Récurrence forte et identités binomiales : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « récurrence forte et identités binomiales », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure porte sur le chapitre consacré à la récurrence et aux coefficients binomiaux. Vous commencerez par une récurrence simple sur une somme, puis vous traiterez une suite définie par tous ses termes précédents, qui réclame une récurrence forte. Ensuite, deux calculs reposent sur le télescopage, en somme puis en produit. Le triangle de Pascal sert aussi de support à la formule de Pascal et à une identité en crosse de hockey. Enfin, le problème démontre une identité binomiale de deux manières, d’abord par les factorielles, puis par une intégrale. Faites ce sujet à la fin du chapitre, avant de passer aux nombres complexes.
Ce qu’évalue le contrôle : récurrence forte et identités binomiales
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Récurrence, symboles Σ et coefficients binomiaux (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Rédiger une récurrence simple puis une récurrence forte avec une hypothèse clairement énoncée
- Calculer une somme et un produit par télescopage après un changement d’indice
- Démontrer la formule de Pascal à partir des factorielles et l’utiliser dans le triangle
- Établir une identité binomiale par deux méthodes indépendantes
Avant de commencer le devoir
Pour chaque récurrence, écrivez la propriété \(\mathcal{P}(n)\) avant l’initialisation : la moitié des points de rédaction en dépend. Dans une récurrence forte, l’hypothèse porte sur tous les rangs jusqu’à \(n\), et non sur le seul rang \(n\). Pour un télescopage, écrivez les premiers et les derniers termes, puis contrôlez la formule obtenue pour \(n = 2\). Enfin, vérifiez toujours les bornes après un changement d’indice, car c’est là que se glissent les erreurs.
Le sujet du contrôle : récurrence forte et identités binomiales
Exercice 1 – Une somme pondérée par les puissances de 3 (3 points)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\, 3^k\).
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier \(n \geq 1\), \(S_n = \dfrac{(2n-1)\,3^{n+1} + 3}{4}\).
- En déduire la valeur de \(S_4\), puis la vérifier par un calcul direct.
Exercice 2 – Une suite qui dépend de tous ses termes (4 points)
On définit la suite \((w_n)_{n \in \mathbb{N}}\) par \(w_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(w_{n+1} = 1 + 2\displaystyle\sum_{k=0}^{n} w_k\). Le schéma rappelle que le calcul de \(w_{n+1}\) utilise tous les termes déjà connus.
- Calculer \(w_1\), \(w_2\) et \(w_3\).
- Conjecturer une expression de \(w_n\), puis la démontrer par récurrence forte.
- Retrouver ce résultat autrement : montrer que \(w_{n+1} = 3 w_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), en traitant à part le cas \(n = 0\).
Exercice 3 – Télescopages en somme et en produit (4 points)
Pour tout entier \(k \geq 1\), on pose \(a_k = \dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}\). La figure place bout à bout, à partir de \(0\), des segments de longueurs \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) et \(a_4\).
- Vérifier que, pour tout \(k \geq 1\), \(a_k = \dfrac{1}{k^2} – \dfrac{1}{(k+1)^2}\).
- En déduire, pour tout \(n \geq 1\), une expression simple de \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\).
- Déterminer la limite de cette somme quand \(n\) tend vers \(+\infty\), puis interpréter le résultat sur la figure.
- Calculer enfin, pour tout \(n \geq 2\), le produit \(\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1 – \dfrac{1}{k^2}\right)\).
Exercice 4 – Le triangle de Pascal à trous (4 points)
Le triangle ci-dessous donne les coefficients \(\binom{n}{k}\) pour \(0 \leq n \leq 6\), mais quatre cases ont été effacées et remplacées par les lettres \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
- Énoncer la formule de Pascal, puis l’utiliser pour retrouver \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
- Démontrer la formule de Pascal : pour tous entiers \(n \geq 1\) et \(1 \leq k \leq n\), \(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}\), à partir de l’expression des coefficients par des factorielles.
- Soient \(p \leq n\) deux entiers naturels. Prouver par télescopage que \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} \binom{k}{p} = \binom{n+1}{p+1}\), puis vérifier cette égalité sur le triangle pour \(p = 2\) et \(n = 5\).
Exercice 5 – Problème : une identité binomiale, deux preuves (5 points)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(U_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k+1}\binom{n}{k}\) et \(V_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k+1}\binom{n}{k}\). On cherche une forme close de chacune de ces sommes.
- Montrer que, pour tous entiers \(0 \leq k \leq n\), \((k+1)\binom{n+1}{k+1} = (n+1)\binom{n}{k}\).
- Première preuve : en déduire que \(U_n = \dfrac{2^{n+1} – 1}{n+1}\) à l’aide de la formule du binôme.
- Seconde preuve : développer \((1+x)^n\) par la formule du binôme, puis intégrer les deux membres sur \([0\,;1]\) pour retrouver \(U_n\).
- Calculer de même \(V_n\), par la méthode de votre choix.
Réviser récurrence forte et identités binomiales avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
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![Multiplicités et factorisation dans R[X]](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/2026/10/postbac-24702-300x169.jpg)
