QCM : Borne supérieure et densité en maths sup (MPSI)

Réponse A.

On peut additionner deux inégalités de même sens, et seulement cela sans hypothèse supplémentaire. Soustraire membre à membre est interdit : avec \(a=b=0\), \(c=0\) et \(d=5\), on obtiendrait \(0\leqslant-5\). Multiplier exige des réels positifs, car \(-3\leqslant-1\) et \(-3\leqslant-1\) donneraient \(9\leqslant1\). Enfin, diviser cumule les deux défauts, avec en plus un risque de dénominateur nul.

Réponse C.

L’inégalité \(|2x+1|<5\) équivaut à \(-5<2x+1<5\), donc à \(-6<2x<4\), soit \(-3<x<2\). L’intervalle \(]-2,3[\) résout en fait \(|2x-1|<5\) : erreur sur le signe de la constante. Fermer en \(2\) ignore que l’inégalité est stricte, alors que \(|2\times2+1|=5\). Enfin, \(]-\infty,2[\) ne garde que la condition \(2x+1<5\) et oublie la minoration.

Réponse D.

On écrit \(u=(u+v)+(-v)\), donc \(|u|\leqslant|u+v|+|v|\). En échangeant \(u\) et \(v\), on encadre ainsi \(|u|-|v|\) entre \(\pm|u+v|\). L’inégalité dans l’autre sens échoue pour \(u=v=1\), car elle donnerait \(2\leqslant0\). Le piège \(|u|+|v|\leqslant|u+v|\) renverse l’inégalité triangulaire : \(u=1\), \(v=-1\) le contredit. Enfin, \(|u+v|\leqslant|u|-|v|\) échoue dès que \(u=0\) et \(v\neq0\).

Réponse B.

On cherche l’unique entier \(m\) tel que \(m\leqslant-3{,}5<m+1\) : c’est \(-4\), et non \(-3\). Comme \(\left\lfloor\frac72\right\rfloor=3\), la somme vaut \(-1\). La réponse \(0\) croit que la partie entière d’un opposé est l’opposé de la partie entière, ce qui revient à tronquer vers zéro. Le nombre \(1\) arrondit \(3{,}5\) à \(4\). Enfin, \(-2\) descend d’un cran de trop pour le négatif.

Réponse A.

Chaque élément est strictement inférieur à \(2\), et \(2-\frac3n\) dépasse \(2-\varepsilon\) dès que \(n>\frac3\varepsilon\). Ainsi, \(2\) est le plus petit majorant, mais il n’est pas atteint. La réponse \(\max A=2\) confond borne supérieure et plus grand élément. Une borne supérieure n’a pas à appartenir à l’ensemble, ce qu’oublie l’argument \(2\notin A\). Enfin, \(A\) a bien un minimum : \(-1\), obtenu pour \(n=1\).

Réponse C.

Par définition, l’entier \(\lfloor10^k t\rfloor\) est compris entre \(10^kt-1\), exclu, et \(10^kt\), inclus. On multiplie ensuite par \(10^{-k}>0\), ce qui conserve le sens. Ainsi, \(d_k\) tend vers \(t\) : les décimaux sont denses. Placer \(t\) à gauche décrit l’approximation par excès. Rendre stricte l’inégalité de droite échoue pour \(t=0{,}5\) et \(k=1\). Enfin, la majoration par \(t-10^{-k}\) tombe pour ce même exemple.

Réponse D.

Si \(r\neq0\) est rationnel et si \(r\alpha\) était rationnel, alors \(\alpha=\frac{r\alpha}{r}\) le serait aussi. Par conséquent, \(r\alpha\) est irrationnel. Ajouter \(\sqrt3\) et \(1-\sqrt3\), deux irrationnels, donne pourtant \(1\). De même, \(\sqrt3\times\sqrt{12}=6\) contredit l’affirmation sur le produit. Enfin, \(\frac13\) n’est pas décimal, car aucune puissance de \(10\) n’est divisible par \(3\).

Réponse B.

C’est l’axiome qui distingue \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\), et il demande deux hypothèses. L’intervalle \([0,1[\) est non vide et majoré sans avoir de maximum, ce qui écarte la version avec maximum. Sans hypothèse, \(\mathbb{N}\) n’a pas de borne supérieure réelle ; elle vaut \(+\infty\) dans la droite achevée. Enfin, les rationnels de carré inférieur à \(3\) forment une partie de \(\mathbb{Q}\) dont la borne supérieure \(\sqrt3\) n’est pas rationnelle.

Réponse C.

Dire que \(M\) est le plus petit majorant revient à dire qu’aucun \(M-\varepsilon\) n’est majorant : chaque fois, un élément de \(A\) le dépasse. La version « il existe \(\varepsilon\) » est trop faible, car \(M=10\) la vérifie pour \(A=[0,1]\) avec \(\varepsilon=20\). La condition \(a<M+\varepsilon\) est automatique pour un majorant et n’apporte rien. Enfin, \(M\in A\) caractérise le maximum, condition suffisante mais pas nécessaire.

Réponse A.

Pour \(m=n=1\), on obtient \(2\), et chaque terme vaut au plus \(1\) : donc \(\max B=2\). Ensuite, tous les éléments sont strictement positifs, et \(\frac2n\), obtenu pour \(m=n\), passe sous tout \(\varepsilon>0\). Ainsi, \(\inf B=0\), sans être atteint. La réponse « \(\sup B\) non atteint » oublie le cas \(m=n=1\). Écrire \(\min B=0\) supposerait \(0\in B\). Enfin, \(1\) n’est pas un minorant, puisque \(\frac13+\frac13<1\).

Réponse D.

Une partie \(I\) est un intervalle si, dès qu’elle contient \(a\leqslant b\), elle contient tout \([a,b]\). L’ensemble \(\{x^2\leqslant5\}\) est \([-\sqrt5,\sqrt5]\), qui convient. En revanche, \(\{x^2\geqslant5\}\) contient \(-3\) et \(3\) mais pas \(0\). De même, \(\mathbb{R}^*\) contient \(-1\) et \(1\) sans contenir \(0\). Enfin, \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) contient \(0\) et \(1\) mais pas \(\frac{\sqrt2}{2}\).

Réponse B.

Si \(n(y-x)>1\), l’intervalle \(]nx,ny[\) a une longueur supérieure à \(1\). Il contient donc l’entier \(p=\lfloor nx\rfloor+1\), d’où \(x<\frac pn<y\) : c’est la preuve de la densité de \(\mathbb{Q}\). Le seuil \(n>y-x\) inverse la condition sur la longueur. Prendre \(n\) quelconque échoue : \(]0{,}1;0{,}2[\) ne contient aucun entier. Enfin, la densité ne demande aucune hypothèse sur \(x\) et \(y\).