Quantificateurs et raisonnements en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Traduire puis nier des phrases sur une suite

Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. Pour chacune des phrases suivantes, écrire une assertion quantifiée qui la traduit. Écrire ensuite sa négation, en symboles puis en français.

1. À partir d’un certain rang, tous les termes de la suite appartiennent à \([1, 3]\).
2. La suite prend au moins une fois une valeur strictement négative.
3. La suite ne prend jamais deux fois la même valeur.
4. Chaque terme est inférieur ou égal à la somme des deux termes qui le suivent.

Exercice 2 – Ordre des quantificateurs autour d’une parabole

Pour deux réels \(x\) et \(y\), on note \(P(x, y)\) le prédicat « \(y^2 – x \geq 2\) ». La figure représente l’ensemble des points \((x, y)\) du plan qui le vérifient.

Déterminer, en justifiant, la valeur de vérité de chacune des assertions suivantes.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ P(x, y)\).
2. \(\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ P(x, y)\).
3. \(\forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ P(x, y)\).
4. \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ P(x, y)\).

Exercice 3 – Réciproques et contraposées de trois implications

Pour chacune des implications suivantes, écrire sa réciproque et sa contraposée. Donner ensuite la valeur de vérité de ces trois assertions, avec une preuve ou un contre-exemple.

1. Pour tout entier relatif \(n\) : si \(n\) est multiple de \(6\), alors \(n^2\) est multiple de \(4\).
2. Pour tout réel \(x\) : si \(x^2 > 9\), alors \(x > 3\).
3. Pour tout réel \(x\) : si \(|x – 1| < 2\), alors \(x < 3\).

Exercice 4 – Conditions nécessaires ou suffisantes sur un réel

Dans chaque cas, \(x\) désigne un réel. Dire si \(P\) est une condition nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante, ou ni l’un ni l’autre pour \(Q\). Justifier chaque réponse.

1. \(P\) : « \(x \geq 1\) » et \(Q\) : « \(x^2 \geq x\) ».
2. \(P\) : « \(x^3 = -27\) » et \(Q\) : « \(x = -3\) ».
3. \(P\) : « \(x^2 = 2x\) » et \(Q\) : « \(x = 2\) ».
4. \(P\) : « \(x > 0\) » et \(Q\) : « \(x^2 > 1\) ».

Exercice 5 – Disjonction des cas avec parité et valeurs absolues

1. Montrer que, pour tout entier relatif \(n\), l’entier \(n^2 + 3n + 5\) est impair.
2. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(|x – 2| + |x + 1| \geq 3\).
3. Déterminer l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels cette inégalité est une égalité.

Exercice 6 – Contraposée et produit de deux facteurs impairs

1. Soit \(n\) un entier relatif. Factoriser \(n^2 – 6n + 5\).
2. Montrer par contraposition que si \(n^2 – 6n + 5\) est pair, alors \(n\) est impair.
3. Soit \(x\) un réel. Montrer par contraposition que si \(x\) est irrationnel, alors \(3x – 2\) est irrationnel.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Trois résultats d’impossibilité par l’absurde

1. Montrer que le réel \(\log_2(5)\) est irrationnel.
2. Montrer qu’il n’existe aucun couple \((a, b)\) d’entiers relatifs tel que \(14a + 21b = 5\).
3. Montrer qu’il n’existe aucun rationnel \(r\) tel que \(r^3 = 2\).

Exercice 8 – Suites d’entiers naturels décroissantes

1. Soit \((u_n)\) une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Montrer par récurrence que \(u_n \leq u_0 – n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. En déduire par l’absurde qu’une telle suite n’existe pas.
3. Écrire avec des quantificateurs l’assertion « la suite \((v_n)\) est stationnaire ».
4. Soit \((v_n)\) une suite décroissante d’entiers naturels. En considérant la plus petite valeur prise par la suite, montrer que \((v_n)\) est stationnaire.

Exercice 9 – Comparaison de 3 puissance n et n au cube

1. Vérifier que \(3^n \geq n^3\) pour \(n \in \{0, 1, 2, 3\}\).
2. Montrer que, pour tout entier \(n \geq 3\), on a \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \leq 3\).
3. Montrer par récurrence que \(3^n \geq n^3\) pour tout entier \(n \geq 3\).
4. Conclure que l’inégalité vaut pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 10 – Somme pondérée par des puissances de 3

Pour \(n \geq 1\), on pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k – 1)\, 3^k\).

1. Calculer \(S_1\), \(S_2\) et \(S_3\).
2. Montrer par récurrence que \(S_n = (n – 1)\, 3^{n+1} + 3\) pour tout \(n \geq 1\).
3. En déduire que, pour tout \(n \geq 2\), l’entier \(S_n – 3\) est divisible par \(27\).

