QCM : Matrices de passage en L1 de maths

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Ce QCM passage L1 vérifie que le dictionnaire entre applications linéaires et tableaux de nombres est bien en place. Les douze questions commencent par l’écriture de la représentation matricielle d’une application, son format et le produit qui traduit une composée. Elles abordent ensuite la matrice de passage, la conversion des coordonnées et des endomorphismes d’une base à l’autre, puis les matrices équivalentes et semblables, le rang d’une transposée et la trace.

Réponds d’abord sans cours, en t’aidant d’un schéma des bases au brouillon : la plupart des pièges viennent d’une ligne prise pour une colonne ou d’une matrice inversée. Lis ensuite les explications. Elles justifient la bonne réponse, puis montrent l’erreur précise qui conduit à chacun des distracteurs proposés.

Les 12 questions

Question 1

On note \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \((x,y)\mapsto(x+y,\ 3y,\ x-2y)\). Relativement aux bases canoniques, sa matrice vaut :

  1. \(\begin{pmatrix}1&1\\0&3\\1&-2\end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix}1&0&1\\1&3&-2\end{pmatrix}\)
  3. \(\begin{pmatrix}1&1\\3&0\\1&-2\end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix}1&1\\0&3\\-2&1\end{pmatrix}\)

Réponse A.

On place en colonnes \(f(1,0)=(1,0,1)\) puis \(f(0,1)=(1,3,-2)\). On obtient donc trois lignes et deux colonnes. Le piège à deux lignes range les images horizontalement, ce qui donne la transposée. Les matrices où 3 ou \(-2\) changent de place déplacent un coefficient : multiplier la réponse par \((x,y)\) doit redonner exactement les trois composantes de \(f(x,y)\).

Question 2

Soit \(g\) linéaire de \(\mathbb{R}^4\) vers \(\mathbb{R}^3\). Quel est le format de sa matrice, quelles que soient les bases choisies ?

  1. 3 lignes et 4 colonnes
  2. 4 lignes et 3 colonnes
  3. 4 lignes et 4 colonnes
  4. 3 lignes et 3 colonnes

Réponse A.

Chaque vecteur de la base de départ fournit une colonne, d’où 4 colonnes. Chaque colonne donne des coordonnées dans l’espace d’arrivée, soit 3 lignes. Par conséquent, les applications linéaires de \(\mathbb{R}^4\) vers \(\mathbb{R}^3\) forment un espace de dimension 12. Le piège 4 lignes et 3 colonnes inverse départ et arrivée.

Question 3

Dans la base canonique de \(\mathbb{R}^2\), \(f\) a pour matrice \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) et \(g\) a pour matrice \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). Quelle est la matrice de \(g\circ f\) ?

  1. \(\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix}1&3\\1&1\end{pmatrix}\)
  3. \(\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}\)

Réponse C.

La matrice de \(g\circ f\) est \(BA\), dans l’ordre d’écriture de la composée. Ici \(B\) échange les lignes de \(A\), d’où le résultat. Le piège \(AB\) échange les colonnes : il correspond à \(f\circ g\). La réponse \(A+B\) confond composée et somme, tandis que la matrice à un seul 2 multiplie les coefficients terme à terme.

Question 4

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on considère \(\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)\). Relativement à \((1,X,X^2)\), sa matrice est :

  1. \(\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\1&2&0\end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)
  3. \(\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)

Réponse D.

On calcule \(\Delta(1)=0\), \(\Delta(X)=1\) et \(\Delta(X^2)=(X+1)^2-X^2=2X+1\). La troisième colonne est donc \((1,2,0)\). Comme \(\Delta\) annule les constantes, cette matrice n’est pas inversible et \(\Delta\) n’est pas un isomorphisme. Le piège sans le 1 oublie le terme constant de \(2X+1\) ; la matrice triangulaire inférieure transpose.

Question 5

Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\mathcal{B}=(e_1,e_2)\), on pose \(\varepsilon_1=2e_1-e_2\) et \(\varepsilon_2=e_1+e_2\). Quelle est la matrice \(P\) qui fait passer de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{C}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)\) ?

  1. \(\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\)
  3. \(\tfrac13\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}\)
  4. \(\begin{pmatrix}1&2\\1&-1\end{pmatrix}\)

Réponse B.

Chaque colonne de \(P\) exprime un vecteur de \(\mathcal{C}\) à l’aide de \(e_1\) et \(e_2\). Ainsi \(\varepsilon_1\) fournit \((2,-1)\) et \(\varepsilon_2\) fournit \((1,1)\). Le piège avec le facteur \(\tfrac13\) est \(P^{-1}\), qui fait le trajet inverse. La matrice de lignes \((2,-1)\) et \((1,1)\) écrit les vecteurs en lignes ; celle qui commence par 1 échange les colonnes.

Question 6

Avec ces bases, un vecteur \(w\) a pour coordonnées \((1,2)\) dans \(\mathcal{C}\). Ses coordonnées dans \(\mathcal{B}\) sont :

  1. \((1,2)\)
  2. \((4,1)\)
  3. \(\big(-\tfrac13,\tfrac53\big)\)
  4. \((0,3)\)

Réponse B.

