Étude de fonctions et réciproques en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Domaines et symétries de trois fonctions

On considère les fonctions suivantes :

\[f(x)=\ln\left(\frac{5-x}{5+x}\right),\qquad g(x)=\frac{\cos(2x)}{2+\sin^2x},\qquad h(x)=\sqrt{x^2-3x+2}.\]

1. Déterminer le domaine de définition de chacune de ces fonctions.
2. Montrer que \(f\) est impaire, puis que \(g\) est paire et \(\pi\)-périodique. En déduire ainsi un intervalle d’étude de \(g\) le plus petit possible.
3. Enfin, montrer que \(h(3-x)=h(x)\) pour tout \(x\) du domaine. Interpréter alors ce résultat géométriquement.

Exercice 2 – Quatre courbes tirées de celle de g

La fonction \(g\) est définie sur \([-3,3]\). Sa courbe est la ligne brisée qui joint les points \((-3,0)\), \((-1,2)\), \((1,-1)\) et \((3,1)\).

1. Donner le domaine de chacune des fonctions \(x \mapsto g(x-2)+1\), \(x \mapsto g(-x)\), \(x \mapsto |g(x)|\) et \(x \mapsto g(2x)\).
2. Ensuite, tracer leurs courbes en précisant les coordonnées des sommets.
3. Enfin, déterminer les abscisses des points où la courbe de \(|g|\) touche l’axe des abscisses.

Exercice 3 – Quatre dérivées de composées

Justifier la dérivabilité, puis calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué :

1. \(u(x)=(1+x^2)^x\) sur \(\mathbb{R}\) ;
2. \(v(x)=\mathrm{Arctan}(e^{2x})\) sur \(\mathbb{R}\), en simplifiant le résultat à l’aide de ch ;
3. \(w(x)=\ln\big(\mathrm{ch}(3x)\big)\) sur \(\mathbb{R}\) ;
4. \(z(x)=\mathrm{Arccos}(1/x)\) sur \(]1,+\infty[\).

Exercice 4 – Valeurs exactes avec Arcsin, Arccos, Arctan

1. Calculer \(\mathrm{Arcsin}\big(\sin\frac{5\pi}{7}\big)\), \(\mathrm{Arccos}\big(\cos\big(-\frac{9\pi}{5}\big)\big)\), \(\mathrm{Arctan}\big(\tan\frac{13\pi}{8}\big)\) et \(\mathrm{Arcsin}\big(\sin\frac{19\pi}{6}\big)\).
2. De même, calculer \(\cos(\mathrm{Arctan}\,2)\), \(\sin\big(\mathrm{Arccos}\big(-\frac{3}{5}\big)\big)\) et \(\tan\big(\mathrm{Arcsin}\,\frac{1}{3}\big)\).

Exercice 5 – Valeurs et équations hyperboliques

1. Démontrer que \(\mathrm{ch}(a+b)=\mathrm{ch}\,a\,\mathrm{ch}\,b+\mathrm{sh}\,a\,\mathrm{sh}\,b\) pour tous réels \(a\) et \(b\).
2. Ensuite, calculer \(\mathrm{ch}(\ln 3)\), \(\mathrm{sh}(\ln 3)\) et \(\mathrm{th}(\ln 3)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\mathrm{sh}\,x=\frac{3}{4}\).
4. Par ailleurs, résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\mathrm{ch}\,x=\frac{13}{12}\).

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Réciproque de x + ln x

Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\ln x\).

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Justifier que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Puis calculer \((f^{-1})^{\prime}(1)\) et \((f^{-1})^{\prime}(e+1)\).
3. Écrire ensuite la tangente à \(\mathcal{C}_{f^{-1}}\) en son point d’abscisse 1.
4. Enfin, exprimer \((f^{-1})^{\prime\prime}\) à l’aide de \(f^{\prime}\), \(f^{\prime\prime}\) et \(f^{-1}\), puis calculer \((f^{-1})^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 7 – Étude complète de x − 2 Arctan x

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-2\,\mathrm{Arctan}\,x\).

