Indicatrices et variance d’une somme : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : indicatrices et variance d’une somme

Le sujet du contrôle : indicatrices et variance d’une somme

Exercice 1 – Messages d’une station météo (3 points)

Une station météo isolée envoie chaque jour 12 messages vers un satellite. Chaque message a trois chances sur quatre d’arriver, et les transmissions n’interfèrent pas entre elles. Le diagramme représente alors la loi de la variable \(X\), égale au nombre de messages reçus un jour donné.

1. Démontrer avec soin que la loi de \(X\) est binomiale, puis en donner les deux paramètres. (1 point)
2. Donner l’espérance, la variance et l’écart type de \(X\). La barre mise en couleur sur le diagramme est-elle cohérente ? (1 point)
3. Exprimer \(P(X \geq 11)\) sous la forme \(\frac{c \times 3^{11}}{4^{12}}\), où \(c\) est un entier à déterminer. (1 point)

Exercice 2 – Deux jetons tirés sans remise (4 points)

Une boîte contient trois jetons numérotés 1, 2 et 3. Léandre tire au hasard un premier jeton, le garde, puis tire un second jeton parmi les deux restants. On note \(U\) le numéro du premier jeton et \(M\) le plus grand des deux numéros obtenus.

1. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple \((U, M)\), puis en déduire les lois marginales de \(U\) et de \(M\). (1,5 point)
2. Le couple \((U, M)\) est-il donc formé de variables indépendantes ? (0,5 point)
3. Calculer \(E(U)\), \(E(M)\) et \(E(UM)\), puis la covariance de \(U\) et de \(M\). (1,5 point)
4. Sachant que \(V(U) = \frac{2}{3}\) et \(V(M) = \frac{2}{9}\), en déduire la variance de \(U + M\). (0,5 point)

Exercice 3 – Casques rendus au hasard (4 points)

À l’entrée d’un atelier d’escalade, \(n \geq 2\) grimpeurs déposent leur casque. À la sortie, chacun en reprend un au hasard. Ainsi la permutation \(\tau\), qui envoie le grimpeur \(i\) sur le casque \(\tau(i)\), est choisie avec équiprobabilité parmi les \(n!\) permutations de \(\{1, \ldots, n\}\). On note alors \(Z\) le nombre de grimpeurs qui récupèrent leur propre casque, c’est-à-dire le nombre de points fixes de \(\tau\). La figure montre un exemple avec \(n = 5\), où \(Z = 2\).

1. Dans le cas \(n = 3\), déterminer la loi de \(Z\) en classant les six permutations. (1 point)
2. Revenons au cas général. Pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\), on note \(Y_i\) l’indicatrice de l’événement \(\tau(i) = i\). Calculer \(P(Y_i = 1)\), puis en déduire \(E(Z)\). (1 point)
3. Pour \(i \neq j\), calculer \(P(Y_i = 1, Y_j = 1)\) et la covariance de \(Y_i\) et \(Y_j\). Montrer alors que \(V(Z) = 1\). (1,5 point)
4. Majorer enfin la probabilité qu’au moins trois grimpeurs récupèrent leur propre casque. (0,5 point)

Exercice 4 – Taille d’un échantillon de diodes (3 points)

Une usine fabrique des diodes dont une proportion inconnue \(p \in \left]0, 1\right[\) est défectueuse. Pour l’estimer, Maëlys prélève \(n\) diodes ; on admet que les états des diodes sont indépendants. On note \(S_n\) le nombre de diodes défectueuses du prélèvement et \(\overline{D}_n = \frac{S_n}{n}\) leur proportion.

1. Calculer \(E\left(\overline{D}_n\right)\) et \(V\left(\overline{D}_n\right)\), puis prouver que \(V\left(\overline{D}_n\right) \leq \frac{1}{4n}\). (1 point)
2. En déduire que, pour tout réel \(\delta > 0\), on a \(P\left(\left|\overline{D}_n – p\right| \geq \delta\right) \leq \frac{1}{4n\delta^2}\). (1 point)
3. Maëlys veut que l’écart entre \(\overline{D}_n\) et \(p\) atteigne \(\frac{1}{20}\) avec une probabilité d’au plus \(\frac{1}{20}\). Quelle taille d’échantillon cette majoration garantit-elle ? (1 point)

Exercice 5 – Problème : changements dans une suite de lancers (6 points)

Fixons un entier \(n \geq 3\) et un réel \(p \in \left]0, 1\right[\). Une pièce truquée tombe sur Pile avec probabilité \(p\) ; Nadir la lance \(n\) fois, de façon indépendante. Ensuite, \(X_k\) désigne l’indicatrice de l’événement « le lancer numéro \(k\) donne Pile ».

De plus, pour \(k \in \{1, \ldots, n – 1\}\), la variable \(D_k\) vaut 1 lorsque \(X_k \neq X_{k+1}\), et 0 sinon. Ainsi \(R = D_1 + D_2 + \cdots + D_{n-1}\) compte les changements de face au cours des lancers. La figure montre une suite de neuf lancers qui comporte cinq changements.

1. Déterminer la loi de \(D_k\) et vérifier que son paramètre \(q = 2p(1 – p)\) est au plus \(\frac{1}{2}\). En déduire \(E(R)\). (1 point)
2. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple \((D_1, D_2)\) en fonction de \(p\). Calculer alors \(\mathrm{Cov}(D_1, D_2)\) et préciser pour quelle valeur de \(p\) ces deux variables sont indépendantes. (1,5 point)
3. Soient \(k\) et \(l\) deux indices avec \(l \geq k + 2\). Montrer alors que \(D_k\) et \(D_l\) sont indépendantes. (1 point)
4. Établir la formule \(V(R) = (n – 1)q(1 – q) + 2(n – 2)\,p(1 – p)(1 – 2p)^2\). (1,5 point)
5. On suppose ici \(p = \frac{1}{2}\) et \(n = 101\). Calculer \(E(R)\) et \(V(R)\), puis montrer que \(P(40 < R < 60) \geq \frac{3}{4}\). (1 point)

Réviser indicatrices et variance d’une somme avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours variables aléatoires finies, espérance et variance ; entraînez-vous sur les exercices variables aléatoires finies, espérance et variance avant de retenter le sujet.

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