Sous-espaces et supplémentaires en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Reconnaître un sous-espace de R^3

Dire, en le justifiant, lesquelles des parties suivantes de \(\mathbb{R}^3\) sont des sous-espaces vectoriels.

1. \(A = \{(x, y, z) : 2x – y + 5z = 0\}\).
2. \(B = \{(x, y, z) : x + y + z = 1\}\).
3. \(C = \{(x, y, z) : x^2 = y^2\}\).
4. \(D = \{(x, y, z) : x = 2y \text{ et } z = -y\}\). Décrire \(D\) comme un Vect.

Exercice 2 – Un vecteur est-il combinaison des deux autres ?

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u = (1, 2, 0)\) et \(v = (-1, 1, -2)\).

1. Le vecteur \(w = (1, 7, -4)\) est-il combinaison linéaire de \(u\) et \(v\) ?
2. Pour quelle valeur du réel \(m\) le vecteur \((1, m, -4)\) appartient-il à \(\mathrm{Vect}(u, v)\) ?
3. Donner une équation de \(\mathrm{Vect}(u, v)\) sous la forme \(\alpha x + \beta y + \gamma z = 0\).

Exercice 3 – Parties remarquables de R[X]

Lesquelles des parties suivantes de \(\mathbb{R}[X]\) sont des sous-espaces vectoriels ?

1. \(F = \{P : P(2) = 0\}\).
2. \(G = \{P : P(0) = P^{\prime}(0)\}\).
3. \(H\), l’ensemble des polynômes de degré exactement 3.
4. \(K = \{P : P(1) \geqslant 0\}\).

Exercice 4 – Ensembles de fonctions réelles

On travaille dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\). Étudier si chacune des parties suivantes est un sous-espace.

1. L’ensemble des fonctions \(f\) telles que \(f(3) = 2f(1)\).
2. L’ensemble des fonctions bornées.
3. L’ensemble des fonctions monotones.
4. L’ensemble des fonctions \(2\pi\)-périodiques.

Exercice 5 – Du Vect à l’équation cartésienne

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(F = \mathrm{Vect}\bigl((1, -1, 0), (0, 2, 1)\bigr)\) et \(G = \{(x, y, z) : 3x – y + 2z = 0\}\).

1. Trouver une équation cartésienne de \(F\).
2. Montrer que \((3, 1, 2) \in F\) et l’écrire comme combinaison des deux vecteurs qui engendrent \(F\).
3. Écrire \(G\) comme le Vect de deux vecteurs.
4. Déterminer \(F \cap G\).

Exercice 6 – Un plan et une droite de R^3

Soit \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}\bigl((1, 1, 1)\bigr)\).

1. Justifier que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces, puis calculer \(F \cap G\).
2. Décomposer \((2, -1, 5)\) en somme d’un vecteur de \(F\) et d’un vecteur de \(G\).
3. Prouver que \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).

La figure représente le plan \(F\) et la droite \(G\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Réunion de deux sous-espaces

Soit \(F\) et \(G\) deux sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\).

1. Prouver que \(F \cup G\) est un sous-espace si et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\).
2. En déduire qu’un espace vectoriel n’est jamais la réunion de deux sous-espaces distincts de lui-même.
3. Illustrer la question 1 avec deux droites distinctes de \(\mathbb{R}^2\), en donnant deux vecteurs explicites.

Exercice 8 – Matrices symétriques et antisymétriques

Soit \(n \geqslant 1\). On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(M^{T} = M\), et \(\mathcal{A}_n\) celui des matrices telles que \(M^{T} = -M\).

1. Montrer que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont des sous-espaces de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2. Calculer \(\mathcal{S}_n \cap \mathcal{A}_n\).
3. Par analyse-synthèse, établir que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n\).
4. Décomposer la matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \\ 6 & 5 & 2 \end{pmatrix}\).

Exercice 9 – Suites arithmétiques et suites nulles au départ

Dans \(E = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), on note \(F\) l’ensemble des suites \(u\) telles que \(u_0 = u_1 = 0\), et \(G\) l’ensemble des suites arithmétiques.

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(E\).
2. Établir que \(E = F \oplus G\).
3. Décomposer la suite \(u\) définie par \(u_n = n^2\).
4. L’ensemble des suites géométriques est-il un sous-espace de \(E\) ?

Exercice 10 – Division euclidienne et supplémentaire de R_2[X]

Soit \(A = X^3 – X\). On note \(F\) l’ensemble des polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) divisibles par \(A\).

1. Montrer que \(F\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}[X]\), et que \(F = \{P : P(-1) = P(0) = P(1) = 0\}\).
2. Montrer que \(F \cap \mathbb{R}_2[X] = \{0\}\).
3. À l’aide de la division euclidienne par \(A\), montrer que \(\mathbb{R}[X] = F \oplus \mathbb{R}_2[X]\).
4. Décomposer \(X^5\) suivant cette somme directe.

Exercice 11 – Trois droites de R^3

Dans \(\mathbb{R}^3\), on note \(e_1 = (1,0,0)\), \(e_2 = (0,1,0)\), \(e_3 = (0,0,1)\), puis \(D_1 = \mathrm{Vect}(e_1)\), \(D_2 = \mathrm{Vect}(e_2)\), \(D_3 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2 + e_3)\) et \(D_4 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2)\).

1. Montrer que la somme \(D_1 + D_2 + D_3\) est directe et qu’elle vaut \(\mathbb{R}^3\).
2. Vérifier que les intersections deux à deux de \(D_1\), \(D_2\), \(D_4\) sont réduites à \(\{0\}\).
3. Montrer pourtant que \(D_1 + D_2 + D_4\) n’est pas directe, et identifier ce sous-espace.

