Matrices de passage en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Matrice d’une double évaluation

On associe à tout polynôme \(P\) de degré au plus 3 le couple \(f(P) = \left(P(2), P(-1)\right)\) de \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifier que \(f\) est linéaire.
2. Écrire la matrice \(A\) de \(f\) lorsque \(\mathbb{R}_3[X]\) est rapporté à \((1, X, X^2, X^3)\) et \(\mathbb{R}^2\) à ses deux vecteurs canoniques.
3. Calculer, à l’aide de \(A\), l’image de \(P = 1 + X – X^3\), puis vérifier directement.
4. Déterminer le rang de \(f\), puis la dimension de son noyau.
5. Donner la dimension de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X], \mathbb{R}^2)\).

Exercice 2 – Coordonnées dans une base inclinée

Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(w_1 = (3, 1)\) et \(w_2 = (1, 1)\). On note \(\mathcal{B}\) la base canonique.

1. Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime} = (w_1, w_2)\) est une base de \(\mathbb{R}^2\).
2. Écrire la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), puis calculer \(P^{-1}\).
3. Déterminer les coordonnées de \(w = (7, 1)\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).
4. Un vecteur a pour coordonnées \((-1, 4)\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). Donner ses coordonnées canoniques.

Exercice 3 – Trace de deux produits

On considère \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(AB\) et \(BA\). Ces matrices sont-elles égales ?
2. Comparer la trace de \(AB\), celle de \(BA\) et le produit des traces de \(A\) et de \(B\).
3. Calculer \(\mathrm{tr}(2A – 3B^{\top})\) sans calculer la matrice.

Exercice 4 – Rang par les lignes et par les colonnes

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Trouver une relation entre les lignes de \(M\) et en déduire que \(\mathrm{rg}(M) \leqslant 2\).
2. Exprimer la deuxième et la quatrième colonne à l’aide de la première et de la troisième.
3. En déduire le rang de \(M\) et celui de \(M^{\top}\).

Exercice 5 – Décalage de la variable sur les polynômes

À tout \(P\) de \(\mathbb{R}_2[X]\), on associe \(\tau(P) = P(X + 2)\).

1. Montrer que \(\tau\) est un endomorphisme et écrire sa matrice \(T\) dans la base \((1, X, X^2)\).
2. En déduire que \(\tau\) est un automorphisme.
3. Identifier \(\tau^{-1}\) et en déduire \(T^{-1}\) sans calcul d’inverse. Vérifier que \(T T^{-1} = I_3\).

Exercice 6 – Composées dans les deux sens

On définit \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^3\) et \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = (x + y, \, x – y, \, 2x)\) et \(g(a, b, c) = (a – c, \, b + c)\).

1. Écrire les matrices canoniques \(F\) de \(f\) et \(G\) de \(g\).
2. Calculer la matrice de \(g \circ f\), puis vérifier le résultat en calculant directement \(g(f(x, y))\).
3. Montrer que \(g \circ f\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}^2\).
4. Calculer la matrice de \(f \circ g\). Justifier, sans calcul, que \(f \circ g\) n’est pas bijective.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Une base qui diagonalise

On fixe l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) qui agit sur les colonnes par la matrice \(A = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\). On pose \(v_1 = (3, 1)\) et \(v_2 = (2, 1)\).

1. Calculer \(u(v_1)\) et \(u(v_2)\). En déduire la matrice \(D\) de \(u\) dans la base \((v_1, v_2)\).
2. Écrire la matrice de passage \(P\), calculer \(P^{-1}\) et vérifier que \(P^{-1}AP = D\).
3. Pour tout entier \(n \geqslant 0\), calculer \(A^n\).

Exercice 8 – Matrice de la transposition

On note \(\varphi\) l’endomorphisme de l’espace des matrices carrées réelles d’ordre 2 qui envoie \(M\) sur \(M^{\top}\). On range les matrices élémentaires dans l’ordre \(\mathcal{E} = (E_{11}, E_{22}, E_{12}, E_{21})\).

1. Écrire la matrice \(\Phi\) de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{E}\).
2. Calculer \(\Phi^2\) et interpréter le résultat.
3. Calculer \(\mathrm{tr}(\varphi)\).
4. Trouver une base de l’espace formée de matrices symétriques et antisymétriques. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans cette base et retrouver sa trace.

