Quiz changer de base sans erreur en L1

\(f\) a pour matrice \(A\) dans \(\mathcal{B}\), \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). Sa matrice dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) ?

A.\(PAP^{-1}\)B.\(P^{-1}AP\)C.\({}^tPAP\)D.\(PAP\)

Avec la même \(P\), si \(X\) et \(X^{\prime}\) sont les coordonnées d’un vecteur dans \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) :

A.\(X^{\prime}=PX\)B.\(X=PX^{\prime}\)C.\(X=X^{\prime}P\)D.\(X={}^tPX^{\prime}\)

Deux matrices carrées ont même rang mais des traces différentes. Elles sont :

A.équivalentes mais non semblablesB.semblables mais non équivalentesC.semblables et équivalentesD.ni semblables ni équivalentes

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz fait travailler les réflexes de calcul matriciel liés aux bases : écrire la bonne formule de changement de base pour un vecteur ou un endomorphisme, retrouver la matrice d’une composée dans le bon ordre, calculer une dimension d’espace d’applications linéaires. Il te fait aussi distinguer matrices équivalentes et matrices semblables grâce aux invariants que sont le rang et la trace.

Lance-le juste avant un TD d’algèbre linéaire ou une interrogation : réponds de tête, sans écrire de matrice complète. Pour chaque erreur, refais un exemple de taille 2 où tu vérifies la formule sur des vecteurs concrets, c’est le moyen le plus sûr de ne plus inverser \(P\) et \(P^{-1}\). Refais le quiz avant le partiel pour vérifier que l’ordre des produits est devenu automatique.

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Questions fréquentes : changer de base sans erreur en L1

Comment ne plus confondre \(P\) et \(P^{-1}\) dans un changement de base ?

Retiens que les colonnes de \(P\) sont les nouveaux vecteurs écrits dans l’ancienne base. Ainsi \(P\) transforme les nouvelles coordonnées en anciennes : \(X=PX^{\prime}\) n’est pas à apprendre, il se relit sur la définition.

Une trace commune suffit-elle pour conclure à la similitude ?

Non. La trace, le rang et le déterminant sont des invariants de similitude, donc des matrices où l’un d’eux diffère ne sont pas semblables, mais leur égalité ne suffit pas à conclure.

Quelle est la différence entre matrices équivalentes et semblables ?

Deux matrices sont équivalentes si \(B=QAP\) avec \(P,Q\) inversibles, ce qui revient à avoir même taille et même rang. Semblables impose \(Q=P^{-1}\), une contrainte bien plus forte réservée aux matrices carrées.

Quiz changer de base sans erreur en L1 de maths

\(f\) a pour matrice \(A\) dans \(\mathcal{B}\), \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). Sa matrice dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) ?

Avec la même \(P\), si \(X\) et \(X^{\prime}\) sont les coordonnées d’un vecteur dans \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) :

Pour \(A,B\) carrées de taille \(n\), que vaut \(\mathrm{tr}(AB-BA)\) ?

Trace d’un projecteur de rang 2 de \(\mathbb{R}^4\) ?

Quelles matrices sont semblables à \(I_n\) ?

Deux matrices carrées ont même rang mais des traces différentes. Elles sont :

Rang de la matrice de la dérivation \(P\mapsto P^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) ?

\(A\) représente \(f\), \(B\) représente \(g\) dans une même base. Quelle matrice représente \(g\circ f\) ?

\(A\) est de taille \(3\times 5\) et de rang 2. Rang de sa transposée ?

Si \(\dim E=3\) et \(\dim F=4\), quelle est la dimension de \(\mathcal{L}(E,F)\) ?

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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