Continuité et valeurs intermédiaires en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Partie entière et encadrement en 0

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=x\left\lfloor \frac{3}{x}\right\rfloor\).

1. Encadrer \(f(x)\) pour \(x>0\), puis pour \(x<0\).
2. En déduire que \(f\) admet une limite en \(0\) et la préciser.
3. La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(0\) ?

Exercice 2 – Limites latérales en un point

1. Soit \(f(x)=\frac{|x-2|}{x^2-4}\) pour \(x\notin\{-2,2\}\). Déterminer les limites de \(f\) à droite et à gauche en \(2\). La fonction \(f\) a-t-elle une limite en \(2\) ?
2. Soit \(g(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor -x\rfloor\) sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(g(x)\) selon que \(x\) est entier ou non.
3. Déterminer les limites latérales de \(g\) en \(1\). La fonction \(g\) admet-elle une limite en \(1\) ? Est-elle continue en \(1\) ?

Exercice 3 – Quatre candidats au prolongement

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur un domaine privé de \(0\), dire si elle est prolongeable par continuité en \(0\). Le cas échéant, préciser la valeur du prolongement.

1. \(a(x)=\frac{\sqrt{1+4x}-1}{x}\) sur \([-\frac14,0[\,\cup\,]0,+\infty[\).
2. \(b(x)=\frac{1-\cos(3x)}{x^2}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
3. \(c(x)=x\ln|x|\) sur \(\mathbb{R}^*\).
4. \(d(x)=\frac{\sin x}{|x|}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

Exercice 4 – Trois racines d’un polynôme de degré 5

Soit \(P(x)=x^5-3x+1\).

1. Calculer \(P(-2)\), \(P(-1)\), \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(2)\).
2. Montrer que l’équation \(P(x)=0\) admet au moins trois solutions réelles.
3. Localiser la solution comprise entre \(0\) et \(1\) dans un intervalle de longueur \(\frac12\).

La courbe de \(P\) ci-dessous permet de visualiser les trois changements de signe.

Exercice 5 – Sinus de la racine en l’infini

1. Montrer que la fonction \(x\mapsto\sin(\sqrt{x})\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
2. Montrer en revanche que \(\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\) tend vers \(0\) quand \(x\to+\infty\).

Exercice 6 – La bijection x plus exponentielle

Soit \(f(x)=x+\mathrm{e}^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Déterminer \(f(\mathbb{R})\) et prouver que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) vers cet ensemble.
2. Déterminer \(f^{-1}(1)\) et \(f^{-1}(1+\mathrm{e})\).
3. Résoudre l’inéquation \(f^{-1}(y)>0\) d’inconnue \(y\).
4. Déterminer la limite de \(f^{-1}\) en \(+\infty\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Point fixe d’une application du segment unité

1. On se donne une application continue \(f\) de \([0,1]\) dans \([0,1]\). Établir l’existence d’un réel \(c\in[0,1]\) vérifiant \(f(c)=c\).
2. Montrer que le cosinus envoie \([0,1]\) dans \([0,1]\), puis qu’il y possède un unique point fixe \(\alpha\).
3. Montrer que \(0{,}7<\alpha<0{,}8\). On admettra \(\cos(0{,}7)\approx0{,}765\) et \(\cos(0{,}8)\approx0{,}697\).

Exercice 8 – Corde horizontale de longueur un tiers

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que \(f(0)=f(1)\). On pose \(g(x)=f(x+\frac13)-f(x)\) pour \(x\in[0,\frac23]\).

1. Calculer \(g(0)+g(\frac13)+g(\frac23)\).
2. En déduire qu’il existe \(c\in[0,\frac23]\) tel que \(f(c+\frac13)=f(c)\).
3. Interpréter géométriquement ce résultat.

Exercice 9 – Croissante avec un quotient décroissant

Soit \(f:\,]0,+\infty[\to\mathbb{R}\) croissante, telle que \(x\mapsto\frac{f(x)}{x}\) soit décroissante sur \(]0,+\infty[\). Soit \(a>0\).

1. Justifier l’existence des limites \(f(a^-)\) et \(f(a^+)\) et les comparer à \(f(a)\).
2. Montrer que \(f(x)\leqslant\frac{x}{a}f(a)\) pour \(x>a\), et l’inégalité inverse pour \(0<x<a\).
3. En déduire que \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).

Exercice 10 – Maximum d’une fonction nulle à l’infini

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue, telle que \(f(x)\to0\) quand \(x\to+\infty\) et quand \(x\to-\infty\). On suppose de plus que \(f(1)=2\).

1. Montrer qu’il existe \(A\geqslant1\) tel que \(|f(x)|\leqslant1\) dès que \(|x|\geqslant A\).
2. En déduire que \(f\) est bornée, puis qu’un réel \(x_0\) vérifie \(f(x)\leqslant f(x_0)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. La fonction \(f\) admet-elle nécessairement un minimum ? On pourra étudier \(x\mapsto\frac{2}{1+(x-1)^2}\).

Exercice 11 – Partie entière recollée

Pour \(x\) réel, on pose \(g(x)=\lfloor x\rfloor+\left(x-\lfloor x\rfloor\right)^2\) et, plus généralement, \(g_k(x)=\lfloor x\rfloor+k\left(x-\lfloor x\rfloor\right)^2\) avec \(k\) réel.