Exercice 11 – Suite récurrente double et parité de ses termes

On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 2\), \(u_1 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\).

1. Calculer \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\) et \(u_5\).
2. Montrer par récurrence double que \(u_n = 3^n + (-2)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. En déduire que \(u_n\) est impair pour tout \(n \geq 1\).
4. Montrer que \(u_n > 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 12 – Entiers écrits avec des 3 et des 7

On dit qu’un entier naturel \(n\) est représentable s’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(n = 3a + 7b\).

1. Montrer que \(11\) n’est pas représentable.
2. Montrer que \(12\), \(13\) et \(14\) sont représentables.
3. Montrer par récurrence forte que tout entier \(n \geq 12\) est représentable.
4. Expliquer pourquoi trois initialisations sont nécessaires ici.

Exercice 13 – Équation fonctionnelle liant f(x) et f(1 – x)

Déterminer, par analyse-synthèse, toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x) + 2f(1 – x) = x^2.\]

Exercice 14 – Partie affine et reste nul en 0 et en 1

1. Montrer que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de manière unique \(f = p + q\), où \(p\) est une fonction affine \(x \mapsto ax + b\) et où \(q\) vérifie \(q(0) = q(1) = 0\).
2. Déterminer \(p\) et \(q\) lorsque \(f(x) = x^3 – 2x + 1\).
3. Déterminer \(p\) et \(q\) lorsque \(f\) est la fonction exponentielle.

Exercice 15 – Fonction ni croissante ni décroissante ni injective

On considère la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^3 – 3x\), dont voici la courbe.

1. Écrire avec des quantificateurs les assertions « \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) », « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) » et « \(f\) est injective ».
2. Écrire la négation de chacune de ces trois assertions.
3. Montrer que \(f\) n’est ni croissante, ni décroissante, ni injective sur \(\mathbb{R}\).
4. Montrer en revanche que la restriction de \(f\) à \([1, +\infty[\) est injective.

Pour approfondir

Exercice 16 – Récurrence renforcée pour une somme d’inverses de cubes

Pour \(n \geq 1\), on pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}\).

1. On souhaite montrer que \(S_n \leq \frac{3}{2}\) pour tout \(n \geq 1\). Expliquer pourquoi une récurrence directe sur cette inégalité n’aboutit pas.
2. Montrer que, pour tout \(n \geq 1\), \(\dfrac{1}{(n+1)^3} \leq \dfrac{1}{2n^2} – \dfrac{1}{2(n+1)^2}\).
3. Montrer par récurrence que \(S_n \leq \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{2n^2}\) pour tout \(n \geq 1\).
4. Conclure, puis montrer que la suite \((S_n)\) est croissante.

Exercice 17 – Descente infinie et équation x² + y² = 3z²

1. Soit \(m\) un entier. Montrer que la division de \(m^2\) par \(3\) laisse un reste égal à \(0\) ou à \(1\). En déduire que si \(3\) divise \(m^2\), alors \(3\) divise \(m\).
2. Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que \(3\) divise \(x^2 + y^2\). Montrer que \(3\) divise \(x\) et \(y\).
3. Montrer par l’absurde qu’il n’existe aucun triplet \((x, y, z)\) d’entiers naturels non tous nuls tel que \(x^2 + y^2 = 3z^2\). On pourra considérer une solution pour laquelle \(z\) est le plus petit possible.
4. En déduire qu’aucun point du cercle d’équation \(x^2 + y^2 = 3\) n’a ses deux coordonnées rationnelles.

Exercice 18 – Problème : parties sans éléments consécutifs

Pour tout entier \(n \geq 1\), on note \(a_n\) le nombre de parties de \(\{1, 2, \ldots, n\}\) qui ne contiennent jamais deux entiers consécutifs. La partie vide compte parmi elles.

1. Dresser la liste de ces parties pour \(n = 1\), \(n = 2\) et \(n = 3\). En déduire \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\).
2. Soit \(n \geq 1\). En triant les parties selon la présence ou l’absence de \(n + 2\), montrer que \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\).
3. Calculer \(a_{10}\).
4. Montrer par récurrence double que, pour tout \(n \geq 1\), \(\left(\frac{3}{2}\right)^n \leq a_n \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}\).
5. Montrer par récurrence que, pour tout \(n \geq 1\), \(a_n a_{n+2} – a_{n+1}^2 = (-1)^{n+1}\).
6. En déduire que deux termes consécutifs de la suite \((a_n)\) n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\) et \(-1\).

Pour aller plus loin

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