singletons : cela fait 5. La réponse 6 compte les permutations, et 3 oublie les deux partitions extrêmes. Quant à 8, c’est le nombre de parties de l’ensemble.

Réponse D.

La relation est de la forme \(f(x,y)=f(x^{\prime},y^{\prime})\) avec \(f(x,y)=y-x^2\). Chaque classe correspond donc à une valeur de \(f\). Or \(f\) atteint tout réel \(c\), par exemple en \((0,c)\). Par conséquent, le quotient s’identifie à \(\mathbb{R}\). Le piège \(\mathbb{R}^*\) oublie la parabole \(y=x^2\), et \([0,+\infty[\) regarde le mauvais invariant.

Réponse B.

Un majorant de \(\{4,6\}\) pour la divisibilité est un multiple commun de 4 et de 6, donc un multiple de 12. Le plus petit de ces majorants, au sens de la divisibilité, est ainsi 12, le PPCM. La réponse 6 utilise l’ordre usuel, alors que 4 ne divise pas 6. Le produit 24 est un majorant, mais pas le plus petit. Enfin, 2 est la borne inférieure.

Réponse C.

Le singleton \(\{1\}\) est inclus dans chaque élément de \(A\) : c’est donc le plus petit élément. En revanche, \(\{1,2\}\) et \(\{1,3\}\) sont incomparables, si bien qu’aucun ne contient l’autre. Ce sont deux éléments maximaux, pas des plus grands éléments, qui seraient d’ailleurs uniques. Enfin, \(\{1,2,3\}\) est la borne supérieure de \(A\), mais il n’appartient pas à \(A\).

Réponse B.

Le rationnel 2 majore \(B\), puisque \(2^3=8\). Cependant, la borne supérieure dans \(\mathbb{R}\) serait \(\sqrt[3]{5}\), qui est irrationnel. Dans \(\mathbb{Q}\), tout majorant rationnel peut donc être remplacé par un majorant rationnel plus petit. Ainsi, il n’existe pas de plus petit majorant. Proposer \(\sqrt[3]{5}\) oublie que ce nombre n’est pas rationnel. Par ailleurs, être majorée ne garantit jamais un maximum.

Réponse A.

Les trois propriétés d’un ordre se vérifient coordonnée par coordonnée : on obtient donc l’ordre produit. Pourtant, \((0,1)\) et \((1,0)\) ne se comparent dans aucun sens, car chaque couple gagne sur une coordonnée. Par conséquent, cet ordre est partiel. Le piège classique transporte la totalité de \(\leqslant\) sur \(\mathbb{R}\) au produit, ou le confond avec l’ordre lexicographique, qui est total.

Réponse A.

Dans un ordre total, tout \(x\) est comparable à \(m\). Or \(x\) ne peut pas être strictement au-dessus, donc \(x\leqslant m\) : ainsi, \(m\) est le plus grand élément. Dans un ordre partiel, en revanche, deux éléments maximaux peuvent coexister, comme \(\{1,2\}\) et \(\{1,3\}\) pour l’inclusion. Par conséquent, ni l’unicité ni le rôle de majorant ne sont garantis en général.

Réponse D.

Toute relation du type \(f(x)=f(y)\) hérite de la réflexivité, de la symétrie et de la transitivité de l’égalité : c’est donc une équivalence. En revanche, \(|x-y|\leqslant 1\) n’est pas transitive, puisque 0 est proche de 1, lui-même proche de 2. De même, \(xy\geqslant 0\) échoue avec \(1\), \(0\) et \(-1\). Enfin, \(x-y\in\mathbb{N}\) n’est pas symétrique.