Exercice 9 – Changement de bases au départ et à l’arrivée

Une application linéaire \(f\), de \(\mathbb{R}^3\) vers \(\mathbb{R}^2\), admet pour matrice canonique \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\). On introduit \(\mathcal{B}^{\prime} = \left((1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\right)\) dans \(\mathbb{R}^3\) et \(\mathcal{C}^{\prime} = \left((2, 1), (1, 1)\right)\) dans \(\mathbb{R}^2\).

1. Vérifier que ce sont des bases. Écrire les matrices de passage \(P\) et \(Q\) correspondantes, puis calculer \(Q^{-1}\).
2. Calculer la matrice \(A^{\prime}\) de \(f\) relativement à \(\mathcal{B}^{\prime}\) et \(\mathcal{C}^{\prime}\).
3. Vérifier la troisième colonne de \(A^{\prime}\) par un calcul direct.

Exercice 10 – Deux matrices semblables à la même diagonale

On considère \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\) et \(D = \mathrm{diag}(2, 3)\).

1. Vérifier que \(A(1, 0) = 2(1, 0)\) et \(A(1, 1) = 3(1, 1)\). En déduire une matrice inversible \(R\) telle que \(R^{-1}AR = D\).
2. Trouver de même deux vecteurs non nuls \(y_1\) et \(y_2\) tels que \(By_1 = 2y_1\) et \(By_2 = 3y_2\), puis une matrice \(S\) telle que \(S^{-1}BS = D\).
3. En déduire que \(A\) et \(B\) sont semblables et expliciter une matrice \(U\) telle que \(B = U^{-1}AU\).

Exercice 11 – Semblables ou non

Pour chaque couple, dire si les deux matrices sont semblables, en justifiant.

1. \(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(2I_2\).
2. \(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(I_2\).
3. \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}\) et \(\mathrm{diag}(0, 5)\).
4. \(\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et la matrice nulle.

La figure montre l’effet de la première matrice du troisième couple sur quelques vecteurs du plan.

Exercice 12 – Projection sur un plan de l’espace

L’espace \(\mathbb{R}^3\) contient le plan \(\Pi\), formé des vecteurs vérifiant \(x – y + 2z = 0\), et la droite \(D\) dirigée par \(d = (1, 1, 1)\).

1. Établir que \(\mathbb{R}^3 = \Pi \oplus D\).
2. On appelle \(p\) le projecteur d’image \(\Pi\) et de noyau \(D\). Pour \(v = (x, y, z)\), trouver le réel \(t\) tel que \(v – td \in \Pi\), puis écrire la matrice canonique de \(p\).
3. Calculer la trace de \(p\) et la comparer à son rang.
4. Démontrer que la trace de tout projecteur d’un espace de dimension finie est égale à son rang.

Exercice 13 – Le commutateur ne vaut jamais l’identité

1. Soit \(n \geqslant 1\). Prouver qu’aucun couple \((A, B)\) de matrices réelles carrées d’ordre \(n\) ne vérifie \(AB – BA = I_n\).
2. En revanche, trouver deux matrices carrées \(A\) et \(B\) d’ordre 2 telles que \(AB – BA = \mathrm{diag}(1, -1)\).

Exercice 14 – Trace nulle contre toutes les matrices

On fixe une matrice réelle carrée \(A\) d’ordre \(n\). Pour deux indices \(k\) et \(l\), la matrice \(E_{kl}\) a tous ses termes nuls, sauf celui de la ligne \(k\) et de la colonne \(l\), qui vaut 1.

1. Calculer \(\mathrm{tr}(AE_{kl})\) en fonction des coefficients de \(A\).
2. En déduire que si la trace de \(AM\) est nulle pour toute matrice carrée \(M\) d’ordre \(n\), alors \(A = 0\).
3. Montrer que \(\mathrm{tr}(A^{\top}A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2\). En déduire que \(\mathrm{tr}(A^{\top}A) = 0\) entraîne \(A = 0\).