Exercice 12 – Solutions d’une équation différentielle linéaire

Soit \(S\) l’ensemble des fonctions \(y\) de classe C2 sur \(\mathbb{R}\) telles que \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 0\).

1. Montrer que \(S\) est un sous-espace de \(\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
2. Rappeler pourquoi \(S = \mathrm{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)\), où \(\varphi_1(x) = e^x\) et \(\varphi_2(x) = e^{2x}\).
3. L’ensemble \(T\) des solutions de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 1\) est-il un sous-espace ? Exprimer \(T\) à l’aide de \(S\).
4. Déterminer \(S \cap \{y : y(0) = 0\}\), puis \(S \cap \{y : y(0) = y^{\prime}(0) = 0\}\).

Exercice 13 – Deux familles qui engendrent le même sous-espace

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(u_1 = (1, 0, 1, 2)\), \(u_2 = (0, 1, 1, -1)\), \(v_1 = (1, 1, 2, 1)\), \(v_2 = (1, -2, -1, 4)\).

1. Montrer que \(\mathrm{Vect}(v_1, v_2) \subset \mathrm{Vect}(u_1, u_2)\).
2. Exprimer \(u_1\) et \(u_2\) à l’aide de \(v_1\) et \(v_2\), puis conclure à l’égalité des deux Vect.
3. Trouver deux équations qui décrivent \(F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)\).
4. Le vecteur \((2, 3, 5, 1)\) appartient-il à \(F\) ?

Exercice 14 – Une décomposition de M_2(R)

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on considère \(F = \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} : a, b \in \mathbb{R}\right\}\) et \(G = \left\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} : c, d \in \mathbb{R}\right\}\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Établir que \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = F \oplus G\).
3. Décomposer \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}\).
4. Soit \(H\) l’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}\). La somme \(F + H\) est-elle directe ? Vaut-elle \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?

Le schéma rappelle la forme des matrices de \(F\) et de \(G\).

Pour approfondir

Exercice 15 – Produit d’espaces vectoriels et diagonale

Soit \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels.

1. Vérifier, pour les lois composante par composante, que \(E \times F\) possède un neutre, que chaque élément a un opposé, et que \(\lambda(z + z^{\prime}) = \lambda z + \lambda z^{\prime}\).
2. Soit \(E_1\) un sous-espace de \(E\) et \(F_1\) un sous-espace de \(F\). Montrer que \(E_1 \times F_1\) est un sous-espace de \(E \times F\).
3. Dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), on note \(\Delta = \{(x, x) : x \in \mathbb{R}\}\). Montrer que \(\Delta\) est un sous-espace, mais qu’il n’est pas de la forme \(E_1 \times F_1\).
4. Montrer que \(E \times E = \Delta_E \oplus (E \times \{0_E\})\), où \(\Delta_E = \{(x, x) : x \in E\}\).
5. On note \(\Delta^{\prime}_E = \{(x, -x) : x \in E\}\). Montrer que \(E \times E = \Delta_E \oplus \Delta^{\prime}_E\).

Exercice 16 – Réunion croissante de sous-espaces

Soit \((F_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de sous-espaces de \(E\), croissante pour l’inclusion : \(F_n \subset F_{n+1}\) pour tout \(n\). On pose \(U = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n\).

1. Montrer que \(U\) est un sous-espace de \(E\).
2. Exemple : vérifier que \(\mathbb{K}[X] = \bigcup_{n} \mathbb{K}_n[X]\).
3. Dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), soit \(N_n\) l’ensemble des suites \(u\) telles que \(u_k = 0\) dès que \(k \geqslant n\), et \(N\) la réunion des \(N_n\) : ce sont les suites qui finissent par s’annuler. Prouver que \(N\) est un sous-espace.
4. Pour \(k \in \mathbb{N}\), on désigne par \(\delta^{(k)}\) la suite qui vaut 1 au rang \(k\) et 0 partout ailleurs. Prouver que \(N = \mathrm{Vect}\bigl(\{\delta^{(k)} : k \in \mathbb{N}\}\bigr)\).
5. En déduire que la suite constante égale à 1 n’est pas combinaison linéaire des \(\delta^{(k)}\).

Exercice 17 – Problème : suites 3-périodiques

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u\) vérifiant \(u_{n+3} = u_n\) quel que soit l’entier \(n\).

Partie A.

1. Montrer que \(E\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
2. On note \(a\), \(b\), \(c\) les suites de \(E\) dont les trois premiers termes valent respectivement \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) et \((0, 0, 1)\). Montrer que \(E = \mathrm{Vect}(a, b, c)\).

Partie B. On note \(C\) l’ensemble des suites constantes et \(Z = \{u \in E : u_0 + u_1 + u_2 = 0\}\).

3. Montrer que \(C\) et \(Z\) sont des sous-espaces de \(E\).
4. Par analyse-synthèse, montrer que \(E = C \oplus Z\).
5. Décomposer la suite \(u = (4, -1, 3, 4, -1, 3, \dots)\).

Partie C. On note \(Z^{\prime} = \{u \in E : u_0 = 0\}\).

6. Montrer que \(E = C \oplus Z^{\prime}\). Que peut-on en conclure sur l’unicité d’un supplémentaire ?
7. Déterminer \(Z \cap Z^{\prime}\) sous la forme d’un Vect.
8. La somme \(C + Z + Z^{\prime}\) est-elle directe ?

Pour aller plus loin

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