Fractions rationnelles et primitives en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Forme irréductible et pôles

On considère \(F=\frac{X^{3}+2X^{2}-X-2}{X^{3}-X^{2}-4X+4}\).

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur.
2. En déduire la forme irréductible de \(F\), puis son degré, ses zéros et ses pôles avec leur multiplicité.
3. Enfin, préciser en quels points la fonction associée se prolonge par continuité.

Exercice 2 – Trois parties entières

Déterminer la partie entière et le degré de chacune des fractions suivantes.

1. \(A=\frac{X^{4}+3X^{2}-X}{X^{2}-X+1}\).
2. \(B=\frac{X^{3}+1}{X-2}\).
3. \(C=\frac{X^{2}+1}{X^{3}}\).

Exercice 3 – Une décomposition à pôles simples

Décomposer en éléments simples \(F=\frac{2X+1}{X(X-1)(X+3)}\). Ensuite, contrôler le résultat par la limite de \(xF(x)\) en \(+\infty\). Enfin, vérifier la décomposition en \(x=2\).

Exercice 4 – Primitives de première espèce

Dans cet exercice, on prendra soin de préciser le signe des quantités placées dans les logarithmes. En effet, la valeur absolue dépend de l’intervalle.

1. Donner une primitive de \(x\mapsto\frac{1}{(x-4)^{3}}\) sur \(]4,+\infty[\).
2. Donner une primitive de \(x\mapsto\frac{5}{2x+1}\) sur \(\left]-\infty,-\frac{1}{2}\right[\).
3. Calculer \(\int_{1}^{2}\frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)}\).

Exercice 5 – Mise sous forme canonique

Les deux trinômes suivants n’ont pas de racine réelle. Par conséquent, leurs inverses s’intègrent à l’aide d’une arctangente.

1. Donner une primitive de \(x\mapsto\frac{1}{x^{2}+6x+13}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+x+1}\).

Exercice 6 – Quel changement de variable ?

Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer le changement de variable suggéré par les règles de Bioche, en justifiant.

1. \(f_1(x)=\frac{\sin x}{1+\cos^{2}x}\).
2. \(f_2(x)=\frac{\cos^{3}x}{2+\sin x}\).
3. \(f_3(x)=\frac{1}{1+\sin x\cos x}\).
4. \(f_4(x)=\frac{1}{2+\sin x}\).

Enfin, calculer une primitive de \(f_1\) sur \(\mathbb{R}\). Autrement dit, mener jusqu’au bout le changement choisi pour \(f_1\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Un pôle double

Soit \(F=\frac{X^{2}+1}{(X-1)^{2}(X+2)}\).

1. Décomposer \(F\) en éléments simples et contrôler le résultat en \(0\).
2. En déduire une primitive de \(x\mapsto F(x)\) sur \(]1,+\infty[\).

La figure montre le graphe de \(F\) et ses deux asymptotes verticales.

Exercice 8 – De C à R avec X^3 – 8

Soit \(F=\frac{3}{X^{3}-8}\), et \(\omega=2e^{2i\pi/3}\).

1. Déterminer les pôles de \(F\) dans \(\mathbb{C}\), puis sa décomposition sur \(\mathbb{C}\) à l’aide de la formule \(c=P(a)/Q^{\prime}(a)\).
2. Factoriser \(X^{3}-8\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire la décomposition de \(F\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Calculer une primitive de \(x\mapsto F(x)\) sur \(]2,+\infty[\).

Exercice 9 – Parité et pôle en zéro

Soit \(F=\frac{1}{X^{2}\left(X^{2}+4\right)}\).

1. Écrire la forme de la décomposition de \(F\) sur \(\mathbb{R}\), puis utiliser la parité de \(F\) pour éliminer des coefficients.
2. Achever la décomposition.
3. Calculer \(\int_{1}^{2}F(x)\,\mathrm{d}x\).

Exercice 10 – Bioche avec t = sin x

1. Justifier que \(f(x)=\frac{\cos x}{\sin^{2}x-5\sin x+6}\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire \(\int_{0}^{\pi/2}f(x)\,\mathrm{d}x\).

Exercice 11 – Bioche avec t = cos x

D’abord, déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(g(x)=\frac{\sin^{3}x}{1+\cos^{2}x}\). Ensuite, vérifier le résultat par dérivation. On notera que la fraction obtenue en \(t\) possède une partie entière non nulle.

