QCM : Convexité et inégalités classiques en maths sup (MPSI)

Réponse B.

La définition dit que la corde reste au-dessus du graphe entre \(x\) et \(y\). Le sens \(\ge\) définit au contraire une fonction concave. Autoriser \(t\) réel quelconque est un piège : hors du segment, la sécante passe sous le graphe, donc l’inégalité deviendrait fausse même pour \(x\mapsto x^2\). Enfin, la majoration par \(f(x)+f(y)\) perd les poids et n’a aucun lien avec la convexité.

Réponse A.

Il suffit d’additionner les deux inégalités de convexité pour obtenir celle de \(f+g\). En revanche, avec \(f(x)=x\) et \(g(x)=x^2\), le produit vaut \(x^3\), qui n’est pas convexe. De même, \(f-g\) peut être concave, par exemple \(-x^2\) si \(f\) est nulle. Enfin, la composée exige que la fonction extérieure soit convexe et croissante : avec \(f(x)=-x\), on obtient \(-x^2\).

Réponse C.

La fonction \(\ln\) est concave, car sa dérivée seconde \(-1/x^2\) est négative. Jensen s’applique donc avec l’inégalité retournée : l’image de la moyenne dépasse la moyenne des images. Le sens \(\le\) traite \(\ln\) comme convexe. Par ailleurs, les versions sans les poids \(1/3\) sont fausses : avec \(a=b=c=2\), on obtiendrait \(\ln6\ge\ln8\).

Réponse C.

Pour \(0<1<3\), la croissance des pentes donne \(\dfrac{f(1)-f(0)}{1}\le\dfrac{f(3)-f(1)}{2}\), c’est-à-dire \(2\le\dfrac{f(3)-2}{2}\). Par conséquent, \(f(3)\ge6\). Le sens \(\le\) inverse le lemme des pentes. Ensuite, l’égalité n’a lieu que si \(f\) est affine sur \([0,3]\), ce que rien n’impose : \(f(x)=x^2+x\) donne 12. Enfin, \(f(3)\ge4\) oublie que la pente vaut 2 sur un intervalle de longueur 2.

Réponse D.

Entre \(a\) et \(b\), le graphe d’une fonction convexe reste sous la corde. Cependant, à l’extérieur du segment, la situation s’inverse : avec \(a<b<x\), la pente de \(a\) à \(x\) dépasse celle de \(a\) à \(b\), donc \(f(x)\) est au-dessus de la sécante. Répondre « au-dessous » étend à tort la propriété des cordes. Le cas \(f\) affine montre en outre que l’égalité peut se produire.

Réponse B.

Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut à la croissance de la dérivée : les pentes des tangentes augmentent. En revanche, \(f^{\prime}\ge0\) signifie seulement que \(f\) croît, ce qui est un autre problème ; ainsi \(x\mapsto\sqrt x\) est croissante mais concave. De même, \(f(x)=x^2\) est convexe sans être croissante sur \(\mathbb{R}\). Enfin, la convexité de \(f^{\prime}\) concerne la dérivée tierce.

Réponse C.

On dérive deux fois : pour \(x\ln x\), on trouve \(\ln x+1\) puis \(1/x\), strictement positive, donc la fonction est convexe. Au contraire, \(\sqrt x\) et \(\ln x\) ont une dérivée seconde négative : elles sont concaves, même si elles sont croissantes. Quant à \(x\,e^{-x}\), sa dérivée seconde \((x-2)e^{-x}\) change de signe en 2, ce qui donne un point d’inflexion.

Réponse A.

La fonction \(\exp\) est convexe, donc son graphe reste au-dessus de chacune de ses tangentes. En 0, la tangente a pour équation \(y=1+x\), d’où \(e^x\ge1+x\). Le sens inverse confond convexe et concave. Par ailleurs, l’ajout de \(x^2/2\) n’est valable que pour \(x\ge0\) : en \(x=-3\), le membre de droite vaut 2,5. Enfin, \(1+2x\) n’est pas la tangente et dépasse \(e\) en \(x=1\).

Réponse D.

La tangente en 1 a pour équation \(y=x-1\). Comme \(\ln\) est concave, son graphe est sous ses tangentes, donc \(\ln x\le x-1\), avec égalité seulement en 1. Le sens \(\ge\) suppose à tort la convexité. En remplaçant \(x\) par \(1/x\), on obtient en fait \(\ln x\ge1-\tfrac1x\) : la version avec \(\le\) est donc inversée. Enfin, le facteur \(1/2\) ne correspond à aucune tangente.

Réponse B.

D’après l’inégalité arithmético-géométrique, \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}=2\), donc \(a+b+c\ge6\). De plus, le cas d’égalité \(a=b=c=2\) montre que 6 est atteint. La réponse 2 oublie de multiplier la moyenne par 3. Ensuite, \(6\sqrt2\) provient d’une racine carrée prise à la place de la racine cubique. Enfin, 8 confond la somme avec le produit.

Réponse A.

Sur un intervalle ouvert, la croissance des pentes encadre les taux d’accroissement en chaque point, ce qui entraîne la continuité. En revanche, la dérivabilité peut manquer : \(x\mapsto|x|\) est convexe sans être dérivable en 0. Par ailleurs, \(x\mapsto\dfrac{1}{1-x^2}\) est convexe mais tend vers \(+\infty\) aux bords ; elle n’est donc ni majorée ni dotée d’un maximum.

Réponse D.

Avec des poids \(1/n\), la concavité de \(\ln\) donne \(\ln\left(\frac1n\sum x_i\right)\ge\frac1n\sum\ln x_i\). On compose ensuite par \(\exp\), croissante, ce qui fournit la moyenne géométrique à droite. Ainsi, la croissance de \(\exp\) intervient bien, mais elle ne suffit pas seule. Traiter \(\ln\) comme convexe inverserait le résultat. Quant à la tangente en 0 à \(x^n\), elle est horizontale et n’apporte rien.