Formules de trigonométrie en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Valeurs exactes en 11π/12

On remarque que \(\dfrac{11\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}\).

1. Calculer la valeur exacte de \(\cos(11\pi/12)\) et de \(\sin(11\pi/12)\).
2. En déduire \(\cos(\pi/12)\) sans nouveau calcul de formule d’addition.
3. Enfin, vérifier le résultat de la question 1 en calculant \(\cos^2(11\pi/12) + \sin^2(11\pi/12)\).

Exercice 2 – Réduction d’angles associés

Pour tout réel \(x\), on pose

\[A(x) = \cos(5\pi – x) + \sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) – 2\cos(x – 3\pi),\qquad B(x) = \sin\left(-x – \frac{9\pi}{2}\right) + \cos\left(x + \frac{11\pi}{2}\right).\]

1. Simplifier \(A(x)\).
2. De même, simplifier \(B(x)\), puis contrôler le résultat pour \(x = 0\).

Exercice 3 – Une congruence à diviser par trois

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) la congruence \(3x \equiv \pi/2\;[2\pi]\).
2. Ensuite, donner la liste des solutions appartenant à \(]-\pi, \pi]\) et les placer sur le cercle trigonométrique.
3. Enfin, montrer que \(x \equiv y\;[2\pi]\) entraîne \(3x \equiv 3y\;[2\pi]\). Donner un contre-exemple à la réciproque.

Exercice 4 – Formule de triplication du cosinus

1. En écrivant \(3a = 2a + a\), exprimer \(\cos 3a\) comme un polynôme en \(\cos a\).
2. Ensuite, procéder de même pour \(\sin 3a\) en fonction de \(\sin a\).
3. En déduire une linéarisation de \(\cos^3 a\), puis de \(\sin^2 a\cos^2 a\).

Exercice 5 – Équation en sin(2x − π/3)

1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Puis donner les solutions qui appartiennent à \([0, 2\pi[\), rangées dans l’ordre croissant.

Exercice 6 – Deux angles de tangentes 3/2 et 5

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(]0, \pi/2[\) tels que \(\tan a = 3/2\) et \(\tan b = 5\). La figure représente ces deux angles dans des triangles rectangles.

1. Justifier que la formule d’addition de la tangente s’applique à \(a + b\), puis calculer \(\tan(a + b)\).
2. En déduire la valeur exacte de \(a + b\).
3. Enfin, calculer de même \(\tan(b – a)\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Somme de deux sinus et équation

1. Factoriser \(\sin 3x + \sin 7x\).
2. Ensuite, résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin 3x + \sin 7x = \sin 5x\).
3. Combien cette équation possède-t-elle de solutions dans \([0, \pi]\) ?

Exercice 8 – Inéquation du second degré en sinus

1. Factoriser le trinôme \(2s^2 + s – 1\).
2. Résoudre sur \(]-\pi, \pi]\) l’inéquation \(2\sin^2 x + \sin x – 1 < 0\).
3. De même, résoudre sur le même intervalle l’inéquation large \(2\sin^2 x + \sin x – 1 \leqslant 0\), et comparer.

Exercice 9 – Expression de la forme a cos x + b sin x

On considère la fonction \(f : x \mapsto \sqrt{3}\cos x – \sin x\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Écrire \(f(x)\) sous la forme \(r\cos(x + \varphi)\) avec \(r > 0\) et \(\varphi \in ]-\pi, \pi]\).
2. Ensuite, déterminer le maximum et le minimum de \(f\), ainsi que les réels où ils sont atteints.
3. Enfin, résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(f(x) = \sqrt{2}\).

Exercice 10 – Somme télescopique de cosinus impairs

Soient \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x\) un réel tel que \(x \not\equiv 0\;[\pi]\). On pose

\[T_n = \sum_{k=1}^{n}\cos\big((2k – 1)x\big).\]

1. Transformer le produit \(2\sin x\cos\big((2k – 1)x\big)\) en somme.
2. En déduire une expression simple de \(T_n\).
3. Enfin, calculer \(T_n\) pour \(x = \pi/(2n)\) et vérifier le résultat lorsque \(n = 2\).

