QCM : Calculer un déterminant en maths sup (MPSI)

Réponse D.

On compte les couples \(i<j\) tels que \(\sigma(i)>\sigma(j)\). Le \(3\) en donne \(2\), le \(5\) en donne \(3\) et le \(4\) en donne \(2\), soit \(7\) au total. La signature vaut donc \((-1)^7=-1\). On le confirme par les cycles : \(\sigma=(1\,3\,4)(2\,5)\), produit d’un \(3\)-cycle pair et d’une transposition. La réponse \(7\) inversions avec signature \(1\) se trompe sur la parité.

Réponse A.

Un cycle \((a_1\,\ldots\,a_k)\) s’écrit \((a_1\,a_2)(a_2\,a_3)\cdots\), en enchaînant \(k-1\) transpositions. Ainsi un \(6\)-cycle en demande \(5\), et sa signature vaut \((-1)^5=-1\). La réponse avec \(6\) transpositions confond la longueur du cycle et leur nombre. Par ailleurs, \(3\) transpositions à supports disjoints ne bougent que trois paires. Enfin, cinq transpositions donnent forcément une permutation impaire.

Réponse B.

Chaque colonne de \(-2A\) vaut \(-2\) fois la colonne correspondante de \(A\). Par multilinéarité, on factorise donc \((-2)^3=-8\). On obtient ainsi \(-8\times2=-16\). La réponse \(-4\) traite le déterminant comme une application linéaire de la matrice. La réponse \(16\) oublie que le cube d’un négatif est négatif. Enfin, \(-8\) oublie de multiplier par \(\det A\).

Réponse C.

On sait que \(\det(AB)\) vaut \(\det A\times\det B\). Comme deux réels commutent, \(\det(BA)\) prend la même valeur, même si \(AB\neq BA\). En revanche, le déterminant n’est pas additif : \(A=B=I_2\) donne \(4\) d’un côté et \(2\) de l’autre. Par ailleurs, la transposée a le même déterminant que \(A\). Enfin, \(\det(2A)=2^n\det A\).

Réponse A.

Dans la base canonique \((E_{ij})\), l’endomorphisme \(T\) fixe \(E_{11}\) et \(E_{22}\), et échange \(E_{12}\) et \(E_{21}\). Sa matrice est donc une matrice de permutation associée à une transposition, de déterminant \(-1\). La réponse \(1\) confond \(\det T\) avec la propriété \(\det(M^{\top})=\det M\). De plus, \(T\) est bijective, donc son déterminant n’est pas nul.

Réponse A.

Par linéarité selon la première ligne, \(\det(3L_1-L_2,L_2,\ldots)=3\det(L_1,L_2,\ldots)-\det(L_2,L_2,\ldots)\). Le second terme est nul, car deux lignes sont égales. On multiplie donc d’abord par \(3\), puis l’échange multiplie par \(-1\). La réponse \(3\) oublie l’échange. La réponse \(-1\) traite la première opération comme une transvection, alors que \(L_1\) est multipliée. Enfin, \(2\) calcule \(3-1\).

Réponse D.

On effectue \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3-L_1\), qui ne changent pas le déterminant. La première colonne devient \((2,0,0)\), et les lignes restantes sont \((1,-1)\) et \((4,-2)\). En développant selon cette colonne, on obtient \(2\times\big(1\times(-2)-(-1)\times4\big)=2\times2=4\). La réponse \(2\) oublie le pivot \(2\). Quant à \(-4\), elle inverse le produit en croix du mineur.

Réponse D.

Le déterminant de Vandermonde vaut \(\prod_{i<j}(a_j-a_i)\). Les couples sans \(x\) donnent \((2-1)(3-1)(3-2)=2\). Les couples avec \(x\) donnent \((x-1)(x-2)(x-3)\). La réponse sans facteur oublie les différences entre les premiers points. Le signe moins vient de différences prises à l’envers. Enfin, \(6\) multiplie les points \(1\), \(2\) et \(3\) au lieu de leurs écarts.

Réponse B.

On a \(\det A=8-3=5\) ; l’inverse est la transposée de la comatrice divisée par \(\det A\). La comatrice vaut \(\begin{pmatrix}4&-1\\-3&2\end{pmatrix}\), et sa transposée donne la bonne réponse. Ainsi, garder la comatrice sans la transposer est un piège fréquent. Par ailleurs, la version sans signes oublie les \((-1)^{i+j}\). Enfin, le facteur \(\frac{1}{11}\) calcule \(8+3\) au lieu de \(8-3\).

Réponse C.

On part de \(A\operatorname{Com}(A)^{\top}=(\det A)I_4\). En prenant le déterminant, on obtient \(\det A\times\det(\operatorname{Com}A)=(\det A)^4\). Comme \(\det A\neq0\), il reste \((\det A)^3=27\). La réponse \(81\) oublie de simplifier par \(\det A\). La réponse \(\frac{1}{3}\) confond la comatrice avec l’inverse. Enfin, \(3\) suppose que la comatrice a le même déterminant que \(A\).

Réponse C.

On développe selon la première ligne. Le coefficient \(5\) donne \(5D_{n-1}\). Le coefficient \(2\) en position \((1,2)\) porte le signe moins, puis son mineur se développe selon sa première colonne et donne \(2D_{n-2}\). On obtient donc \(-2\times2\,D_{n-2}\). La version avec \(+4\) oublie le signe \((-1)^{1+2}\). Celle avec \(-2\) ne compte qu’un seul des deux coefficients \(2\). Enfin, la dernière échange les rôles de \(2\) et \(5\).

Réponse B.

Les solutions de \(r^2-5r+4=0\) sont \(1\) et \(4\), si bien que \(D_n=\alpha+\beta\,4^n\). Avec \(D_1\) et \(D_2\), on trouve \(\beta=\frac{4}{3}\) et \(\alpha=-\frac{1}{3}\). On vérifie ainsi \(D_2=\frac{63}{3}=21\). La réponse \(\frac{4^n-1}{3}\) décale l’indice et donne \(D_1=1\). Les réponses \(4^n+1\) et \(2^{n+1}+1\) valent bien \(5\) pour \(n=1\), cependant elles échouent pour \(n=2\).