QCM : Fonctions arc et hyperboliques en L1 de maths

Réponse D.

Arcsinus renvoie l’unique angle de l’intervalle \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) ayant le sinus donné. Or \(\sin\theta=\sin(\pi-\theta)\), et \(\pi-\frac{7\pi}{5}=-\frac{2\pi}{5}\) appartient bien à cet intervalle. Le piège \(\frac{7\pi}{5}\) simplifie arcsin et sin sans vérifier l’intervalle. Ensuite, \(\frac{2\pi}{5}\) perd le signe, alors que \(\sin\frac{7\pi}{5}\) est négatif. Enfin, \(-\frac{3\pi}{5}\) sort de l’intervalle image.

Réponse C.

La fonction cosinus est décroissante sur \([0,\pi]\), donc sa réciproque aussi : la dérivée est négative. De plus, la tangente au graphe devient verticale en \(-1\) et en \(1\), car le cosinus y a une dérivée nulle. Ainsi, arccos n’est dérivable que sur l’intervalle ouvert. Le piège sans signe moins donne la dérivée de arcsin, et la version en \(1+x^2\) confond avec arctan.

Réponse C.

En soustrayant \(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) à \(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\), les termes en \(e^x\) se compensent et il reste \(\frac{2e^{-x}}{2}\), donc \(e^{-x}\). Le piège \(e^x\) correspond à la somme \(\operatorname{ch}x+\operatorname{sh}x\). De même, \(1\) confond avec la différence des carrés. Enfin, \(-e^{-x}\) est impossible, car ch dépasse toujours sh.

Réponse B.

Par croissances comparées, pour tous \(a>0\) et \(b>0\), \(\frac{(\ln x)^a}{x^b}\) tend vers \(0\) en \(+\infty\). En effet, toute puissance strictement positive de \(x\) l’emporte sur toute puissance du logarithme. Le piège \(+\infty\) se laisse impressionner par l’exposant \(10\) face au petit exposant \(0{,}1\). Cependant, la comparaison ne dépend pas de la taille des exposants. Quant à \(100\), c’est le quotient des exposants, sans rapport avec la limite.

Réponse B.

Par définition d’une puissance réelle, \(2^{\ln 3}=e^{\ln 3\cdot\ln 2}\). Cette expression est symétrique en \(2\) et \(3\), donc elle vaut aussi \(3^{\ln 2}\). Le piège \(e^{\ln 2+\ln 3}\) remplace le produit des logarithmes par leur somme et donne \(6\). Ensuite, \(3\ln 2\) vaut \(\ln 8\), qui correspond à \(2^3\) et non à \(2^{\ln 3}\).

Réponse D.

Posons \(\theta=\arcsin x\), qui appartient à \(\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). Alors \(\sin\theta=x\) et le cosinus y est positif, donc \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\). Le quotient donne la bonne réponse. Le piège avec \(1+x^2\) mélange avec \(\sin(\arctan x)\). Ensuite, l’inverse correspond à la cotangente, et le produit oublie de diviser.

Réponse A.

La règle du quotient donne \(\operatorname{th}^{\prime}=\frac{\operatorname{ch}^2-\operatorname{sh}^2}{\operatorname{ch}^2}=\frac{1}{\operatorname{ch}^2}\), ce qui s’écrit aussi \(1-\operatorname{th}^2\). Le piège \(1+\operatorname{th}^2\) recopie la dérivée de la tangente circulaire. Ensuite, \(\frac{\operatorname{sh}^2}{\operatorname{ch}^2}\) est simplement \(\operatorname{th}^2\). Enfin, le signe moins est faux, car th est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Réponse D.

Avec l’inconnue auxiliaire \(X=e^x>0\), il vient \(2X+\frac{2}{X}=5\), puis \(2X^2-5X+2=0\). Les racines sont \(2\) et \(\frac{1}{2}\), toutes deux positives. Ainsi, \(x=\ln 2\) ou \(x=-\ln 2\). Le piège « uniquement » oublie que ch est paire : toute solution a une opposée. De même, \(\ln\frac{5}{4}\) applique le logarithme directement, comme si ch était l’exponentielle.

Réponse B.

Le dénominateur s’annule en \(-2\) alors que le numérateur y vaut \(-7\), donc la droite \(x=-2\) est asymptote verticale. En l’infini, \(f(x)\) tend vers le quotient des coefficients dominants, c’est-à-dire \(3\). Le piège \(x=2\) se trompe de signe. Par ailleurs, \(-\frac{1}{2}\) est le quotient des termes constants, qui donne \(f(0)\) et non la limite.

Réponse A.

Pour \(x>0\), on écrit \(\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}=x+2+o(1)\) grâce à \(\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+o(u)\). Par conséquent, la différence avec \(x+2\) tend vers \(0\). Le piège \(y=x\) ne garde que l’équivalent et oublie l’ordonnée à l’origine. De même, \(y=x+4\) néglige le facteur \(\frac{1}{2}\) du développement.

Réponse C.

Comme \(f(0)=1\), on a \(f^{-1}(1)=0\). La formule \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(y))}\) donne donc \(\frac{1}{f^{\prime}(0)}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\). Le piège \(2\) oublie de prendre l’inverse. Ensuite, \(\frac{1}{1+e}\) évalue \(f^{\prime}\) en \(1\) au lieu de \(f^{-1}(1)\), une confusion fréquente entre antécédent et image.

Réponse A.

On résout \(\operatorname{sh}y=x\) avec \(X=e^y\) : on obtient \(X^2-2xX-1=0\), dont les racines sont \(x\pm\sqrt{x^2+1}\). Seule la racine avec un plus est positive, donc \(y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\). Le piège avec \(x^2-1\) donne argch, définie seulement pour \(x\geq 1\). Enfin, la formule avec un quotient sous le logarithme correspond à argth.