Équations avec arctan, ch et sh : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « équations avec arctan, ch et sh », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure porte sur les fonctions usuelles du premier semestre de licence. Vous commencerez par les fonctions arc : calculer arcsin, arccos et arctan d’un angle mal placé, puis résoudre une équation qui fait intervenir arctan. Ensuite, une identité avec arctan se démontre par la dérivation, sur deux intervalles distincts. Le troisième exercice demande de résoudre des équations en ch et sh, tandis que le quatrième lève des formes indéterminées grâce aux croissances comparées. Enfin, un problème étudie une fonction construite avec ln et ch, ses branches infinies et sa réciproque, et il se termine par le tracé de sa courbe. Faites ce sujet après le chapitre sur la dérivation, avant le partiel d’analyse.
Ce qu’évalue le contrôle : équations avec arctan, ch et sh
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Exponentielle, logarithme, fonctions arc et hyperboliques (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer des expressions du type arcsin(sin a) en ramenant l’angle dans l’intervalle image de la fonction arc
- Établir une identité avec arctan par la dérivation, en traitant séparément chaque intervalle du domaine
- Résoudre une équation en ch et sh par le changement d’inconnue X = exp(x)
- Lever une forme indéterminée par les croissances comparées et étudier les branches infinies d’une courbe
Avant de commencer le devoir
Pour une fonction arc, ramenez d’abord l’angle dans l’intervalle image, puis vérifiez qu’il y est bien. Dès qu’une identité se prouve en dérivant, la fonction est constante sur chaque intervalle du domaine seulement : calculez donc une valeur ou une limite par morceau. Avec ch et sh, posez \(X = \mathrm{e}^{x}\) et rappelez que \(X > 0\), car une racine négative doit être écartée. Enfin, écrivez chaque limite sous une forme où le théorème de croissances comparées s’applique tel quel.
Le sujet du contrôle : équations avec arctan, ch et sh
Exercice 1 – Fonctions arc et angles à ramener (3 points)
Les trois questions se traitent sans calculatrice, à partir des définitions des fonctions arc.
- Calculer \(\arcsin\left(\sin \frac{5\pi}{7}\right)\), \(\arccos\left(\cos\left(-\frac{9\pi}{5}\right)\right)\) et \(\arctan\left(\tan \frac{11\pi}{8}\right)\), en justifiant chaque résultat.
- On pose \(g(x) = \arctan(x-2) + \arctan(x+2)\) pour tout réel \(x\). Montrer que l’équation \(g(x) = \frac{\pi}{4}\) admet une unique solution réelle, puis la déterminer.
Exercice 2 – Une identité avec arctan en deux morceaux (3 points)
On note \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}\) et, pour tout \(x \in D\), on pose \(\psi(x) = \arctan\left(\dfrac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\,x}\right)\) puis \(\varphi(x) = \psi(x) – \arctan x\). La courbe de \(\psi\) est tracée ci-dessous.
- Justifier que \(\varphi\) est dérivable sur \(D\), puis montrer que \(\varphi^{\prime}(x) = 0\) pour tout \(x \in D\).
- En déduire une expression de \(\psi(x)\) à l’aide de \(\arctan x\) sur chacun des deux intervalles qui forment \(D\). Expliquer alors le saut visible sur la figure.
Exercice 3 – Équations en ch et sh (4 points)
On rappelle que \(\mathrm{ch}\,x = \dfrac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{2}\) et \(\mathrm{sh}\,x = \dfrac{\mathrm{e}^{x} – \mathrm{e}^{-x}}{2}\) pour tout réel \(x\). Les courbes de ces deux fonctions sont tracées ci-dessous, avec la droite d’équation \(y = \frac{12}{5}\).
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(3\,\mathrm{ch}\,x – \mathrm{sh}\,x = 3\).
- Soit \(y\) un réel. Montrer que l’équation \(\mathrm{sh}\,x = y\) possède une unique solution, égale à \(\ln\left(y + \sqrt{y^2+1}\right)\). Lire ensuite sur la figure combien de solutions a l’équation \(\mathrm{sh}\,x = \frac{12}{5}\), puis calculer cette solution exactement.
- Vérifier que \(\mathrm{ch}(2x) = 2\,\mathrm{ch}^2 x – 1\) pour tout réel \(x\). Résoudre alors l’équation \(\mathrm{ch}(2x) – 5\,\mathrm{ch}\,x + 4 = 0\).
Exercice 4 – Croissances comparées (4 points)
Déterminer les quatre limites suivantes, en citant à chaque fois le résultat du cours utilisé.
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^4}{x^{1/3}}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x^{5}}\)
Exercice 5 – Problème : la fonction x − ln(ch x) (6 points)
On étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x – \ln(\mathrm{ch}\,x)\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Justifier que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Montrer ensuite que \(f(x) = \ln 2 – \ln\left(1 + \mathrm{e}^{-2x}\right)\) pour tout réel \(x\).
- En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à son asymptote horizontale.
- Établir que \(f(x) = 2x + \ln 2 – \ln\left(1 + \mathrm{e}^{2x}\right)\). Montrer alors que \(\mathcal{C}_f\) admet en \(-\infty\) une asymptote oblique, et préciser leur position relative.
- Calculer \(f^{\prime}(x)\) à l’aide de la fonction \(\mathrm{th}\), puis dresser le tableau de variations de \(f\). Prouver que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-\infty\,;\ln 2\right[\).
- Exprimer \(f^{-1}(y)\) pour tout \(y < \ln 2\).
- Donner la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0. Étudier le signe de \(f^{\prime\prime}\) pour situer la courbe par rapport à cette tangente. Tracer enfin \(\mathcal{C}_f\), ses deux asymptotes et sa tangente en 0.
Réviser équations avec arctan, ch et sh avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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