1. Étudier la parité de \(f\), puis ses variations sur \([0,+\infty[\).
2. Montrer que la droite d’équation \(y=x-\pi\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\). Préciser aussi la position relative.
3. Donner ensuite la tangente à l’origine.
4. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement une solution \(\alpha\) dans \(]0,+\infty[\), et que \(2<\alpha<3\).
5. Enfin, tracer l’allure de la courbe sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 8 – Encadrement polynomial de Arctan

1. Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\), \(\mathrm{Arctan}\,x \leqslant x\).
2. De plus, prouver l’inégalité \(x-\dfrac{x^3}{3} \leqslant \mathrm{Arctan}\,x\) sur \([0,+\infty[\).
3. Ainsi, encadrer \(\mathrm{Arctan}(0{,}1)\) entre deux décimaux distants de moins de \(4\times 10^{-4}\).
4. Enfin, établir les inégalités analogues pour \(x \leqslant 0\).

Exercice 9 – Simplifier Arccos((1 − x²)/(1 + x²))

On pose, quand cela a un sens, \(f(x)=\mathrm{Arccos}\left(\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\right)\). La figure suivante donne l’allure de sa courbe.

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\), et qu’elle est paire.
2. Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x>0\). En déduire une expression simple de \(f(x)\) pour \(x \geqslant 0\), puis pour tout réel \(x\).
3. Ensuite, retrouver ce résultat en posant \(x=\tan\theta\) avec \(\theta \in\, ]-\pi/2,\pi/2[\).
4. Enfin, la fonction \(f\) est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 10 – Équation Arctan x + Arctan 2x = π/4

On pose \(S(x)=\mathrm{Arctan}\,x+\mathrm{Arctan}(2x)\) pour \(x\) réel.

1. Étudier les variations et les limites de \(S\). En déduire que l’équation \(S(x)=\dfrac{\pi}{4}\) admet une unique solution, et qu’elle est strictement positive.
2. Déterminer alors cette solution de manière exacte.

Exercice 11 – Arctan(sh x) et 2 Arctan(e^x)

1. Montrer que pour tout réel \(x\), \(\mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}\,x)=2\,\mathrm{Arctan}(e^x)-\dfrac{\pi}{2}\).
2. En déduire les limites de \(x \mapsto \mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}\,x)\) en \(\pm\infty\), et vérifier leur cohérence.
3. Par ailleurs, établir l’inégalité \(\mathrm{ch}\,x \geqslant 1+\dfrac{x^2}{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Enfin, prouver que pour tout réel \(x\), \(\mathrm{th}(2x)=\dfrac{2\,\mathrm{th}\,x}{1+\mathrm{th}^2x}\).

Exercice 12 – Dérivée de exp(φ) et primitive de e^t cos 2t

1. On pose \(\varphi(t)=(1+2i)t\). Dériver \(t \mapsto e^{\varphi(t)}\) et en donner une primitive.
2. En déduire une primitive réelle de \(t \mapsto e^t\cos(2t)\) et une primitive de \(t \mapsto e^t\sin(2t)\). Vérifier la première en dérivant.
3. Calculer ensuite \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}e^t\cos(2t)\,\mathrm{d}t\).
4. Enfin, dériver \(\psi : t \mapsto e^{it^2}\). Calculer alors \(|\psi(t)|\) et \(|\psi^{\prime}(t)|\).

Exercice 13 – Six limites par croissances comparées

Déterminer les limites suivantes, en justifiant chaque étape :

1. \(x^3e^{-\sqrt{x}}\) quand \(x \to +\infty\) ;
2. \(x^{1/x}\) quand \(x \to +\infty\) ;
3. \(\dfrac{(\ln x)^5}{x^{0{,}1}}\) quand \(x \to +\infty\) ;
4. \(x(\ln x)^2\) quand \(x \to 0^+\) ;
5. \(\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x\) quand \(x \to +\infty\) ;
6. \(e^x-x^{100}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 14 – Une bijection de R sur ]−1, 1[

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}\).

