Changement de base et trace en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \(u\in\mathcal{L}(E,F)\). La matrice de \(u\) dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\) est la matrice \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) dont la \(j\)-ième colonne contient les coordonnées de \(u(e_j)\) dans \(\mathcal{C}\). Autrement dit, son coefficient \(a_{ij}\) vérifie \(u(e_j)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}f_i\). Pour un endomorphisme, on prend la même base au départ et à l’arrivée, et on note \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\).

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), muni de la base canonique \((1,X,X^2)\), considérons \(T(P)=P(X+1)-P^{\prime}\). D’abord, \(T(1)=1\). Ensuite, \(T(X)=X+1-1=X\). Enfin, \(T(X^2)=(X+1)^2-2X=X^2+1\). On place ces coordonnées en colonnes :

\[\mathrm{Mat}(T)=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.\]

Cette matrice est triangulaire à diagonale non nulle. Donc \(T\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\).

L’application \(\Phi:\mathcal{L}(E,F)\to\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(u\mapsto\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\), est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, \(\dim\mathcal{L}(E,F)=np=\dim E\times\dim F\).

La linéarité vient de l’unicité des coordonnées : la colonne \(j\) de \(\lambda u+v\) est \(\lambda\) fois celle de \(u\) plus celle de \(v\). Ensuite, \(\Phi\) est bijective. En effet, une matrice \(A\) étant donnée, il existe une unique application linéaire qui envoie chaque \(e_j\) sur le vecteur de coordonnées la colonne \(j\) de \(A\). C’est le théorème de prolongement des applications linéaires définies sur une base. Enfin, \(\dim\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})=np\).

Soit \(G\) un troisième espace muni d’une base \(\mathcal{D}\), \(u\in\mathcal{L}(E,F)\) et \(v\in\mathcal{L}(F,G)\). Alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{D}}(v\circ u)=\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{D}}(v)\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\). De plus, si \(\dim E=\dim F\), \(u\) est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible, et alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(u^{-1})=\left(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\right)^{-1}\).

Le noyau de \(A\) est \(\operatorname{Ker}A=\{X\in\mathbb{K}^p,\ AX=0\}\). Son image \(\operatorname{Im}A=\{AX,\ X\in\mathbb{K}^p\}\) est le sous-espace de \(\mathbb{K}^n\) engendré par les colonnes de \(A\). Le rang de \(A\) est \(\operatorname{rg}A=\dim\operatorname{Im}A\), c’est-à-dire le rang de la famille de ses colonnes.

1. Choisir un pivot non nul, si possible égal à \(1\) ou \(-1\), et l’amener en haut à gauche par échange.
2. Annuler les coefficients sous le pivot avec des opérations \(L_i\leftarrow L_i-\lambda L_1\).
3. Recommencer sur la sous-matrice restante, sans plus toucher à la première ligne.
4. Compter les pivots non nuls de la forme échelonnée obtenue : c’est le rang.

Prenons \(M=\begin{pmatrix}1&-1&2&0\\2&1&1&3\\1&5&-4&6\end{pmatrix}\). D’abord, \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3-L_1\) donnent les lignes \((0,3,-3,3)\) et \((0,6,-6,6)\). Ensuite, \(L_3\leftarrow L_3-2L_2\) annule la troisième ligne. Il reste deux pivots, donc \(\operatorname{rg}M=2\). Par conséquent, le noyau de \(M\) est de dimension \(4-2=2\).

Pour \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), les propriétés suivantes sont équivalentes : \(A\) est inversible ; \(\operatorname{Ker}A=\{0\}\) ; \(\operatorname{rg}A=n\) ; les colonnes de \(A\) forment une base de \(\mathbb{K}^n\).

Un système linéaire \(AX=B\) de \(n\) équations à \(n\) inconnues est dit de Cramer lorsque \(A\) est inversible. Il admet alors une unique solution, à savoir \(X=A^{-1}B\), quel que soit le second membre \(B\).

Considérons le système \(x+\lambda y=1\), \(\lambda x+4y=2\), avec \(\lambda\) réel. L’opération \(L_2\leftarrow L_2-\lambda L_1\) donne \((4-\lambda^2)y=2-\lambda\). Donc la matrice est de rang 2 si et seulement si \(\lambda^2\neq4\). Dans ce cas, le système est de Cramer et \(y=\frac{1}{2+\lambda}\), puis \(x=1-\lambda y=\frac{2}{2+\lambda}\). En revanche, pour \(\lambda=2\), il reste une infinité de solutions ; pour \(\lambda=-2\), aucune.

