QCM : Réels, inégalités et Archimède en L1 de maths

Réponse A.

On peut toujours additionner deux inégalités de même sens. En revanche, on ne peut pas les soustraire : avec \(a=b=c=0\) et \(d=1\), on obtiendrait \(0\leqslant -1\). De même, le produit exige des nombres positifs, puisque \(a=c=-3\) et \(b=d=0\) donnent \(9\leqslant 0\). Enfin, \(a-d\leqslant b-c\) est vraie, si bien que l’inégalité inverse est fausse en général.

Réponse D.

La fonction carré n’est pas monotone sur \([-3,2]\), qui contient 0. Il faut donc séparer : sur \([-3,0]\), \(x^2\) décrit \([0,9]\), et sur \([0,2]\), il décrit \([0,4]\). La réunion vaut ainsi \([0,9]\). Le piège \([4,9]\) élève simplement les bornes au carré. Quant à \([0,4]\), il ne regarde que la partie positive de l’intervalle.

Réponse A.

L’inégalité \(|u|<5\) équivaut à \(-5<u<5\). Ici, on obtient \(-2<2x<8\), donc \(-1<x<4\). Autrement dit, ce sont les réels à distance strictement inférieure à \(\frac{5}{2}\) de \(\frac{3}{2}\). Le piège \(]-\infty,4[\) ne garde que la moitié de l’encadrement. Par ailleurs, \(]-4,1[\) provient d’une erreur de signe sur 3.

Réponse D.

C’est la seconde forme de l’inégalité triangulaire. On l’obtient en écrivant \(|x|\leqslant|x-y|+|y|\), puis la même chose en échangeant les rôles. L’inégalité \(|x-y|\leqslant|x|-|y|\) échoue avec \(x=0\) et \(y=1\). Celle portant sur \(|x+y|\) renverse l’inégalité triangulaire. Enfin, majorer \(|x-y|\) par l’écart des valeurs absolues échoue avec \(x=1\) et \(y=-1\), puisqu’elle donnerait \(2\leqslant 0\).

Réponse B.

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. Comme \(-\frac{7}{3}\approx -2{,}33\), on obtient \(\lfloor -\frac{7}{3}\rfloor=-3\), et non \(-2\). Par ailleurs, \(\lfloor \frac{7}{3}\rfloor=2\), donc la somme vaut \(-1\). La réponse 0 confond partie entière et troncature, qui supprime simplement les décimales. Ainsi, pour un non-entier, la somme \(\lfloor -t\rfloor+\lfloor t\rfloor\) vaut toujours \(-1\).

Réponse D.

On écrit \(x=n+r\), avec \(n=\lfloor x\rfloor\) et \(r\in[0,1[\). Alors \(\lfloor 2x\rfloor=2n+\lfloor 2r\rfloor\), si bien que l’expression vaut \(\lfloor 2r\rfloor\). Or \(2r\in[0,2[\), donc elle vaut 0 si \(r<\frac{1}{2}\) et 1 sinon. Le piège « seulement 0 » croit que la partie entière est linéaire. Enfin, la valeur 2 exigerait \(r\geqslant 1\).

Réponse A.

On écrit \(\frac{n-1}{n+2}=1-\frac{3}{n+2}\), qui croît avec \(n\). Le minimum est donc atteint en \(n=0\) et vaut \(-\frac{1}{2}\). De plus, les termes restent strictement inférieurs à 1 et s’en approchent autant qu’on veut : 1 est la borne supérieure, mais pas un maximum. Le piège \(\inf A=0\) fait commencer \(n\) à 1. Enfin, toute partie non vide majorée de \(\mathbb{R}\) possède une borne supérieure.

Réponse C.

Dire que \(M\) est le plus petit majorant revient à dire qu’aucun \(M-\varepsilon\) n’est majorant. Par conséquent, pour chaque \(\varepsilon>0\), un élément de \(A\) dépasse \(M-\varepsilon\). La version avec \(M+\varepsilon\) contredit le fait que \(M\) majore \(A\). Le quantificateur universel sur \(a\) imposerait que tout élément vaille \(M\). Enfin, l’inversion des quantificateurs ne dit presque rien.

Réponse B.

L’axiome de la borne supérieure garantit un sup à toute partie non vide et majorée. Les trois pièges sont non vides et majorés, respectivement par 2, par 1 et par 1 : ils ont donc une borne supérieure réelle. Celle du premier, \(\sqrt{3}\), n’est simplement pas rationnelle. En revanche, \(n^2-10n\) tend vers \(+\infty\), malgré des premières valeurs négatives : cet ensemble n’est pas majoré.

Réponse B.

La propriété d’Archimède assure qu’un tel entier existe, puisque \(0{,}07>0\). On cherche ensuite \(n>\frac{2}{0{,}07}=\frac{200}{7}\approx 28{,}57\), donc le plus petit convient avec \(n=29\). En effet, \(29\times 0{,}07=2{,}03\). Le piège 28 prend la partie entière sans ajouter 1, puisque \(28\times 0{,}07=1{,}96\). Enfin, 3 confond \(0{,}07\) et \(0{,}7\).

Réponse C.

Posons \(p=\lfloor na\rfloor+1\). On a \(na<p\leqslant na+1\), donc \(a<\frac{p}{n}\leqslant a+\frac{1}{n}<b\). Ainsi, \(\frac{p}{n}\) convient : c’est le cœur de la densité de \(\mathbb{Q}\). Cependant, \(\frac{\lfloor na\rfloor}{n}\) est inférieur ou égal à \(a\). De plus, \(\frac{\lfloor nb\rfloor}{n}\) peut valoir \(b\) lorsque \(nb\) est entier. Enfin, le milieu n’est pas rationnel en général.

Réponse C.

L’ensemble \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) : par exemple, \(r+\frac{\sqrt{2}}{k}\) tombe entre \(r\) et \(s\) pour \(k\) assez grand. En revanche, \(\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})=1\) réfute la somme. Le produit échoue avec le rationnel 0, oubli fréquent. Enfin, le carré de \(\sqrt{5}\) vaut 5, qui est rationnel.