Exercice 12 – Bioche avec t = tan x

On pose \(L=\int_{0}^{\pi/4}\frac{\mathrm{d}x}{1+3\sin^{2}x}\).

1. Montrer que la règle de Bioche suggère le changement \(t=\tan x\).
2. Exprimer \(\sin^{2}x\) et \(\mathrm{d}x\) en fonction de \(t\), puis calculer \(L\).

Exercice 13 – Le changement t = tan(x/2)

D’après l’exercice 6, aucune règle de Bioche ne s’applique à \(\frac{1}{2+\sin x}\). C’est pourquoi on utilise le changement \(t=\tan\frac{x}{2}\). Calculer ainsi \(\int_{0}^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{2+\sin x}\). Par ailleurs, on pourra réutiliser l’exercice 5.

Exercice 14 – Partie entière puis arctangente

1. Déterminer la partie entière de \(\frac{X^{4}}{X^{2}+4}\) et en déduire sa décomposition sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(\int_{0}^{2}\frac{x^{4}}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 15 – Coefficients par évaluation en i

Soit \(F=\frac{X+3}{X\left(X^{2}+1\right)}\). Ici, le trinôme \(X^{2}+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) ; en revanche, il se factorise sur \(\mathbb{C}\).

1. Calculer le coefficient du pôle \(0\).
2. Multiplier \(F\) par \(X^{2}+1\) et évaluer en \(i\) pour obtenir l’élément de seconde espèce.
3. Calculer \(\int_{1}^{\sqrt{3}}F(x)\,\mathrm{d}x\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Un pôle triple sans système

Soit \(F=\frac{1}{(X-1)^{3}(X+1)}\). On pose \(H=X-1\).

1. Vérifier que \((2+H)\left(\frac{1}{2}-\frac{H}{4}+\frac{H^{2}}{8}\right)=1+\frac{H^{3}}{8}\).
2. En déduire que \(\frac{1}{H^{3}(2+H)}=\frac{1}{H^{3}}\left(\frac{1}{2}-\frac{H}{4}+\frac{H^{2}}{8}\right)-\frac{1}{8(2+H)}\).
3. Écrire la décomposition de \(F\) en éléments simples et la contrôler en \(0\).
4. Donner une primitive de \(x\mapsto F(x)\) sur \(]1,+\infty[\).

Exercice 17 – Décomposer 1/(X^n – 1)

Soit \(n\geq 2\) et \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) pour \(0\leq k\leq n-1\).

1. Montrer que \(\frac{1}{X^{n}-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega_k}{X-\omega_k}\).
2. Pour \(n=3\), regrouper les termes conjugués et obtenir la décomposition de \(\frac{1}{X^{3}-1}\) sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire une primitive de \(x\mapsto\frac{1}{x^{3}-1}\) sur \(]1,+\infty[\).

La figure place les pôles dans le plan complexe pour \(n=3\) et \(n=6\).

Exercice 18 – Une intégrale en sin x et cos x

On considère \(h(x)=\frac{1}{\sin x\,(2+\cos x)}\) sur \(]0,\pi[\).

1. Montrer que la règle de Bioche suggère \(t=\cos x\), et transformer \(h(x)\,\mathrm{d}x\).
2. Décomposer la fraction obtenue en \(t\).
3. Déterminer une primitive de \(h\) sur \(]0,\pi[\).
4. Calculer \(\int_{\pi/3}^{\pi/2}h(x)\,\mathrm{d}x\).

Exercice 19 – Problème – Puissances de 1 + t²

Pour \(n\geq 1\), on pose \(J_n=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{\left(1+t^{2}\right)^{n}}\).

1. Calculer \(J_1\).
2. Par une intégration par parties sur \(J_n\), montrer que \(J_n=2^{-n}+2n\left(J_n-J_{n+1}\right)\).
3. En déduire \(J_2\) et \(J_3\).
4. À l’aide du changement \(t=\tan x\), retrouver \(J_2\) à partir de \(\int_{0}^{\pi/4}\cos^{2}x\,\mathrm{d}x\).
5. Calculer \(\int_{-1}^{0}\frac{x+3}{\left(x^{2}+2x+2\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\) en posant \(t=x+1\).
6. Montrer que la suite \((J_n)\) est décroissante et minorée par \(2^{-n}\).

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