Multiplicités et factorisation dans R[X] : contrôle de maths en L1
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Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « multiplicités et factorisation dans R[X] », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente évalue le chapitre sur les polynômes à coefficients réels ou complexes. Une question de cours vous demande d’abord de prouver qu’un polynôme non nul de degré n possède au plus n racines. Ensuite, trois divisions euclidiennes mêlent calcul posé et recherche d’un reste par évaluation.
Le cœur du sujet porte sur la multiplicité d’une racine, lue sur les polynômes dérivés, puis sur la factorisation en irréductibles dans C[X] et dans R[X]. Enfin, le problème exploite les relations entre coefficients et racines d’un polynôme de degré 3. Faites ce sujet en fin de premier semestre, après le théorème de d’Alembert-Gauss.
Ce qu’évalue le contrôle : multiplicités et factorisation dans R[X]
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Polynômes : division, racines et d’Alembert-Gauss (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer qu’un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines
- Effectuer une division euclidienne et calculer un reste par évaluation en des racines
- Déterminer la multiplicité d’une racine à l’aide des polynômes dérivés
- Factoriser un polynôme en irréductibles dans C[X] puis dans R[X]
- Exploiter les relations entre coefficients et racines d’un polynôme de degré 3
Avant de commencer le devoir
Dans une division euclidienne, contrôlez toujours que le reste a un degré strictement inférieur à celui du diviseur, puis vérifiez l’égalité en développant. Pour trouver un reste sans poser la division, évaluez aux racines du diviseur. Ensuite, quand un polynôme réel admet une racine non réelle, pensez aussitôt à sa racine conjuguée. Enfin, dans le problème, n’essayez pas de calculer les racines : les sommes symétriques suffisent.
Le sujet du contrôle : multiplicités et factorisation dans R[X]
Exercice 1 – Question de cours : au plus n racines (3 points)
Dans tout l’exercice, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et l’on utilise librement l’existence et l’unicité de la division euclidienne dans \(\mathbb{K}[X]\).
- Soit \(P \in \mathbb{K}[X]\) et \(a \in \mathbb{K}\). Démontrer que \(P(a) = 0\) si et seulement si \(X – a\) divise \(P\).
- Montrer ensuite, par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\), qu’un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines distinctes.
- Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(x + 1) = P(x)\) pour tout réel \(x\). Prouver alors que \(P\) est constant.
Exercice 2 – Trois divisions euclidiennes (4 points)
Les trois questions sont indépendantes. Dans chacune, le reste cherché doit être donné sous forme développée.
- Effectuer la division euclidienne de \(A = 2X^4 + X^3 – 5X^2 + 3\) par \(B = X^2 + X – 1\), puis vérifier le résultat.
- Soit \(n \in \mathbb{N}\). Sans poser la division, déterminer le reste de la division de \(X^n\) par \((X + 1)(X – 2)\).
- Déterminer de même le reste de la division de \(X^{2026}\) par \(X^2 + 1\).
Exercice 3 – Racines multiples et dérivées (4 points)
On pose \(P = X^4 – X^3 – 3X^2 + 5X – 2\). Sa courbe représentative est tracée ci-dessous ; on remarque qu’elle s’aplatit nettement au voisinage du point d’abscisse \(1\).
- Rappeler la caractérisation de la multiplicité d’une racine à l’aide des polynômes dérivés.
- Montrer que \(1\) est racine de \(P\) et préciser sa multiplicité. En déduire alors la factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
- Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour lesquels \(-1\) est racine au moins double de \(Q = X^4 + aX^3 + bX + 3\). Pour ces valeurs, donner la multiplicité exacte de \(-1\), puis factoriser \(Q\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).
Exercice 4 – Des complexes aux réels (4 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé. La figure montre le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\), ainsi que le point \(A\) d’affixe \(1 + \mathrm{i}\sqrt{3}\).
- Vérifier que l’affixe de \(A\) est solution de \(z^6 = 64\). Résoudre ensuite cette équation dans \(\mathbb{C}\), sous forme exponentielle puis algébrique.
- En déduire la factorisation de \(X^6 – 64\) en produit d’irréductibles de \(\mathbb{C}[X]\), puis de \(\mathbb{R}[X]\).
- On pose \(R = X^4 – 2X^3 + 6X^2 – 2X + 5\). Vérifier que \(\mathrm{i}\) est racine de \(R\), puis factoriser \(R\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).
Exercice 5 – Problème : un cubique sans racine évidente (5 points)
On considère \(T = X^3 – 2X^2 + 3X – 5\), dont on note \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) les trois racines complexes, comptées avec multiplicité. La courbe de la fonction polynomiale associée est donnée sur \([-1\,;\,3]\). Aucune racine n’est à calculer explicitement.
- Donner \(\alpha + \beta + \gamma\), \(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\) et \(\alpha\beta\gamma\).
- Calculer \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2\). Que peut-on en déduire sur la nature des racines ?
- Calculer \(\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma}\).
- En utilisant \(T(\alpha) = T(\beta) = T(\gamma) = 0\), calculer \(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3\).
- Former le polynôme unitaire de degré 3 dont les racines sont \(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\beta}\) et \(\dfrac{1}{\gamma}\).
- Étudier les variations de la fonction \(t : x \mapsto x^3 – 2x^2 + 3x – 5\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer ainsi que \(T\) possède une unique racine réelle, située dans \(]1\,;\,2[\).
![Voir le corrigé du contrôle : multiplicités et factorisation dans r[x] (L1)](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/09/voir-le-corrige-maths-pdf.png)
Réviser multiplicités et factorisation dans R[X] avant le contrôle
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Sujets proches à faire ensuite
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