Dérivabilité, Rolle et TAF en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Dérivabilité d’un produit par une valeur absolue

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x \, |x – 3|\).

1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) et donner \(f^{\prime}(x)\) selon la position de \(x\) par rapport à \(3\).
2. Étudier la dérivabilité à gauche et à droite de \(f\) en \(3\).
3. La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(3\) ? Donner les équations des demi-tangentes en ce point.

Exercice 2 – Raccord d’un polynôme et d’un logarithme

Soient \(a, b\) deux réels. On définit \(f\) sur \(]0, +\infty[\) par \(f(x) = a x^2 + b x\) si \(x < 1\) et \(f(x) = \ln x\) si \(x \geqslant 1\).

1. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue et dérivable en \(1\).
2. Avec ces valeurs, montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\).
3. La fonction \(f\) est-elle deux fois dérivable en \(1\) ?

Exercice 3 – Nombre dérivé d’une réciproque sans formule explicite

Soit \(f(x) = x^3 + 2x + 1\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Justifier que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)\) et \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(4)\).

Exercice 4 – Points critiques d’un polynôme de degré quatre

Soit \(f(x) = 3x^4 – 8x^3 + 6x^2\).

1. Calculer \(f^{\prime}(x)\) et la factoriser.
2. Déterminer les points critiques de \(f\) et préciser lesquels sont des extremums locaux.
3. Montrer que \(f(x) \geqslant 0\) pour tout réel \(x\).

Exercice 5 – Rolle sur un exemple et contre-exemple

1. Soit \(f(x) = (x – 1)^2 (x – 4)\). Vérifier que \(f\) satisfait les hypothèses du théorème de Rolle sur \([1, 4]\), puis déterminer tous les réels \(c\) de \(]1, 4[\) tels que \(f^{\prime}(c) = 0\).
2. Soit \(g(x) = |x – 2|\) sur \([1, 3]\). Montrer que \(g(1) = g(3)\) mais que \(g^{\prime}\) ne s’annule pas sur \(]1, 3[\). Quelle hypothèse du théorème fait défaut ?

Exercice 6 – Deux dérivées n-ièmes par récurrence

1. Soit \(u(x) = \dfrac{1}{x + 2}\) sur \(]-2, +\infty[\). Conjecturer puis démontrer une formule pour \(u^{(n)}(x)\).
2. Soit \(v(x) = \cos(2x)\). Montrer que \(v^{(n)}(x) = 2^{n} \cos\left(2x + n \dfrac{\pi}{2}\right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. En déduire \(u^{(5)}(0)\) et \(v^{(5)}(0)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une fonction dérivable dont la dérivée oscille

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(0) = 0\) et \(f(x) = x^3 \sin\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\) pour \(x \neq 0\). Son graphe et celui de sa dérivée sont tracés ci-dessous.

1. Montrer que \(f\) est dérivable en \(0\) et préciser \(f^{\prime}(0)\).
2. Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \neq 0\).
3. À l’aide de la suite \(x_k = \dfrac{1}{\sqrt{2k\pi}}\), montrer que \(f\) n’est pas de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 8 – Encadrer une racine carrée par les accroissements finis

1. Soient \(0 < a < b\). Montrer que \(\dfrac{b – a}{2\sqrt{b}} < \sqrt{b} – \sqrt{a} < \dfrac{b – a}{2\sqrt{a}}\).
2. En déduire un encadrement de \(\sqrt{101}\) d’amplitude inférieure à \(5 \times 10^{-3}\).

Exercice 9 – Nombre exact de racines réelles d’un polynôme

Soit \(P(x) = x^5 – 5x + 1\), représenté ci-dessous.

1. Montrer, à l’aide du théorème de Rolle, que \(P\) possède au plus trois racines réelles.
2. Montrer que \(P\) possède exactement trois racines réelles et les localiser entre deux entiers consécutifs.

Exercice 10 – Un quotient trigonométrique lipschitzien

Soit \(f(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}\).
2. En étudiant \(\varphi(t) = \dfrac{2t + 1}{(2 + t)^2}\) sur \([-1, 1]\), montrer que \(|f^{\prime}(x)| \leqslant 1\) pour tout \(x\).
3. En déduire que \(|f(x) – f(y)| \leqslant |x – y|\) pour tous réels \(x, y\).
4. Déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 11 – Inégalité entre arctangente et fraction rationnelle

1. Montrer que, pour tout \(x > 0\), \(\arctan x > \dfrac{x}{1 + x^2}\).
2. Montrer que, pour tout \(x > 0\), \(\arctan x < x\).
3. En déduire la limite de \(\dfrac{\arctan x}{x}\) quand \(x \to 0^{+}\), sans utiliser de nombre dérivé.

