Borne supérieure et densité en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Encadrer des sommes, produits et quotients

Soit \(x \in [1,4]\) et \(y \in [-3,-1]\). En justifiant chaque étape, encadrer les quantités suivantes.

1. \(x + y\) et \(x – y\).
2. \(xy\).
3. \(\frac{x}{y}\).
4. \(x^2 + y^2\).

Exercice 2 – Trois équations et inéquations avec valeurs absolues

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(|2x – 5| \leq 3\) ;
2. \(|x + 1| > |x – 3|\) ;
3. \(|x – 1| + |x + 2| = 5\).

Exercice 3 – Majorants, maximum et borne supérieure de trois parties

Pour chacune des parties suivantes, dire si elle est majorée, minorée, et donner, lorsqu’ils existent, son maximum, son minimum, sa borne supérieure et sa borne inférieure.

1. \(A = [-2, 3[\, \cup \{5\}\).
2. \(B = \{n^2 – 6n : n \in \mathbb{N}\}\).
3. \(C = \{x \in \mathbb{R} : x^2 < 7\}\).

Exercice 4 – Calculs de parties entières

1. Calculer \(\lfloor -2{,}5 \rfloor\), \(\lfloor \pi^2 \rfloor\) et \(\lfloor -\sqrt{10} \rfloor\), en justifiant à l’aide d’un encadrement.
2. Résoudre l’équation \(\lfloor 3x + 1 \rfloor = 4\).
3. Résoudre l’équation \(\lfloor x \rfloor^2 = 9\).

Exercice 5 – Rationnel ou irrationnel

1. Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.
2. Soit \(x\) irrationnel et \(r\) rationnel non nul. Montrer alors que \(x + r\) et \(rx\) sont irrationnels.
3. Donner deux irrationnels dont la somme est rationnelle, puis deux irrationnels dont le produit est rationnel.

Exercice 6 – Inégalité triangulaire renversée

1. Montrer que, pour tous réels \(x\) et \(y\), \(|x – y| \geq \big||x| – |y|\big|\).
2. Soit \(x\) un réel tel que \(|x – 2| \leq \frac{1}{4}\). Montrer que \(|x^2 – 4| \leq \frac{17}{16}\).
3. Pour le même \(x\), montrer que \(\frac{1}{|x|} \leq \frac{4}{7}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Borne supérieure d’une famille de fractions

On considère \(E = \left\{\frac{3n – 1}{n + 2} : n \in \mathbb{N}\right\}\). La figure place les premiers éléments de \(E\).

1. Écrire \(\frac{3n-1}{n+2}\) sous la forme \(3 – \frac{c}{n+2}\).
2. Déterminer le minimum de \(E\).
3. Montrer, à l’aide de la caractérisation par epsilon, que \(\sup E = 3\). La partie \(E\) possède-t-elle un maximum ?

Exercice 8 – Fractions à deux indices

On pose \(F = \left\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \mathbb{N}^*\right\}\).

1. D’abord, montrer que \(F \subset\, ]0,1[\).
2. Établir ensuite que \(\sup F = 1\) et \(\inf F = 0\).
3. Ces bornes sont-elles atteintes ?

Exercice 9 – Opérations sur les bornes supérieures

Soit \(A\) et \(B\) deux parties non vides et bornées de \(\mathbb{R}\).

1. On note \(-A = \{-a : a \in A\}\). Montrer que \(\sup(-A) = -\inf A\).
2. Soit \(\lambda > 0\) et \(A_\lambda = \{\lambda a : a \in A\}\). Montrer que \(\sup A_\lambda = \lambda \sup A\).
3. De plus, montrer que \(\sup(A \cup B)\) est le plus grand des deux réels \(\sup A\) et \(\sup B\).
4. On suppose \(A \subset B\). Comparer \(\sup A\) et \(\sup B\), puis \(\inf A\) et \(\inf B\).

Exercice 10 – Encadrements par la partie entière

1. Soit \(x\) et \(y\) deux réels. Montrer que \(\lfloor x + y \rfloor – \lfloor x \rfloor – \lfloor y \rfloor\) vaut \(0\) ou \(1\).
2. Calculer \(\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor\) selon que \(x\) est entier ou non.
3. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(u_n = \frac{1}{n}\lfloor nx \rfloor\). Montrer que \(u_n \leq x < u_n + \frac{1}{n}\).

