Déterminants tridiagonaux et signatures : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : déterminants tridiagonaux et signatures

Le sujet du contrôle : déterminants tridiagonaux et signatures

Exercice 1 – Question de cours : le déterminant d’un produit (3 points)

Dans cet exercice, \(n \geq 1\) et toutes les matrices sont carrées d’ordre \(n\), à coefficients réels. On admet que les formes n-linéaires alternées sur \(\mathbb{R}^n\) sont exactement les multiples de \(\det\), le déterminant dans la base canonique \((e_1, \ldots, e_n)\).

1. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices. En étudiant l’application \((X_1, \ldots, X_n) \mapsto \det(AX_1, \ldots, AX_n)\), démontrer que \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\). (1,5 point)
2. En déduire que si \(A\) est inversible, alors \(\det(A) \neq 0\) et \(\det\left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)}\). (0,5 point)
3. Prouver qu’il n’existe aucune matrice réelle \(A\) d’ordre 3 telle que \(A^2 = -I_3\). Expliquer ensuite pourquoi le même argument ne s’applique pas en ordre 2. (1 point)

Exercice 2 – Une permutation de neuf éléments (4 points)

On considère la permutation \(\sigma\) de \(\{1, \ldots, 9\}\) représentée par le diagramme ci-dessous : chaque flèche relie un entier \(k\) de la ligne du haut à son image \(\sigma(k)\) sur la ligne du bas.

1. Écrire d’abord \(\sigma\) sous forme de tableau à deux lignes, puis la décomposer en produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
2. Calculer la signature \(\varepsilon(\sigma)\) et l’ordre de \(\sigma\) dans le groupe symétrique \(S_9\). (1 point)
3. Déterminer alors \(\sigma^{2027}\), sans calculer les puissances intermédiaires. (1 point)
4. Pour \(n \geq 2\), on note \(\rho_n\) la permutation de \(\{1, \ldots, n\}\) définie par \(\rho_n(i) = n + 1 – i\). Calculer sa signature de deux façons : en comptant ses inversions, puis en l’écrivant comme produit de transpositions. Pour quels entiers \(n\) la permutation \(\rho_n\) est-elle paire ? (1 point)

Exercice 3 – Un déterminant tridiagonal de taille n (4,5 points)

Pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(D_n\) le déterminant de la matrice \(T_n\) d’ordre \(n\) dont les coefficients diagonaux valent 5, ceux situés juste au-dessus de la diagonale valent 2, et ceux situés juste en dessous valent 3. Tous les autres coefficients sont nuls, comme le montre le schéma.

\[D_n = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 3 & 5 & 2 & \ddots & \vdots \\ 0 & 3 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 5 & 2 \\ 0 & \cdots & 0 & 3 & 5 \end{vmatrix}\]

1. Calculer directement \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\). (1 point)
2. Pour \(n \geq 3\), établir que \(D_n = 5D_{n-1} – 6D_{n-2}\), en développant selon la première colonne. Vérifier ensuite que la relation reste vraie pour \(n = 2\) si l’on pose \(D_0 = 1\). (1,5 point)
3. En déduire une expression de \(D_n\) en fonction de \(n\), valable pour tout \(n \geq 0\). (1,5 point)
4. Montrer enfin que \(T_n\) est inversible pour tout \(n \geq 1\). (0,5 point)

Exercice 4 – Vandermonde, interpolation et comatrice (4 points)

Pour trois réels \(a\), \(b\) et \(c\), on pose \(V(a, b, c) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}\).

1. Par des opérations sur les lignes, puis une factorisation, montrer que \(V(a, b, c) = (b – a)(c – a)(c – b)\). (1,5 point)
2. On cherche un polynôme \(P = u + vX + wX^2\) de degré au plus 2 tel que \(P(-1) = 4\), \(P(1) = 0\) et \(P(2) = 1\). Écrire ce problème comme un système linéaire de matrice \(M\), justifier qu’il a une unique solution grâce à la question 1, puis déterminer \(P\). (1 point)
3. Calculer la comatrice de \(M\), puis en déduire \(M^{-1}\). Retrouver alors les coefficients de \(P\) par un produit matriciel. (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : matrices de permutation (4,5 points)

Soit \(n \geq 2\). Pour \(\sigma \in S_n\), on note \(P_{\sigma}\) la matrice d’ordre \(n\) dont la colonne numéro \(j\) est le vecteur \(e_{\sigma(j)}\) de la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), pour tout \(j\). On note aussi \(c\) le cycle \((1\; 2\; \cdots\; n)\), qui envoie \(k\) sur \(k + 1\) pour \(k < n\), et \(n\) sur 1.

Partie A : un morphisme vers les matrices inversibles

1. Montrer que \(P_{\sigma}P_{\tau} = P_{\sigma \circ \tau}\) pour toutes permutations \(\sigma\) et \(\tau\). En déduire que \(P_{\sigma}\) est inversible et que \(\sigma \mapsto P_{\sigma}\) est un morphisme de groupes de \(S_n\) dans \(GL_n(\mathbb{R})\). (1 point)
2. Calculer \(\det(P_{\tau})\) lorsque \(\tau\) est une transposition. Établir ensuite que \(\det(P_{\sigma}) = \varepsilon(\sigma)\) pour toute permutation \(\sigma\). (1 point)

Partie B : le cycle de longueur n

1. Pour \(t\) réel, on pose \(\Delta_n(t) = \det(I_n – tP_c)\). Écrire la matrice \(I_n – tP_c\), puis montrer, en développant selon la première ligne, que \(\Delta_n(t) = 1 – t^n\). Retrouver ainsi \(\varepsilon(c)\) en comparant les termes de plus haut degré. (1,5 point)
2. Pour quelles valeurs de \(t\) la matrice \(I_n – tP_c\) est-elle inversible ? Lorsque \(t = 1\), donner un vecteur non nul de son noyau, puis interpréter ce vecteur à l’aide de \(c\). (1 point)

Réviser déterminants tridiagonaux et signatures avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours déterminant ; entraînez-vous sur les exercices déterminant avant de retenter le sujet.

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