On revient aux vecteurs de départ : \(w=\varepsilon_1+2\varepsilon_2=2e_1-e_2+2e_1+2e_2=4e_1+e_2\). Cela revient à multiplier \(P\) par la colonne \((1,2)\). Le piège en tiers utilise \(P^{-1}\), c’est-à-dire le mauvais sens. Quant à \((0,3)\), il provient de la matrice écrite en lignes.

Question 7

Un endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) a pour matrice \(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}\) dans \(\mathcal{C}\). Toujours avec \(P\) de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{C}\), sa matrice dans \(\mathcal{B}\) s’écrit :

  1. \(PDP^{-1}\)
  2. \(P^{-1}DP\)
  3. \(PDP\)
  4. \(D\)

Réponse A.

Partons d’une colonne de coordonnées dans \(\mathcal{B}\). D’abord \(P^{-1}\) la convertit dans \(\mathcal{C}\), puis \(D\) applique \(u\), et enfin \(P\) ramène le résultat dans \(\mathcal{B}\). Le piège \(P^{-1}DP\) est la formule du trajet opposé, valable pour aller de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{C}\). Répondre \(D\) suppose que la matrice ne dépend pas de la base.

Question 8

On compare \(3I_2\) et \(N=\begin{pmatrix}3&0\\5&3\end{pmatrix}\). Quelle affirmation est exacte ?

  1. Semblables, puisque trace et déterminant coïncident
  2. Non équivalentes, puisque les rangs diffèrent
  3. Non semblables, bien que trace, rang et déterminant coïncident
  4. Semblables, en conjuguant par une matrice triangulaire

Réponse C.

Une matrice scalaire commute avec toutes les autres, donc \(Q^{-1}(3I_2)Q=3I_2\) pour toute \(Q\) inversible. Sa classe de similitude se réduit ainsi à elle seule, or \(N\neq 3I_2\). Trace et déterminant sont des invariants nécessaires, cependant ils ne suffisent pas : voilà le piège. En revanche, les deux sont inversibles, donc équivalentes.

Question 9

Soit \(M\in\mathcal{M}_{4,2}(\mathbb{R})\) de rang 1. Que peut-on affirmer ?

  1. \(M\) est semblable à \(J_1\) de format \(4\times 2\)
  2. \(M\) est équivalente à la matrice \(I_1\)
  3. \(M\) est équivalente à n’importe quelle \(4\times 2\) non nulle
  4. \(M\) est équivalente à \(J_1\) de format \(4\times 2\)

Réponse D.

Pour un format fixé, le rang classe complètement les matrices à équivalence près. Ainsi il existe \(Q\) et \(R\) inversibles avec \(M=QJ_1R\), où \(J_1\) n’a qu’un coefficient 1 en haut à gauche. Cependant parler de similitude exige des matrices carrées. De plus, \(I_1\) n’a pas le bon format, et une \(4\times 2\) de rang 2 n’est pas équivalente à \(M\).

Question 10

Soit \(A\in\mathcal{M}_{3,6}(\mathbb{R})\) de rang 2. Quelle est la dimension du noyau de \({}^tA\) ?

  1. \(4\)
  2. \(1\)
  3. \(0\)
  4. \(2\)

Réponse B.

Le rang est invariant par transposition, donc \({}^tA\) est aussi de rang 2. Or \({}^tA\) compte 3 colonnes : elle part de \(\mathbb{R}^3\). Le théorème du rang donne alors \(3-2=1\). Le piège 4 calcule le noyau de \(A\) elle-même, qui part de \(\mathbb{R}^6\). La réponse 0 suppose à tort que le rang vaut 3.

Question 11

Soit \(s\) la symétrie de \(\mathbb{R}^3\) par rapport à un plan \(F\), parallèlement à une droite \(G\). Que vaut la trace de \(s\) ?

  1. \(3\)
  2. \(-1\)
  3. \(1\)
  4. \(2\)

Réponse C.

Choisissons deux vecteurs de \(F\) puis un vecteur de \(G\) : la symétrie y est diagonale, de coefficients 1, 1 et \(-1\). Comme deux matrices semblables ont même trace, on obtient 1 dans toute base. Le piège \(-1\) échange les rôles de \(F\) et de \(G\). La réponse 2 est la trace de la projection associée.

Question 12

Existe-t-il \(A\) et \(B\) carrées réelles d’ordre 3 telles que \(AB-BA=2I_3\) ?

  1. Oui : il suffit de prendre \(B={}^tA\) avec \(A\) nilpotente
  2. Non, mais ce serait possible en ordre pair
  3. Oui, dès que \(A\) n’est pas inversible
  4. Non : le membre de gauche a une trace nulle, celui de droite une trace 6

Réponse D.

La trace d’un produit ne change pas quand on permute les deux facteurs. Par linéarité, le commutateur \(AB-BA\) a donc une trace nulle, alors que \(2I_3\) a pour trace 6. Par conséquent, aucune paire ne convient. Les pièges invoquent la parité ou l’inversibilité ; cependant l’argument de trace vaut en tout ordre.

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