Racines d’un polynôme et Viète en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Degré et division euclidienne

1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de \((X^2+1)^3-(X^3-X)^2\).
2. Ensuite, effectuer la division euclidienne de \(A=2X^4+X^3-3X+5\) par \(B=X^2-X+2\).
3. Enfin, vérifier le résultat en développant \(BQ+R\).

Exercice 2 – Multiplicité d’une racine par les dérivées

On considère \(P=X^4-5X^3+9X^2-7X+2\).

1. Vérifier que 1 est racine de \(P\).
2. Ensuite, déterminer la multiplicité de 1 à l’aide des dérivées successives.
3. Enfin, factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 3 – Premières relations de Viète

Soit \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les racines complexes de \(P=X^3-4X^2+X+6\).

1. Donner \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\) sans calculer les racines.
2. En déduire \(x_1^2+x_2^2+x_3^2\) et \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\).
3. Par ailleurs, vérifier que \(-1\) est racine, factoriser \(P\) et contrôler les deux résultats précédents.

Exercice 4 – Une interpolation à trois points

1. Écrire les polynômes de Lagrange \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\) associés aux abscisses 0, 1 et 3.
2. En déduire l’unique polynôme \(P\) de degré au plus 2 tel que \(P(0)=3\), \(P(1)=2\) et \(P(3)=6\).
3. Enfin, vérifier les trois conditions.

Exercice 5 – Deux factorisations dans R[X] et C[X]

1. Factoriser \(X^4-X^2-6\) en irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\).
2. De même, factoriser \(X^3+8\) dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 6 – Divisibilité par un trinôme

On cherche les réels \(a\) et \(b\) tels que \(X^2-X-2\) divise \(P=X^4+aX^2+bX-4\).

1. Factoriser \(X^2-X-2\).
2. Traduire la divisibilité par deux équations, puis déterminer \(a\) et \(b\).
3. Enfin, calculer le quotient de \(P\) par \(X^2-X-2\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Restes de divisions de X^n

Soit \(n\geqslant 1\).

1. Déterminer le reste de la division de \(X^n\) par \(X^2-3X+2\).
2. Ensuite, déterminer le reste de la division de \(X^n\) par \((X-2)^2\), en dérivant l’égalité de division.
3. Vérifier ce dernier résultat pour \(n=1\) et \(n=2\).

Exercice 8 – Un système symétrique résolu par Viète

Résoudre dans \(\mathbb{C}^3\) le système \[\begin{cases} x+y+z=2\\ xy+yz+zx=-5\\ xyz=-6\end{cases}\]

Exercice 9 – Paramètre donnant une racine double

Pour \(\lambda\) réel, on pose \(P_\lambda=X^3-12X+\lambda\). La figure montre le graphe de \(P_\lambda\) pour plusieurs valeurs de \(\lambda\).

1. Montrer que \(P_\lambda\) a une racine multiple si et seulement si \(P_\lambda\) et \(P_\lambda^{\prime}\) ont une racine commune.
2. Déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(P_\lambda\) a une racine double.
3. Dans chaque cas, factoriser \(P_\lambda\).

Exercice 10 – Formule de Taylor en 1

Soit \(P=X^3+2X^2-X+4\).

1. Écrire \(P\) suivant les puissances de \(X-1\).
2. En déduire, sans division, le reste de \(P\) dans la division par \((X-1)^2\).
3. Enfin, factoriser \(P-6X\).

Exercice 11 – Propriétés des polynômes de Lagrange

Soit \(n\geqslant 1\), des réels \(a_0,\dots,a_n\) deux à deux distincts et \(L_0,\dots,L_n\) les polynômes de Lagrange associés.

1. Montrer que \(\sum_{i=0}^{n}L_i=1\).
2. Montrer de même que \(\sum_{i=0}^{n}a_iL_i=X\).
3. Expliciter \(L_0\), \(L_1\), \(L_2\) pour les abscisses 0, 1, 2 et vérifier directement la première identité.

Exercice 12 – Factoriser X^6 – 1 et X^6 + 1

1. Déterminer les racines complexes de \(X^6-1\), puis le factoriser dans \(\mathbb{C}[X]\) et dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. De même, factoriser \(X^6+1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
3. Vérifier que \((X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1)=X^4-X^2+1\).

Exercice 13 – Sommes de puissances des racines

Soit \(p\) et \(q\) deux complexes, et \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les racines de \(X^3+pX+q\).

