Matrices inversibles et pivot en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Produits de matrices rectangulaires

On considère les deux matrices réelles suivantes.

\[A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.\]

1. Préciser d’abord les formats de \(AB\) et de \(BA\), puis calculer ces deux produits.
2. Parmi les produits \(AA\), \(AA^{\top}\), \(A^{\top}B^{\top}\) et \(BA^{\top}\), dire lesquels existent, en donnant leur format.
3. Enfin, vérifier sur cet exemple que \((AB)^{\top} = B^{\top}A^{\top}\).

Exercice 2 – Un produit nul sans facteur nul

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(AB\) et \(BA\). Que constate-t-on ?
2. En déduire que \(A\) n’est pas inversible, en raisonnant par l’absurde.
3. Trouver ensuite une matrice \(C \neq B\) telle que \(AC = AB\).

Exercice 3 – Calculs avec les matrices élémentaires

On travaille dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) avec les matrices élémentaires \(E_{ij}\).

1. Calculer \(E_{12}E_{23}\), \(E_{23}E_{12}\) et \(E_{13}E_{31}\) à l’aide de la formule du cours.
2. Soit \(M = (m_{ij})\) quelconque. Décrire \(ME_{23}\), puis \(E_{23}M\).
3. Par ailleurs, montrer que \(N = E_{12} + E_{23}\) vérifie \(N^2 = E_{13}\) et \(N^3 = 0\).

Exercice 4 – Parties symétrique et antisymétrique

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 6 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Décomposer \(M\) en \(S + T\), où \(S\) est égale à sa transposée et \(T\) est opposée à la sienne.
2. Montrer ensuite que, pour toute matrice \(P \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), la matrice \(P^{\top}P\) est symétrique.
3. Enfin, établir qu’une matrice antisymétrique n’a que des zéros sur sa diagonale.

Exercice 5 – Premier système par le pivot

Appliquer l’algorithme du pivot au système ci-dessous, d’inconnues réelles \(x, y, z\), en nommant chaque opération élémentaire.

\[\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y – z & = & -1 \\ 2x + 5y + z & = & 0 \\ -x + y + 3z & = & 0 \end{array} \right.\]

Exercice 6 – Inverse en taille deux

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
2. Utiliser alors \(A^{-1}\) pour résoudre le système \(3x + 5y = 4\), \(x + 2y = 1\).
3. De plus, trouver un vecteur colonne non nul \(X\) tel que \(BX = 0\). Que peut-on en conclure pour \(B\) ?

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Puissances par le binôme

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(N = A – 2I_3\).

1. Calculer \(N^2\) et \(N^3\).
2. Justifier qu’on peut appliquer la formule du binôme à \(2I_3 + N\).
3. Pour tout \(m \in \mathbb{N}\), donner alors l’expression explicite de \(A^m\).
4. Enfin, vérifier le résultat pour \(m = 2\) par un calcul direct.

Exercice 8 – La matrice remplie de un

On note \(J \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\), et l’on pose \(A = I_3 + J\).

1. Montrer que \(J^2 = 3J\), puis que \(J^k = 3^{k-1}J\) pour tout \(k \geq 1\).
2. À l’aide du binôme, montrer que \(A^m = I_3 + \dfrac{4^m – 1}{3}J\) pour tout \(m \in \mathbb{N}\).
3. Vérifier ensuite que \(A^2 – 5A + 4I_3 = 0\).
4. En déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\). Comparer avec la formule de la question 2 prise pour \(m = -1\).

Exercice 9 – Inverse de I moins N

Soit \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) nilpotente, avec \(N^p = 0\) pour un certain \(p \geq 1\).

1. Calculer \((I_n – N)(I_n + N + N^2 + \cdots + N^{p-1})\). Conclure que \(I_n – N\) est inversible.
2. Montrer par ailleurs que \(N\) elle-même n’est pas inversible.
3. Application : inverser \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) sans pivot.

Exercice 10 – Système à deux paramètres

Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Résoudre, selon leurs valeurs, le système suivant d’inconnues réelles \(x, y, z\).

\[\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + 2z & = & 1 \\ 2x + 3y + 3z & = & 4 \\ x + 2y + az & = & b \end{array} \right.\]

On donnera l’ensemble des solutions dans chaque cas, et l’on interprétera géométriquement le cas d’une infinité de solutions.