1. Expliciter \(g(x)\) sur \([n,n+1[\) pour \(n\in\mathbb{Z}\).
2. Montrer que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer les réels \(k\) pour lesquels \(g_k\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Le graphe de \(g\) montre que les morceaux de parabole se raccordent sans saut.

Exercice 12 – Fonctions continues invariantes par le carré

On cherche les fonctions \(f:\,]0,+\infty[\to\mathbb{R}\) telles que \(f(x^2)=f(x)\) pour tout \(x>0\).

1. Soit \(f\) une telle fonction. Montrer que \(f(x)=f\left(x^{1/2^n}\right)\) pour tout \(x>0\) et tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. On suppose \(f\) continue. Montrer que \(f\) est constante.
3. Donner une fonction non constante qui vérifie la relation, et préciser en quel point elle n’est pas continue.

Exercice 13 – Injection continue et position des valeurs

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue et injective, avec \(f(0)=1\) et \(f(2)=5\).

1. Montrer que \(f\) est strictement croissante.
2. En déduire que \(1<f(1)<5\), puis comparer \(f(-3)\) à \(1\) et \(f(3)\) à \(5\).
3. Prouver que \(3\) a un et un seul antécédent par \(f\), et le situer dans \(]0,2[\).

Exercice 14 – Réciproque d’une fonction cubique

Soit \(f(x)=x^3+3x-2\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Prouver que tout réel possède un unique antécédent par \(f\).
2. Calculer \(f^{-1}(2)\) et \(f^{-1}(-2)\), puis résoudre \(f^{-1}(y)\leqslant0\).
3. Montrer que \(\frac{f^{-1}(y)}{y^{1/3}}\to1\) quand \(y\to+\infty\).

Exercice 15 – Une solution de tan x = x par intervalle

Pour \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(I_n=\left]n\pi-\frac{\pi}{2},n\pi+\frac{\pi}{2}\right[\).

1. Prouver que \(I_n\) contient un et un seul réel \(x_n\) tel que \(\tan x_n=x_n\).
2. Montrer que \(x_n\in\left]n\pi,n\pi+\frac{\pi}{2}\right[\).
3. En déduire la limite de \(x_n-n\pi\), puis un équivalent de \(x_n\).

Exercice 16 – Fonction continue et périodique

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue et périodique de période \(T>0\).

1. Montrer que \(f(\mathbb{R})=f([0,T])\).
2. En déduire que \(f\) possède sur \(\mathbb{R}\) une plus petite et une plus grande valeur.
3. Montrer que si \(f\) admet une limite finie en \(+\infty\), alors \(f\) est constante.
4. Application : justifier, sans les calculer, que \(x\mapsto\sin x+\sin(2x)\) admet un maximum et un minimum sur \(\mathbb{R}\), et qu’elle n’a pas de limite en \(+\infty\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Indicatrice des rationnels

On note \(\chi\) la fonction égale à \(1\) sur \(\mathbb{Q}\) et à \(0\) sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\).

1. Montrer que \(\chi\) n’a de limite en aucun point de \(\mathbb{R}\).
2. Soit \(g(x)=x\,\chi(x)\). Prouver que \(0\) est le seul point de continuité de \(g\).
3. Construire de même une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), continue exactement en \(-1\) et en \(1\).

Exercice 18 – Involutions continues de la droite réelle

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) continue telle que \(f\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\).

1. Montrer que \(f\) est bijective, puis strictement monotone.
2. On suppose \(f\) croissante. Montrer que \(f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\).
3. On suppose \(f\) décroissante. Montrer que \(f\) admet un unique point fixe.
4. Vérifier que \(x\mapsto 3-x\) convient et préciser son point fixe.

Exercice 19 – Problème – Racine d’une cubique à paramètre

Partie A. Pour \(n\in\mathbb{N}^*\), on pose \(f_n(x)=x^3+nx-1\).

1. Établir que \(f_n\) est bijective de \(\mathbb{R}\) dans lui-même. On note \(u_n\) l’unique réel tel que \(f_n(u_n)=0\).
2. Montrer que \(0<u_n<\frac1n\), puis donner la limite de \((u_n)\).
3. Montrer que \(nu_n\to1\).
4. Montrer que \(n^4\left(\frac1n-u_n\right)\to1\).

Partie B. Pour \(a>0\), on note \(\varphi(a)\) l’unique réel tel que \(\varphi(a)^3+a\,\varphi(a)-1=0\).

1. Justifier l’existence et l’unicité de \(\varphi(a)\), puis montrer que \(\varphi(a)\in\,]0,1[\).
2. Soit \(h(x)=\frac{1}{x}-x^2\) sur \(]0,1[\). Prouver que \(h\) envoie bijectivement \(]0,1[\) sur \(]0,+\infty[\), puis que \(\varphi=h^{-1}\).
3. En déduire que \(\varphi\) est continue et strictement décroissante, et déterminer ses limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).
4. Calculer \(\varphi\left(\frac74\right)\) et vérifier que \(\varphi(n)=u_n\).

Pour aller plus loin

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