Images réciproques et relations d’ordre : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « images réciproques et relations d’ordre », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle de synthèse de deux heures porte sur le vocabulaire ensembliste du premier semestre. Vous commencerez par une double inclusion, puis vous calculerez des images directes et réciproques par une fonction du second degré. Ensuite, vous étudierez l’injectivité et la surjectivité de plusieurs applications, dont une bijection du plan à inverser explicitement.
La seconde moitié du sujet traite des relations : une relation d’équivalence dont les classes sont des paraboles, puis un ordre partiel par divisibilité, avec un diagramme de Hasse à tracer. Faites-le vers la fin du semestre 1, lorsque les chapitres sur les applications et les relations sont terminés.
Ce qu’évalue le contrôle : images réciproques et relations d’ordre
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée2 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Ensembles, applications et bijections et Relations d’équivalence et relations d’ordre (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer une égalité d’ensembles par double inclusion
- Calculer une image directe et une image réciproque par une fonction du second degré
- Prouver qu’une application du plan est bijective et expliciter sa réciproque
- Représenter les classes d’une relation définie par une égalité de valeurs, puis les mettre en bijection avec les réels
- Tracer un diagramme de Hasse et déterminer bornes, majorants et éléments extrémaux
Avant de commencer le devoir
Rédigez chaque preuve d’ensembles en partant d’un élément quelconque, puis enchaînez des équivalences ou des implications clairement annoncées. Dans l’exercice 2, écrivez d’abord la forme canonique de la fonction, car elle simplifie tous les calculs. Pour la bijection, résolvez le système en exprimant x et y, puis vérifiez la réciproque par composition. Enfin, dans le problème, ne confondez pas élément maximal et plus grand élément : l’ordre n’est pas total.
Le sujet du contrôle : images réciproques et relations d’ordre
Exercice 1 – Différence et double inclusion (3 points)
Soit \(E\) un ensemble et \(P\), \(Q\), \(R\) trois parties de \(E\). On note \(P \setminus Q\) l’ensemble des éléments de \(P\) qui ne sont pas dans \(Q\). La figure ci-dessous représente la situation générale.
- Montrer, par double inclusion, que \(P \setminus (Q \cap R) = (P \setminus Q) \cup (P \setminus R)\).
- Démontrer ensuite que \(P \cup Q = P \cap Q\) si et seulement si \(P = Q\).
Exercice 2 – Images par une parabole (4 points)
On considère l’application \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2 – 4x + 1\). Sa courbe représentative figure ci-dessous.
- Écrire \(f(x)\) sous forme canonique, puis déterminer l’image directe \(f([0\,;\,3])\).
- Déterminer l’image réciproque \(f^{-1}([-2\,;\,6])\) sous la forme d’une réunion d’intervalles.
- Soit \(g : X \to Y\) une application quelconque et \(B\) une partie de \(Y\). Prouver que \(g(g^{-1}(B)) \subset B\).
- Calculer \(f(f^{-1}([-5\,;\,0]))\). L’inclusion de la question précédente est-elle alors une égalité ?
Exercice 3 – Injections, surjections et composées (4 points)
- Soit \(u : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\), \(u(x) = x^2 + x\). Montrer que \(u\) n’est ni injective ni surjective.
- On définit \(\varphi : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2\) par \(\varphi(x,y) = (x + y^3,\; 2y – 1)\). Démontrer que \(\varphi\) est bijective et expliciter sa réciproque \(\varphi^{-1}\).
- Soit \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) deux applications. Lorsque la composée \(g \circ f\) est injective, prouver que la première application appliquée, \(f\), l’est aussi. Établir de même que la surjectivité de \(g \circ f\) entraîne celle de \(g\).
Exercice 4 – Une famille de paraboles (4 points)
Sur \(\mathbb{R}^2\), on définit la relation \(\sim\) par : \((x,y) \sim (x_1,y_1)\) si et seulement si \(y – x^2 = y_1 – x_1^2\).
- Vérifier que \(\sim\) est réflexive, symétrique et transitive sur le plan \(\mathbb{R}^2\).
- Décrire puis représenter dans un repère la classe du point \((1\,;\,3)\) et celle du point \((-2\,;\,1)\).
- On note \(Q\) l’ensemble des classes. Justifier que l’application \(\Phi : Q \to \mathbb{R}\), qui à la classe de \((x,y)\) associe \(y – x^2\), est bien définie, puis qu’elle est bijective.
- Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(a \,\mathcal{S}\, b\) lorsque \(|a – b| \leq 1\). Cette relation est-elle une relation d’équivalence ?
Exercice 5 – Problème : divisibilité et parties d’un ensemble (5 points)
Pour \(a\) et \(b\) dans \(\mathbb{N}^*\), on note \(a \mid b\) lorsqu’il existe \(k \in \mathbb{N}^*\) tel que \(b = ka\). On étudie l’ensemble \(D = \{2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,12\,;\,18\,;\,24\}\), muni de cette relation et représenté ci-dessous.
Partie A : un ordre partiel
- Montrer que \(\mid\) est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^*\). Cet ordre est-il total ?
- Tracer le diagramme de Hasse de \((D, \mid)\) : on relie \(a\) à \(b\), placé plus haut, quand \(a \mid b\), \(a \neq b\) et quand aucun élément de \(D\) ne se place strictement entre eux.
- Déterminer les éléments minimaux et maximaux de \(D\). Cet ensemble possède-t-il un plus petit ou un plus grand élément ?
- Dans \((D, \mid)\), donner les majorants et les minorants de \(\{4\,;\,6\}\), puis sa borne supérieure et sa borne inférieure. La partie \(\{8\,;\,18\}\) admet-elle une borne supérieure dans \(D\) ?
Partie B : parties d’un ensemble
Soit \(X\) un ensemble non vide. Pour \(F \subset X\), on note \(\chi_F\) la fonction indicatrice de \(F\), qui vaut \(1\) sur \(F\) et \(0\) ailleurs. Dans toute la partie, \(F\) et \(G\) désignent deux parties de \(X\).
- Montrer que \(\chi_{F \cap G} = \chi_F \chi_G\) et que \(\chi_{F \cup G} = \chi_F + \chi_G – \chi_F \chi_G\).
- Prouver que, dans l’ensemble ordonné \((\mathcal{P}(X), \subset)\), toute paire \(\{F, G\}\) admet une borne supérieure égale à \(F \cup G\).
Réviser images réciproques et relations d’ordre avant le contrôle
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