Exercice 11 – Inverse d’une matrice d’ordre trois

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Par opérations élémentaires sur les lignes du tableau \((A \mid I_3)\), montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
2. Vérifier ensuite le résultat en calculant un produit.
3. Résoudre enfin le système \(AX = B\) pour \(B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Exercice 12 – Polynôme annulateur et puissances

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(A^2 – 5A + 6I_2 = 0\).
2. En déduire que \(A\) est inversible et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et \(I_2\).
3. Montrer par récurrence qu’il existe deux suites réelles \((a_m)\) et \((b_m)\) telles que \(A^m = a_m A + b_m I_2\) pour tout \(m \in \mathbb{N}\), avec \(a_{m+1} = 5a_m + b_m\) et \(b_{m+1} = -6a_m\).
4. Vérifier enfin que \(a_m = 3^m – 2^m\) et \(b_m = 3 \cdot 2^m – 2 \cdot 3^m\) conviennent.

Exercice 13 – Inverse d’une matrice triangulaire

Soit \(T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\).

1. En résolvant le système \(TX = Y\) d’inconnue \(X\), montrer que \(T\) est inversible et calculer \(T^{-1}\).
2. Observer la forme de \(T^{-1}\) et sa diagonale.
3. Plus généralement, montrer qu’une matrice triangulaire supérieure dont un coefficient diagonal est nul n’est pas inversible. On pourra chercher une solution non nulle de \(TX = 0\), en commençant par le premier coefficient diagonal nul.

Exercice 14 – Opérations élémentaires et produits

Soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}\).

1. Écrire les matrices \(P\), \(D\) et \(T\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) qui réalisent respectivement \(L_1 \leftrightarrow L_2\), \(L_3 \leftarrow 5L_3\) et \(L_2 \leftarrow L_2 – 4L_1\) par multiplication à gauche.
2. Calculer \(TM\) et vérifier qu’on obtient bien l’effet annoncé.
3. Donner ensuite \(P^{-1}\), \(D^{-1}\) et \(T^{-1}\), en interprétant chaque inverse comme une opération.
4. Enfin, décrire l’effet sur \(M\) de la multiplication à droite par \(T\).

Exercice 15 – Matrices qui commutent avec une matrice donnée

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). On cherche toutes les matrices \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telles que \(AM = MA\).

1. Écrire \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) et traduire \(AM = MA\) par un système.
2. Résoudre ce système.
3. Montrer finalement que les solutions sont exactement les matrices \(\alpha I_2 + \beta A\), avec \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Matrices qui commutent avec toutes les autres

Soit \(n \geq 2\) et \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Pour \(1 \leq i, j \leq n\), exprimer les coefficients de \(ME_{ij}\) et de \(E_{ij}M\).
2. Supposons que \(M\) commute avec toutes les matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Montrer alors que \(M = \lambda I_n\) pour un scalaire \(\lambda\).
3. On suppose seulement que \(M\) commute avec toutes les matrices de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\). Montrer que la conclusion subsiste. On pourra considérer \(I_n + E_{ij}\).

Exercice 17 – Problème : trois suites couplées par une matrice triangulaire

On définit trois suites réelles par \(x_0 = y_0 = 0\), \(z_0 = 1\) et, pour tout \(m \in \mathbb{N}\) :

\[x_{m+1} = 3x_m + y_m,\qquad y_{m+1} = 3y_m + 2z_m,\qquad z_{m+1} = 3z_m.\]

On pose \(X_m = \begin{pmatrix} x_m \\ y_m \\ z_m \end{pmatrix}\).

1. Trouver une matrice \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(X_{m+1} = AX_m\), puis montrer que \(X_m = A^m X_0\).
2. Écrire \(A = 3I_3 + N\). Calculer \(N^2\) et \(N^3\).
3. Pour tout \(m \in \mathbb{N}\), calculer \(A^m\).
4. En déduire \(x_m\), \(y_m\) et \(z_m\) en fonction de \(m\). Vérifier ensuite les valeurs pour \(m = 2\) à partir des relations de récurrence.
5. Montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\), en écrivant \(A = 3\left(I_3 + \frac{1}{3}N\right)\).
6. Vérifier que la formule de la question 3, prise pour \(m = -1\), redonne \(A^{-1}\).
7. Enfin, déterminer la limite de \(\dfrac{x_m}{m^2\,3^m}\) quand \(m \to +\infty\).

Exercice 18 – Inversibilité selon un paramètre

Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on pose \(M_{\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\).

1. Par la méthode du pivot, sans diviser par une expression qui peut s’annuler, déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(M_{\lambda}\) est inversible.
2. Pour chaque valeur exclue, résoudre le système homogène \(M_{\lambda}X = 0\).
3. Pour \(\lambda = 0\), calculer enfin \(M_0^{-1}\).

Pour aller plus loin

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