Soit \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) deux bases de \(E\). On appelle matrice de passage de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{B}^{\prime}\), et l’on note \(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\), le tableau carré obtenu en écrivant en colonne \(j\) le \(j\)-ième nouveau vecteur, exprimé dans l’ancienne base \(\mathcal{B}\). Autrement dit, \(P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime},\mathcal{B}}(\operatorname{id}_E)\).

Notons \(P=P_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}\). Si \(x\) a pour coordonnées \(X\) dans \(\mathcal{B}\) et \(X^{\prime}\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\), alors \(X=PX^{\prime}\). Si \(u\in\mathcal{L}(E)\) a pour matrices \(A\) dans \(\mathcal{B}\) et \(A^{\prime}\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\), alors

\[A^{\prime}=P^{-1}AP.\]

Plus généralement, pour \(u\in\mathcal{L}(E,F)\), avec \(Q\) la matrice de passage de \(\mathcal{C}\) à \(\mathcal{C}^{\prime}\) dans \(F\), on a \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime},\mathcal{C}^{\prime}}(u)=Q^{-1}\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\,P\).

On écrit \(u=\operatorname{id}_F\circ u\circ\operatorname{id}_E\) en lisant les bases de droite à gauche : \(\mathcal{B}^{\prime}\to\mathcal{B}\to\mathcal{C}\to\mathcal{C}^{\prime}\). La propriété de la composée donne alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{C}^{\prime}}(\operatorname{id}_F)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime},\mathcal{B}}(\operatorname{id}_E)\). Or le premier facteur vaut \(Q^{-1}\) et le dernier vaut \(P\). Enfin, la relation \(X=PX^{\prime}\) est le cas \(u=\operatorname{id}_E\) appliqué à une colonne.

1. Repérer les vecteurs dont l’image est simple : vecteurs fixes, vecteurs envoyés sur leur opposé, vecteurs du noyau.
2. Vérifier qu’ils forment une base, par exemple en calculant le rang de la matrice qu’ils forment.
3. Écrire la matrice \(A^{\prime}\) dans cette base, qui se lit directement.
4. Revenir à la base de départ par \(A=PA^{\prime}P^{-1}\), en écrivant \(P\) avec les nouveaux vecteurs en colonnes.

Soit \(s\) la symétrie de \(\mathbb{R}^2\) par rapport à \(D=\operatorname{Vect}(1,2)\) parallèlement à \(\Delta=\operatorname{Vect}(1,-1)\). Dans la base adaptée \(\mathcal{B}^{\prime}=((1,2),(1,-1))\), la matrice de \(s\) est \(\operatorname{diag}(1,-1)\). Ensuite, \(P=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}\) a pour inverse \(\frac{1}{3}P\), car \(P^2=3I_2\). Par conséquent :

\[\mathrm{Mat}(s)=P\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\frac{1}{3}P=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1&2\\4&1\end{pmatrix}.\]

Enfin, on contrôle le résultat : cette matrice envoie \((1,2)\) sur lui-même et \((1,-1)\) sur \((-1,1)\).

Deux matrices \(A,B\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) sont équivalentes s’il existe \(Q\in GL_n(\mathbb{K})\) et \(P\in GL_p(\mathbb{K})\) telles que \(B=QAP\). Pour un entier \(r\leqslant\min(n,p)\), la notation \(J_r\) désigne la matrice de taille \(n\times p\) qui porte des \(1\) aux places \((1,1),\dots,(r,r)\) et des zéros partout ailleurs.

Soit \(A\) une matrice de taille \(n\times p\). Elle a pour rang \(r\) exactement lorsqu’elle est équivalente à \(J_r\). Ainsi, pour des matrices de même format, l’équivalence se résume à l’égalité des rangs.

Soit \(u\) l’application canoniquement associée à \(A\), de rang \(r\). D’abord, on choisit un supplémentaire \(S\) de \(\operatorname{Ker}u\) dans \(\mathbb{K}^p\), de base \((e_1,\dots,e_r)\), que l’on complète par une base \((e_{r+1},\dots,e_p)\) du noyau. Ensuite, la restriction de \(u\) à \(S\) est injective, donc la famille \((u(e_1),\dots,u(e_r))\) est libre. On la complète en une base \(\mathcal{C}^{\prime}\) de \(\mathbb{K}^n\). Dans ces bases, la matrice de \(u\) est exactement \(J_r\). Réciproquement, multiplier par des matrices inversibles conserve le rang, et \(\operatorname{rg}J_r=r\).

