Quiz noyaux, images et dimensions en L1

Quiz noyaux, images et dimensions en L1 de maths

Dix questions éclair pour automatiser le théorème du rang, la recherche de noyau, les projecteurs et les hyperplans avant ton prochain TD d’algèbre linéaire.

Une application linéaire de \(\mathbb{R}^4\) dans \(\mathbb{R}^2\) peut-elle être injective ?

A.Oui, dès qu’elle est surjectiveB.Non, son noyau est au moins de dimension 2C.Oui, si sa matrice est non nulleD.Non, car son image est toujours nulle

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

Ce quiz express entraîne les réflexes de base sur les applications linéaires : prévoir la dimension d’un noyau grâce au théorème du rang, calculer l’image d’un vecteur à partir des images d’une base, déterminer un noyau en résolvant un petit système, reconnaître un projecteur et lire son rang sur sa trace et trouver la dimension d’un hyperplan défini par une forme linéaire.

Réponds sans poser de calcul long : la plupart des questions se règlent par un argument de dimension. Ensuite, pour chaque erreur, réécris la relation entre dimension de départ, rang et dimension du noyau, car c’est elle qui revient à chaque TD. Ce quiz est aussi un bon test avant un partiel de première année, et une façon rapide de vérifier qu’injectivité, surjectivité et bijectivité ne se mélangent plus dans ta tête.

Aller plus loin sur noyaux, images et dimensions

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Questions fréquentes : noyaux, images et dimensions en L1

Le théorème du rang donne-t-il un supplémentaire du noyau égal à l’image ?

Non. Il donne seulement l’égalité des dimensions : \(\dim E = \dim \ker u + \mathrm{rg}\, u\). Pour un endomorphisme, noyau et image ne sont pas supplémentaires en général.

Comment prouver qu’une application linéaire est injective ?

Il suffit de montrer que son noyau est réduit au vecteur nul : si \(u(x) = 0\), alors \(x = 0\).

Pourquoi un hyperplan de \(\mathbb{R}^n\) est-il de dimension \(n-1\) ?

Un hyperplan s’obtient comme ensemble des vecteurs annulant une forme linéaire \(\varphi \neq 0\), de rang 1 ; le théorème du rang donne alors une dimension égale à \(n - 1\).

Quiz noyaux, images et dimensions en L1 de maths

\(u : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3\) linéaire et surjective. Dimension de \(\ker u\) ?

Dimension de l’espace des applications linéaires de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^4\) ?

Une application linéaire de \(\mathbb{R}^4\) dans \(\mathbb{R}^2\) peut-elle être injective ?

Rang de la dérivation \(P \mapsto P^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}_4[X]\) ?

Quelle relation caractérise un projecteur \(p\) ?

\(p\) projecteur de \(\mathbb{R}^5\) dont l’image est un plan. Combien vaut sa trace ?

Dimension du noyau de \((x,y,z,t) \mapsto x - 2z + t\) ?

En dimension finie, un endomorphisme injectif est :

\(u(1,0) = (2,1)\) et \(u(0,1) = (-1,3)\). Que vaut \(u(3,2)\) ?

Noyau de \((x,y,z) \mapsto (x+y,\ y+z)\) ?

Ce que ce quiz de L1 fait réviser

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