Ce que ce quiz de L1 fait réviser
Ce quiz express rassemble les automatismes que l'on attend en première année de licence sur la dérivabilité. Tu y examines le taux d'accroissement en un point délicat, le nombre dérivé d'une bijection réciproque, la différence entre point critique et extremum, les hypothèses exactes du théorème de Rolle et la majoration obtenue par l'inégalité des accroissements finis. Deux questions te demandent enfin d'écrire directement une dérivée n-ième, d'un produit ou d'une fonction trigonométrique.
Fais-le juste avant un TD ou une interrogation : chaque question se résout en quelques secondes si le cours est su. Une erreur trahit souvent une hypothèse oubliée, par exemple un domaine qui n'est pas un intervalle, ou une fonction dérivable dont la dérivée n'est pas continue. Note la notion en cause, relis-la, puis reprends le quiz avant le partiel.
Aller plus loin sur dérivées, tangentes et accroissements finis
Une erreur ? Reprends le cours de L1 de maths, les exercices corrigés ou le QCM détaillé sur Maths PDF, puis retente le quiz. Tous les chapitres de l’année sont réunis sur la page L1 de maths.
Questions fréquentes : dérivées, tangentes et accroissements finis en L1
Une fonction dérivable a-t-elle forcément une dérivée continue ?
Non. Prolonger x² cos(1/x) par la valeur nulle à l'origine fournit un contre-exemple : le taux d'accroissement y tend vers zéro, pourtant la fonction dérivée oscille sans converger quand x approche l'origine, donc elle n'est pas C1.
Faut-il vraiment que f(a) = f(b) pour appliquer Rolle ?
Oui, c'est l'hypothèse centrale avec la continuité sur [a, b] et la dérivabilité sur ]a, b[. Si f(a) et f(b) diffèrent, on utilise plutôt l'égalité des accroissements finis.
Pourquoi le signe de la dérivée ne suffit-il pas toujours pour conclure à la monotonie ?
La preuve repose sur les accroissements finis entre deux points quelconques du domaine, ce qui exige que tout le segment qui les relie soit inclus dedans. Si le domaine présente un trou, comme R privé de 0, la conclusion tombe.
