Partiel de calcul intégral : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « partiel de calcul intégral », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce partiel de trois heures clôt la partie du semestre consacrée à l’intégration. Il débute par des questions de cours sur le théorème fondamental de l’analyse, avec une démonstration à rédiger. Ensuite, vous calculerez des primitives de fractions rationnelles après une décomposition en éléments simples, puis deux intégrales par changement de variable.
Le quatrième exercice transforme une suite en somme de Riemann. Enfin, le problème résout une équation différentielle linéaire dont le second membre impose une nouvelle décomposition. Ce contrôle convient à la fin du semestre 2, une fois les chapitres sur l’intégrale, les fractions rationnelles et les équations différentielles achevés.
Ce qu’évalue le contrôle : partiel de calcul intégral
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Intégrale de Riemann et théorème fondamental et Fractions rationnelles : décomposer et intégrer et Équations différentielles : variation de la constante (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Énoncer et démontrer le théorème fondamental de l’analyse pour une fonction continue
- Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples pour en calculer une primitive
- Calculer une intégrale définie par un changement de variable bien justifié
- Identifier une somme de Riemann pour obtenir la limite d’une suite définie par une somme
- Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre par variation de la constante
Avant de commencer le devoir
Commencez par les questions de cours, car elles rapportent des points sûrs et préparent le problème. Avant toute primitive, effectuez d’abord la division euclidienne si le degré du numérateur l’exige. Pour un changement de variable, vérifiez ensuite que la fonction est de classe \(C^1\) et transformez les bornes. Dans le problème, normalisez l’équation sur l’intervalle donné, puis contrôlez votre solution en la reportant dans l’équation. Gardez enfin vingt minutes pour relire les calculs.
Le sujet du contrôle : partiel de calcul intégral
Exercice 1 – Questions de cours sur le théorème fondamental (3 points)
Dans tout l’exercice, \(f\) est une fonction réelle continue sur un intervalle \(I\) d’intérieur non vide.
- Énoncer le théorème fondamental de l’analyse pour la fonction \(\Lambda\) qui associe à \(x \in I\) le nombre \(\int_a^x f(s)\,\mathrm{d}s\), le réel \(a\) étant fixé dans \(I\).
- Fixons \(c \in I\). Démontrer que \(\Lambda\) est dérivable en \(c\), de nombre dérivé \(f(c)\), en traduisant la continuité de \(f\) en \(c\) avec un \(\varepsilon\).
- Pour tout réel \(x\), on pose \(G(x) = \int_x^{3x} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 + t^4}}\). Justifier que \(G\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), puis calculer \(G^{\prime}(x)\) et \(G^{\prime}(0)\).
Exercice 2 – Primitives de fractions rationnelles (4 points)
Pour chaque fonction, on demande une primitive sur l’intervalle indiqué, après décomposition en éléments simples.
- Décomposer \(R(x) = \frac{5x + 1}{(x – 1)(x + 2)}\), puis en donner une primitive sur \(]1\,;\,+\infty[\).
- Effectuer d’abord la division euclidienne de \(x^3 + 2x^2 + 3x + 1\) par \(x^2 + 1\). Déterminer ensuite une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(S(x) = \frac{x^3 + 2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 1}\).
- Le trinôme \(x^2 + 2x + 5\) n’a pas de racine réelle. Mettre ce trinôme sous forme canonique, puis en déduire une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(T(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 2x + 5}\).
Exercice 3 – Deux changements de variable (4 points)
Soit \(g\) la fonction donnée sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)\left(\mathrm{e}^{x} + 2\right)}\). Sa courbe est tracée ci-dessous sur \([0\,;\,\ln 2]\), avec l’aire hachurée égale à \(I = \int_0^{\ln 2} g(x)\,\mathrm{d}x\).
- À l’aide du changement de variable \(u = \mathrm{e}^{x}\), calculer \(I\) sous la forme \(\ln q\), avec \(q\) rationnel.
- Calculer de même \(K = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x – 5\sin x + 6}\,\mathrm{d}x\), en posant cette fois \(u = \sin x\).
- Étudier les variations de \(h : u \mapsto u + \frac{2}{u}\) sur \([1\,;\,2]\), puis montrer que \(\frac{\ln 2}{6} \leq I \leq \frac{\ln 2}{3 + 2\sqrt{2}}\) sans utiliser la valeur de \(I\).
Exercice 4 – Une somme de Riemann (3 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{j + 3n}{j^2 + 2jn + 5n^2}\). La figure montre, pour \(n = 5\), les rectangles dont l’aire totale vaut \(S_5\).
- Trouver une fonction \(f\) continue sur \([0\,;\,1]\) telle que \(n\,S_n\) soit égal à \(\sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j}{n}\right)\) pour tout \(n \geq 1\).
- Justifier que la suite \((S_n)\) converge, puis exprimer sa limite à l’aide de l’exercice 2.
- Montrer enfin que \(\arctan 1 – \arctan\frac{1}{2} = \arctan\frac{1}{3}\) et simplifier la limite obtenue.
Exercice 5 – Problème : une équation à coefficients rationnels (6 points)
On étudie sur \(J = \,]0\,;\,+\infty[\) l’équation différentielle \((E) : \; x(x + 1)\,y^{\prime} + y = x\), d’inconnue \(y\) dérivable sur \(J\). On note \((H)\) l’équation homogène associée.
La figure représente quatre solutions de \((E)\), nommées \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_3\) et \(\mathcal{C}_4\).
- Décomposer \(\frac{1}{x(x + 1)}\) en éléments simples. Résoudre ensuite \((H)\) sur \(J\), après avoir justifié que l’on peut normaliser l’équation.
- Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que, pour tout \(x \in J\), \(\frac{x}{(x + 1)^2} = \frac{\alpha}{x + 1} + \frac{\beta}{(x + 1)^2}\).
- Par la méthode de variation de la constante, résoudre alors \((E)\) sur \(J\). On exprimera les solutions à l’aide d’une constante réelle \(K\).
- Montrer qu’une seule solution \(\varphi\) de \((E)\) admet une limite finie en \(0\). Donner l’expression de \(\varphi\) ainsi que cette limite.
- Établir que toutes les solutions de \((E)\) tendent vers \(+\infty\) en \(+\infty\). Quelle courbe de la figure représente \(\varphi\) ? Justifier, puis associer chacune des trois autres courbes au signe de \(1 + K\).
Réviser partiel de calcul intégral avant le contrôle
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