1. Exprimer \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\) puis \(S_2=x_1^2+x_2^2+x_3^2\) en fonction de \(p\) et \(q\).
2. En utilisant \(x_i^3=-px_i-q\), calculer \(S_3=\sum x_i^3\), puis \(S_4=\sum x_i^4\).
3. Vérifier les trois formules sur \(X^3-7X+6\), dont 1 est racine.

Exercice 14 – Racine complexe d’un polynôme réel

Soit \(P=X^4-4X^3+9X^2-10X+6\).

1. Vérifier que \(1+i\) est racine de \(P\).
2. Justifier que \(1-i\) est aussi racine, puis en déduire un facteur réel de degré 2 de \(P\).
3. Enfin, factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 15 – Divisibilité par X^2 + 1 et module

Pour \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(P_n=(X+1)^n-X^n-1\).

1. Montrer que \(X^2+1\) divise \(P_n\) si et seulement si \(P_n(i)=0\).
2. Examiner les cas \(n=0\), \(n=1\) et \(n=2\).
3. Pour \(n\geqslant 3\), comparer \(|(1+i)^n|\) et \(|i^n+1|\). Conclure.

Exercice 16 – Interpoler 2^k aux points 0, 1, 2, 3

Soit \(P\) l’unique polynôme de degré au plus 3 tel que \(P(k)=2^k\) pour \(k\in\{0,1,2,3\}\). Les quatre points sont représentés ci-dessous.

1. Pour les abscisses 0, 1, 2, 3, calculer \(L_0(4)\), \(L_1(4)\), \(L_2(4)\) et \(L_3(4)\).
2. En déduire \(P(4)\) et le comparer à \(2^4\).
3. Montrer que \(Q=1+X+\frac{X(X-1)}{2}+\frac{X(X-1)(X-2)}{6}\) convient, puis conclure que \(Q=P\).

Exercice 17 – Équation fonctionnelle P(X^2) = (X^2 + 1)P(X)

1. Soit \(P\) une solution non nulle de degré \(d\). Montrer que \(d=2\).
2. Déterminer alors toutes les solutions \(P\in\mathbb{C}[X]\).

Exercice 18 – Racines en progression arithmétique

On cherche les réels \(\lambda\) tels que les racines de \(X^3-6X^2+\lambda X-6\) soient de la forme \(r-d\), \(r\), \(r+d\).

1. À l’aide de \(\sigma_1\), déterminer \(r\).
2. En déduire la seule valeur possible de \(\lambda\).
3. Réciproquement, vérifier que cette valeur convient et donner les racines.

Pour approfondir

Exercice 19 – Problème : produit des sinus et racines de l’unité

Soit \(n\geqslant 2\) et \(\omega=e^{2i\pi/n}\).

1. Justifier que \(X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega^k)\).
2. En déduire que \(1+X+\dots+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega^k)\).
3. Évaluer en 1 et montrer que \(\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}\).
4. Évaluer en 2 et calculer \(\prod_{k=1}^{n-1}(2-\omega^k)\).
5. Vérifier la formule de la question 3 pour \(n=3\) et \(n=4\).

Exercice 20 – Problème : polynômes divisibles par leur dérivée

Dans cet exercice, \(P\in\mathbb{C}[X]\) est de degré \(n\geqslant 1\).

1. Soit \(a\) une racine de \(P\) de multiplicité \(m\). Montrer que \(a\) est racine de \(P^{\prime}\) de multiplicité \(m-1\), où la multiplicité 0 signifie « non racine ».
2. On suppose que \(P^{\prime}\) divise \(P\). Montrer qu’il existe \(b\in\mathbb{C}\) tel que \(nP=(X-b)P^{\prime}\).
3. Soit \(a\) une racine de \(P\). Montrer que \(a=b\), puis que \(P=\lambda(X-b)^n\) avec \(\lambda\neq 0\).
4. Réciproquement, vérifier que ces polynômes conviennent.

Exercice 21 – Problème : factorisation de X^{2n} – 2cos(θ)X^n + 1

Soit \(n\geqslant 1\), \(\theta\in\,]0,\pi[\) et \(P=X^{2n}-2\cos\theta\,X^n+1\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(Y^2-2\cos\theta\,Y+1=0\).
2. En déduire les \(2n\) racines de \(P\) et justifier qu’elles sont distinctes.
3. Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{C}[X]\), puis montrer que \(P=\prod_{k=0}^{n-1}\left(X^2-2\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}X+1\right)\).
4. Évaluer en 1 et en déduire que \(\sin\frac{\theta}{2}=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin\frac{\theta+2k\pi}{2n}\).

Pour aller plus loin

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