Exercice 11 – Le sinus est 1-lipschitzien

1. Rappeler pourquoi \(|\sin u| \leqslant |u|\) pour tout réel \(u\).
2. Montrer que pour tous réels \(x\) et \(y\), \(|\sin x – \sin y| \leqslant |x – y|\).
3. Ensuite, établir par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout réel \(x\), \(|\sin(nx)| \leqslant n\,|\sin x|\).
4. Enfin, donner, sans calculatrice, un majorant de \(|\sin(1{,}02) – \sin 1|\).

Exercice 12 – Équation résolue par tan(x/2)

On veut résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E) : 2\cos x + \sin x = 1\).

1. Les réels \(x \equiv \pi\;[2\pi]\) sont-ils solutions de \((E)\) ?
2. Pour \(x \not\equiv \pi\;[2\pi]\), poser \(t = \tan(x/2)\) et montrer que \((E)\) équivaut à \(3t^2 – 2t – 1 = 0\).
3. Par conséquent, résoudre \((E)\) et vérifier chacune des familles obtenues.

Exercice 13 – Valeurs exactes en π/8

1. À l’aide d’une formule de duplication, calculer \(\cos(\pi/8)\) et \(\sin(\pi/8)\).
2. En utilisant \(\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}\), montrer que \(\tan(\pi/8) = \sqrt{2} – 1\).
3. Ensuite, vérifier ce résultat avec la formule \(\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}\).
4. En déduire \(\tan(3\pi/8)\).

Exercice 14 – Équations en tangente

1. Préciser l’ensemble de définition de l’équation \(\tan 2x = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{5}\right)\), puis la résoudre.
2. Ensuite, résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sqrt{3}\tan^2 x – 4\tan x + \sqrt{3} = 0\).
3. Enfin, étudier les variations de \(x \mapsto \tan x – x\) sur \([0, \pi/2[\) et en déduire que \(\tan x \geqslant x\) sur cet intervalle.

Exercice 15 – Produit de quatre cosinus

On pose \(P = \cos\dfrac{\pi}{15}\cos\dfrac{2\pi}{15}\cos\dfrac{4\pi}{15}\cos\dfrac{8\pi}{15}\).

1. Calculer \(\sin\dfrac{\pi}{15}\times P\) en utilisant quatre fois la formule de \(\sin 2a\).
2. En déduire la valeur exacte de \(P\). Expliquer pourquoi son signe était prévisible.

Pour approfondir

Exercice 16 – Signe de sin x + sin 2x + sin 3x

On pose \(g(x) = \sin x + \sin 2x + \sin 3x\) pour \(x\) réel.

1. Montrer que \(g(x) = 2\sin x\cos x\,(2\cos x + 1)\).
2. Ensuite, résoudre l’équation \(g(x) = 0\) sur \([0, 2\pi]\).
3. Enfin, dresser le tableau de signe de \(g\) sur \([0, 2\pi]\) et résoudre \(g(x) > 0\) sur cet intervalle.

Exercice 17 – Problème : encadrements polynomiaux du sinus et du cosinus

La figure compare le sinus aux fonctions \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto x – x^3/6\) sur \([0, 3]\).

1. Montrer que \(\sin x \leqslant x\) pour tout \(x \geqslant 0\).
2. Établir ensuite que \(\cos x \geqslant 1 – x^2/2\) pour tout réel \(x\).
3. De même, prouver que \(\sin x \geqslant x – x^3/6\) pour tout \(x \geqslant 0\).
4. En déduire un encadrement de \(\sin(1/10)\) par deux rationnels, puis la limite de \(\dfrac{x – \sin x}{x^2}\) quand \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives.
5. Enfin, retrouver le résultat de la question 2 à partir de la formule \(1 – \cos x = 2\sin^2(x/2)\).

Exercice 18 – Problème : valeurs exactes en π/10 et une équation associée

On pose \(\theta = \pi/10\).

1. Justifier que \(\sin 2\theta = \cos 3\theta\).
2. Exprimer \(\cos 3\theta\) en fonction de \(\cos\theta\), puis montrer que \(s = \sin\theta\) vérifie \(4s^2 + 2s – 1 = 0\).
3. En déduire la valeur exacte de \(\sin(\pi/10)\).
4. Ensuite, calculer \(\cos(\pi/5)\) puis \(\cos(2\pi/5)\). Commenter le résultat.
5. Enfin, résoudre dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(\cos 3x = \sin 2x\).

Pour aller plus loin

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