1. Montrer que \(f\) est impaire et bornée. Est-elle majorée par un nombre strictement inférieur à 1 ?
2. Ensuite, montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. En déduire que tout réel de \(]-1,1[\) a un unique antécédent par \(f\), et donner une expression de \(f^{-1}\).
4. Enfin, étudier la dérivabilité de \(f\) en 0.

Pour approfondir

Exercice 15 – Inégalité de Bernoulli réelle et moyenne pondérée

Soit \(a\) un réel de \(]0,1[\).

1. Montrer que pour tout \(x>0\), \(x^a \leqslant 1+a(x-1)\), avec égalité si et seulement si \(x=1\).
2. En déduire que pour tous \(u>0\) et \(v>0\), \(u^av^{1-a} \leqslant au+(1-a)v\).
3. Que donne par exemple le cas \(a=\frac{1}{2}\) ?
4. Montrer en revanche que si \(a>1\), l’inégalité de la question 1 change de sens.
5. Application : montrer finalement que \(1{,}02^{0{,}3} \leqslant 1{,}006\).

Exercice 16 – Étude de Arcsin(sin x) + Arccos(cos x)

On pose \(g(x)=\mathrm{Arcsin}(\sin x)+\mathrm{Arccos}(\cos x)\) pour tout réel \(x\).

1. Montrer que \(g\) est \(2\pi\)-périodique. Est-elle paire ?
2. Donner une expression de \(g(x)\) sans fonction arc sur chacun des intervalles \([0,\pi/2]\), \([\pi/2,\pi]\), \([\pi,3\pi/2]\) et \([3\pi/2,2\pi]\).
3. Ensuite, tracer la courbe de \(g\) sur \([-2\pi,4\pi]\).
4. Déterminer alors les points de \([0,2\pi]\) où \(g\) n’est pas dérivable.
5. Enfin, résoudre l’équation \(g(x)=\dfrac{\pi}{2}\) dans \([0,2\pi]\), puis dans \(\mathbb{R}\).

Exercice 17 – Problème – Étude de ln(ch x) et de sa réciproque

On définit \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x)=\ln(\mathrm{ch}\,x)\).

1. Justifier que \(\varphi\) est définie, paire et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(\varphi^{\prime}\) et dresser le tableau de variations.
2. Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\), \(\varphi(x)=x-\ln 2+\ln\big(1+e^{-2x}\big)\). En déduire que \(|x|-\ln 2<\varphi(x) \leqslant |x|\) pour tout réel \(x\), puis les asymptotes de la courbe.
3. Montrer que \(\mathrm{th}\,x \leqslant x\) pour \(x \geqslant 0\). En déduire que \(\varphi(x) \leqslant \dfrac{x^2}{2}\) pour tout réel \(x\).
4. Soit \(\psi\) la restriction de \(\varphi\) à \([0,+\infty[\). Montrer que \(\psi\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur lui-même.
5. Pour \(y \geqslant 0\), résoudre ainsi \(\psi(x)=y\) et en déduire que \(\psi^{-1}(y)=\ln\big(e^y+\sqrt{e^{2y}-1}\big)\).
6. Calculer \((\psi^{-1})^{\prime}(y)\) pour \(y>0\) de deux façons : par la formule de la dérivée d’une réciproque, puis par l’expression explicite. La fonction \(\psi^{-1}\) est-elle dérivable en 0 ?
7. Enfin, montrer que \(\psi^{-1}(y)-y\) tend vers \(\ln 2\) quand \(y \to +\infty\). Interpréter alors ce résultat à l’aide de la question 2.

Pour aller plus loin

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