Pour toute matrice \(A\), \(\operatorname{rg}(A^{\mathsf{T}})=\operatorname{rg}A\). Ainsi, le rang de \(A\) est aussi le rang de la famille de ses lignes.

Écrivons \(A=QJ_rP\) avec \(P\) et \(Q\) inversibles. Alors \(A^{\mathsf{T}}=P^{\mathsf{T}}J_r^{\mathsf{T}}Q^{\mathsf{T}}\). Or les transposées de matrices inversibles sont inversibles, et \(J_r^{\mathsf{T}}\) est la matrice \(J_r\) de taille \(p\times n\), de rang \(r\). Donc \(\operatorname{rg}(A^{\mathsf{T}})=r\).

Le rang d’une matrice extraite de \(A\) est inférieur ou égal au rang de \(A\). De plus, \(\operatorname{rg}A\) est la taille maximale d’une matrice carrée inversible extraite de \(A\).

Pour montrer que \(\operatorname{rg}A\geqslant2\), il suffit d’exhiber deux lignes et deux colonnes formant un bloc \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) avec \(ad-bc\neq0\). Ensuite, une relation entre les lignes restantes fournit souvent l’inégalité inverse.

On dit que \(B\) est semblable à \(A\), pour deux matrices carrées d’ordre \(n\), lorsque \(B=P^{-1}AP\) pour une certaine \(P\in GL_n(\mathbb{K})\). Concrètement, \(A\) et \(B\) représentent le même endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) dans deux bases.

Pour une matrice carrée \(A=(a_{ij})\) d’ordre \(n\), on additionne les coefficients situés sur la diagonale : \(\mathrm{tr}A=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\). Ce nombre est la trace de \(A\), et l’application ainsi obtenue est linéaire de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) dans \(\mathbb{K}\).

Pour \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B\in\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\), on a \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\). En conséquence, deux matrices semblables ont la même trace.

Le coefficient diagonal d’indice \(i\) de \(AB\) vaut \(\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{ki}\). Donc \(\mathrm{tr}(AB)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{ki}\). On échange les deux sommes finies et l’on reconnaît \(\sum_{k=1}^{p}(BA)_{kk}\). Ensuite, pour \(B=P^{-1}AP\), on applique l’égalité aux matrices \(P^{-1}A\) et \(P\) : \(\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}(PP^{-1}A)=\mathrm{tr}A\).

La trace ne suffit pas à reconnaître des matrices semblables. Par exemple, \(I_2\) et \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) ont la même trace et le même rang. Pourtant, la seule matrice semblable à \(I_2\) est \(P^{-1}I_2P=I_2\). De plus, l’égalité ne s’étend pas à trois facteurs permutés au hasard. Avec les matrices élémentaires, \(\mathrm{tr}(E_{12}E_{21}E_{11})=1\) alors que \(\mathrm{tr}(E_{12}E_{11}E_{21})=0\).

Calculons la trace de \(\delta:P\mapsto XP^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\). D’abord, on remarque que \(\delta(X^k)=kX^k\) pour tout \(k\in\{0,\dots,n\}\). Ainsi, la matrice de \(\delta\) dans la base canonique est diagonale, de coefficients \(0,1,\dots,n\). Par conséquent, sa trace vaut \(0+1+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). De même, l’endomorphisme \(T\) de la première partie a pour trace \(1+1+1=3\). Enfin, ce résultat ne dépend d’aucun choix : dans une autre base, la matrice change, mais sa trace reste la même.

Si \(p\) est un projecteur de \(E\), alors \(\mathrm{tr}p=\operatorname{rg}p\).

Pour un projecteur, l’image et le noyau sont supplémentaires dans \(E\). On concatène une base de \(\operatorname{Im}p\), de cardinal \(r=\operatorname{rg}p\), et une base de \(\operatorname{Ker}p\). Or \(p\) fixe chaque vecteur de l’image et annule chaque vecteur du noyau. Donc sa matrice dans cette base est \(\operatorname{diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)\) avec \(r\) fois le coefficient \(1\). Sa trace vaut \(r\), et la trace ne dépend pas de la base.

La trace sert surtout à prouver des impossibilités. Par exemple, aucune matrice ne vérifie \(AB-BA=I_n\), car le membre de gauche est de trace nulle et le membre de droite de trace \(n\).

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