Exercice 11 – Somme des parties entières de racines

1. Soit \(j \in \mathbb{N}^*\). Pour quels entiers \(k \geq 1\) a-t-on \(\lfloor \sqrt{k} \rfloor = j\) ? Combien y en a-t-il ?
2. En déduire la valeur de \(S = \sum_{k=1}^{30} \lfloor \sqrt{k} \rfloor\).

Le graphe suivant aide à visualiser les paliers de la fonction \(t \mapsto \lfloor \sqrt{t} \rfloor\).

Exercice 12 – Densité des nombres décimaux

1. Soit \(a < b\) deux réels. Montrer qu’il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(10^{-n} < b – a\), puis que \(\frac{\lfloor 10^n a \rfloor + 1}{10^n}\) appartient à \(]a,b[\).
2. En déduire que \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
3. Trouver un nombre décimal strictement compris entre \(\frac{22}{7}\) et \(3{,}1429\).
4. Montrer que tout intervalle \(]a,b[\), avec \(a < b\), contient une infinité de décimaux.

Exercice 13 – Fonction croissante qui fixe les rationnels

Soit \(f\) une fonction croissante de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) telle que \(f(r) = r\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\). Montrer que \(f(x) = x\) pour tout réel \(x\).

Exercice 14 – Reconnaître des intervalles

1. Montrer que \(\{x \in \mathbb{R} : x^2 – 5x + 4 \leq 0\}\) est un intervalle et le préciser.
2. Justifier ensuite que \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) n’est pas un intervalle.
3. Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles. Montrer que \(I \cap J\) est un intervalle.
4. On suppose de plus \(I \cap J \neq \emptyset\). Montrer que \(I \cup J\) est un intervalle. Donner un contre-exemple lorsque \(I \cap J = \emptyset\).

Exercice 15 – Bornes dans la droite achevée

Déterminer, dans \(\overline{\mathbb{R}}\), la borne supérieure et la borne inférieure des parties suivantes, en précisant si elles sont atteintes.

1. \(A = \left\{n – \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^*\right\}\).
2. \(B = \left\{x \in \mathbb{R}^* : \frac{1}{x} > 2\right\}\).
3. \(C = \{\ln t : t \in\, ]0,1]\}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Rationnels dont le cube est inférieur à 5

On pose \(A = \{r \in \mathbb{Q} : r^3 < 5\}\) et \(s = \sqrt[3]{5}\).

1. D’abord, montrer que \(A\) est non vide et majorée par \(2\).
2. Vérifier ensuite que \(s\) majore \(A\).
3. Soit \(\varepsilon > 0\). En utilisant la densité de \(\mathbb{Q}\), montrer qu’il existe \(r \in A\) tel que \(r > s – \varepsilon\). Conclure que \(\sup A = s\).
4. Enfin, prouver que \(s\) est irrationnel. En déduire que \(A\) n’a pas de plus grand élément.

Exercice 17 – Un sous-groupe dense de R

On pose \(G = \{m + n\sqrt{2} : m, n \in \mathbb{Z}\}\).

1. D’abord, montrer que \(G\) est stable par somme et par passage à l’opposé.
2. Soit \(N \geq 1\) un entier. Pour \(k \in \{0, \ldots, N\}\), on pose \(x_k = k\sqrt{2} – \lfloor k\sqrt{2} \rfloor\). En découpant \([0,1[\) en \(N\) intervalles de longueur \(\frac{1}{N}\), montrer qu’il existe \(k \neq \ell\) tels que \(|x_k – x_\ell| < \frac{1}{N}\).
3. En déduire l’existence de \(g \in G\) tel que \(0 < g < \frac{1}{N}\).
4. Soit \(a < b\). Montrer qu’un multiple entier de \(g\) bien choisi appartient à \(]a,b[\). Conclure que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

Exercice 18 – Problème – Approximations décimales d’un réel

Soit \(x\) un réel. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(d_n = 10^{-n}\lfloor 10^n x \rfloor\) et \(e_n = d_n + 10^{-n}\).

1. Montrer que \(d_n \leq x < e_n\) pour tout \(n\).
2. Établir ensuite que \(d_n \leq d_{n+1}\) et \(e_{n+1} \leq e_n\).
3. Calculer \(d_0, d_1, d_2, d_3\) pour \(x = \frac{1}{7}\).
4. On note \(D = \{d_n : n \in \mathbb{N}\}\) et \(E = \{e_n : n \in \mathbb{N}\}\). Montrer que \(\sup D = x\) et \(\inf E = x\).
5. Prouver de plus que \(\sup D\) est atteint si et seulement si \(x\) est un nombre décimal.
6. Enfin, justifier que \(\inf E\) n’est jamais atteint.

Pour aller plus loin

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