Exercice 15 – Endomorphisme de rang un

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice canonique \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Écrire \(A\) sous la forme \(A = CL\), où \(C\) est une colonne et \(L\) une ligne. En déduire le rang de \(u\).
2. Calculer \(LC\), puis montrer que \(A^2 = 3A\).
3. Déterminer une base \((c, k_1, k_2)\) de \(\mathbb{R}^3\) avec \(c \in \mathrm{Im}\, u\) et \(k_1, k_2 \in \mathrm{Ker}\, u\). Écrire la matrice de \(u\) dans cette base.
4. Vérifier la cohérence avec la trace de \(A\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Forme normale d’une matrice de taille 2 sur 3

On étudie \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\) à travers \(f : X \mapsto AX\), qui va de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculer \(\mathrm{rg}(A)\) et décrire \(\mathrm{Ker} f\) par une base.
2. Choisir \(\mathcal{B}^{\prime}\) au départ et \(\mathcal{C}^{\prime}\) à l’arrivée de sorte que \(f\) y soit représentée par \(J_1\), le tableau \(2 \times 3\) dont seul le coefficient en haut à gauche vaut 1, les autres étant nuls.
3. Écrire les matrices de passage \(P\) et \(Q\), puis vérifier par le calcul que \(Q^{-1}AP = J_1\).

Exercice 17 – Matrice semblable à son double

1. Soit \(A\) une matrice réelle carrée semblable à \(2A\). Montrer que \(\mathrm{tr}(A) = 0\).
2. Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(P = \mathrm{diag}(2, 1)\). Calculer \(P^{-1}NP\) et conclure que \(N\) est semblable à \(2N\).
3. Plus généralement, montrer que \(N\) est semblable à \(\lambda N\) pour tout réel \(\lambda\) non nul.
4. Montrer qu’une matrice \(A\) semblable à \(2A\) vérifie aussi \(\mathrm{tr}(A^2) = 0\).

Exercice 18 – Problème sur un opérateur de dérivation pondérée

À chaque polynôme \(P\) de degré au plus 2, on associe \(u(P) = (X – 1)P^{\prime}\). On utilise les deux familles \(\mathcal{B} = (1, X, X^2)\) et \(\mathcal{B}^{\prime} = \left(1, X – 1, (X – 1)^2\right)\).

1. Prouver que \(u\) envoie \(\mathbb{R}_2[X]\) dans lui-même de façon linéaire, puis écrire sa matrice \(A\) dans \(\mathcal{B}\).
2. Déterminer le rang de \(u\), une base de son noyau et une base de son image. L’endomorphisme \(u\) est-il bijectif ?
3. Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime}\) est une base et calculer \(u\left((X – 1)^k\right)\) pour \(k \in \{0, 1, 2\}\). En déduire la matrice \(D\) de \(u\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).
4. Écrire la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). Obtenir \(P^{-1}\) en exprimant \(X\) et \(X^2\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).
5. Vérifier que \(\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(D)\), puis calculer \(A^n\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
6. En déduire, pour \(n \geqslant 1\), le polynôme \(u^n(X^2)\).

Exercice 19 – Problème de caractérisation de la trace

Soit \(n \geqslant 2\). On cherche toutes les formes linéaires \(\ell\) sur l’espace des matrices réelles carrées d’ordre \(n\) qui vérifient \(\ell(AB) = \ell(BA)\) pour tout couple \((A, B)\). On rappelle que \(E_{ij}E_{kl}\) vaut \(E_{il}\) si \(j = k\), et la matrice nulle sinon.

1. Vérifier que la trace convient.
2. Soit \(\ell\) une telle forme. Pour \(i \neq j\), calculer \(E_{ij}E_{jj}\) et \(E_{jj}E_{ij}\). En déduire que \(\ell(E_{ij}) = 0\).
3. Pour \(i \neq j\), calculer \(E_{ij}E_{ji}\) et \(E_{ji}E_{ij}\). En déduire que \(\ell(E_{ii}) = \ell(E_{jj})\).
4. Conclure qu’il existe un réel \(c\) tel que \(\ell = c\,\mathrm{tr}\).
5. On note \(H\) le noyau de la trace. Prouver que \(\dim H = n^2 – 1\) et exhiber une base de \(H\).

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