Exercice 12 – Leibniz pour un polynôme fois une exponentielle

Soit \(f(x) = x^2 e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. À l’aide de la formule de Leibniz, montrer que \(f^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x} \left( x^2 – 2n x + n(n-1) \right)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. En déduire \(f^{(n)}(0)\), puis vérifier le résultat pour \(n = 2\) par un calcul direct.

Exercice 13 – Réciproque de x plus logarithme

Soit \(f(x) = x + \ln x\) sur \(]0, +\infty[\).

1. Montrer que \(f\) est une bijection de \(]0, +\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa réciproque.
2. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(g^{\prime} = \dfrac{g}{1 + g}\).
3. Calculer \(g(1)\), \(g^{\prime}(1)\), puis justifier que \(g\) est deux fois dérivable et calculer \(g^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 14 – Demi-tangentes d’une racine multipliée par une valeur absolue

Soit \(f(x) = |x| \sqrt{1 + x}\) sur \([-1, +\infty[\).

1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]-1, 0[\) et sur \(]0, +\infty[\).
2. Étudier la dérivabilité à gauche et à droite de \(f\) en \(0\).
3. Étudier la dérivabilité à droite de \(f\) en \(-1\) et interpréter géométriquement.

Exercice 15 – Rolle itéré et équation exponentielle

1. Soit \(n \geqslant 1\). On considère \(h : I \to \mathbb{R}\), dérivable \(n\) fois sur l’intervalle \(I\), ayant au moins \(n + 1\) zéros distincts. Prouver l’existence d’un zéro de \(h^{(n)}\) dans \(I\).
2. Soient \(a, b, c\) trois réels. Montrer que l’équation \(e^{x} = a x^2 + b x + c\) possède au plus trois solutions réelles.
3. Montrer que l’équation \(e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\) possède exactement une solution réelle.

Pour approfondir

Exercice 16 – Théorème de Darboux

Soit \(f\) dérivable sur \([a,b]\), avec \(a < b\) ; aux bornes, il s’agit de dérivées à droite en \(a\) et à gauche en \(b\).

1. On suppose \(f^{\prime}(a) < 0 < f^{\prime}(b)\). Montrer que \(f\) atteint son minimum sur \([a,b]\) en un point \(c\) de \(]a,b[\), puis que \(f^{\prime}(c) = 0\).
2. Soit \(\lambda\) strictement compris entre \(f^{\prime}(a)\) et \(f^{\prime}(b)\). Montrer qu’il existe \(c \in \, ]a,b[\) tel que \(f^{\prime}(c) = \lambda\).
3. En déduire que la fonction partie entière, restreinte à \([0, 2]\), n’est la dérivée d’aucune fonction dérivable sur \([0,2]\).

Exercice 17 – Accroissements finis généralisés

Soient \(a < b\), et \(f, g\) continues sur \([a,b]\), dérivables sur \(]a,b[\), avec \(g^{\prime}(x) \neq 0\) pour tout \(x \in \, ]a,b[\).

1. Montrer que \(g(b) \neq g(a)\).
2. En appliquant le théorème de Rolle à \(f – \lambda g\) pour un réel \(\lambda\) bien choisi, montrer qu’il existe \(c \in \, ]a,b[\) tel que \(\dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} = \dfrac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}\).
3. En déduire que \(\dfrac{e^{x} – 1 – x}{x^2}\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\) quand \(x \to 0^{+}\).

Exercice 18 – Limite de la dérivée et prolongement

Soient \(a < b\) et \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b]\).

1. On suppose que \(f^{\prime}(x)\) tend vers un réel \(\ell\) quand \(x \to a^{+}\). Montrer que \(f\) est dérivable à droite en \(a\) et que \(f^{\prime}_d(a) = \ell\).
2. Application : montrer que \(x \mapsto \sqrt{x} \sin x\) est dérivable à droite en \(0\) et préciser ce nombre dérivé.
3. La réciproque du résultat de la question 1 est-elle vraie ? On pourra utiliser l’exercice 7.

Exercice 19 – Problème – Polynômes obtenus par dérivations successives

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(g_n(x) = x^n (1 – x)^n\) et \(Q_n = g_n^{(n)}\).

1. Montrer que \(Q_n\) est un polynôme de degré \(n\) et déterminer son coefficient dominant.
2. À l’aide de la formule de Leibniz, calculer \(Q_n(0)\) et \(Q_n(1)\).
3. Montrer que, pour \(0 \leqslant k \leqslant n – 1\), on a \(g_n^{(k)}(0) = g_n^{(k)}(1) = 0\).
4. Montrer par récurrence sur \(k \in \{1, \dots, n\}\) que \(g_n^{(k)}\) possède au moins \(k\) racines distinctes dans \(]0, 1[\).
5. En déduire que \(Q_n\) possède exactement \(n\) racines réelles, toutes simples et situées dans \(]0,1[\).
6. Calculer explicitement \(Q_2\) et ses racines, puis vérifier les résultats précédents.

Pour aller plus loin

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