Sommabilité et produit de Cauchy en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

On note \([0,+\infty]=[0,+\infty[\,\cup\{+\infty\}\), ordonné de façon naturelle. On y prolonge l’addition par \(a+(+\infty)=+\infty\) pour tout \(a\). Pour le produit, on pose \(a\times(+\infty)=+\infty\) si \(a>0\), et l’on convient que \(0\times(+\infty)=0\).

Soit \(I\) un ensemble dénombrable et \((u_i)_{i\in I}\) une famille d’éléments de \([0,+\infty]\). Sa somme est la borne supérieure, prise dans \([0,+\infty]\), de toutes les sommes finies :

\[\sum_{i\in I}u_i=\sup\Big\{\sum_{i\in J}u_i\ :\ J\subset I,\ J\text{ fini}\Big\}.\]

Calculons la somme de la famille \(\left(2^{-|n|}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\). Pour un ensemble fini \(J\), on choisit \(N\) tel que \(J\subset[\![-N,N]\!]\). Alors \(\sum_{J}2^{-|n|}\leqslant 1+2\sum_{n=1}^{N}2^{-n}\leqslant 3\). Inversement, les sommes sur \([\![-N,N]\!]\) valent \(3-2^{1-N}\), qui tend vers \(3\). Par conséquent, la somme vaut exactement \(3\).

Soit \(\sigma\) une bijection de \(I\) sur \(I\). Pour toute famille positive, \(\displaystyle\sum_{i\in I}u_{\sigma(i)}=\sum_{i\in I}u_i\).

Pour des familles positives, la somme est linéaire à coefficients positifs et croissante. Si \(0\leqslant u_i\leqslant v_i\) pour tout \(i\), alors \(\sum u_i\leqslant\sum v_i\). C’est le principe de comparaison, toujours valable dans \([0,+\infty]\).

Un ensemble est dénombrable s’il est en bijection avec \(\mathbb{N}\). C’est le cas de \(\mathbb{Z}\), de \(\mathbb{N}^2\), de \(\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}\) et plus généralement de tout produit fini d’ensembles dénombrables. Le programme se limite à ces ensembles d’indices, et aux ensembles finis, pour lesquels tout est élémentaire.

Soit \((u_i)_{i\in I}\) une famille d’éléments de \([0,+\infty]\). Soit \((I_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une partition de \(I\), c’est-à-dire des parties deux à deux disjointes de réunion \(I\). Alors

\[\sum_{i\in I}u_i=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\sum_{i\in I_n}u_i\Big),\]

l’égalité ayant lieu dans \([0,+\infty]\).

Pour la famille \(\left(2^{-|n|}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\), on regroupe \(n\) et \(-n\). Le paquet \(\{0\}\) donne \(1\), et chaque paquet \(\{n,-n\}\), pour \(n\geqslant 1\), donne \(2^{1-n}\). La somme vaut donc \(1+\sum_{n\geqslant 1}2^{1-n}=1+2=3\). On retrouve le résultat précédent, cette fois sans majoration à la main.

Fubini positif. Pour toute famille \((u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\) d’éléments de \([0,+\infty]\),

\[\sum_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}u_{p,q}=\sum_{p=0}^{+\infty}\sum_{q=0}^{+\infty}u_{p,q}=\sum_{q=0}^{+\infty}\sum_{p=0}^{+\infty}u_{p,q}.\]

Notons \(r_n=e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=\sum_{k>n}\frac{1}{k!}\) le reste de la série exponentielle. Calculons \(\sum_{n\geqslant 0}r_n\). On considère la famille positive \(u_{n,k}=\frac{1}{k!}\) si \(k>n\), et \(0\) sinon. En sommant d’abord en \(k\), on obtient \(r_n\). En sommant d’abord en \(n\), on compte \(k\) indices \(n\) tels que \(0\leqslant n<k\). Ainsi,

\[\sum_{n=0}^{+\infty}r_n=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(k-1)!}=e.\]

1. Prolonger la famille par \(0\) hors du domaine, afin de travailler sur \(\mathbb{N}^2\) tout entier.
2. Décrire le domaine par une double inégalité, par exemple \(0\leqslant n<k\).
3. Pour sommer d’abord en \(n\), fixer \(k\) et lire les valeurs permises de \(n\) : ici \(n\in[\![0,k-1]\!]\).
4. Vérifier les nouvelles bornes sur une petite valeur, \(k=1\) ou \(k=2\), avant de calculer.

Une famille \((u_i)_{i\in I}\) de nombres complexes est sommable lorsque \(\sum_{i\in I}|u_i|<+\infty\).

Pour une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), la sommabilité équivaut à la convergence de \(\sum|u_n|\). Lorsque c’est le cas, les deux notions de somme coïncident : \(\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=0}^{N}u_n\).

La suite \(\left(\frac{(-1)^n}{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) n’est pas sommable, bien que la série associée converge. Sa somme dépend en effet de l’ordre des termes. Par exemple, en prenant deux termes positifs pour un terme négatif, on obtient une autre limite que \(\ln 2\). C’est exactement ce que la sommabilité interdit.

L’ensemble des familles sommables indexées par \(I\) est un espace vectoriel, et la somme y est linéaire. De plus, \(\left|\sum_{i\in I}u_i\right|\leqslant\sum_{i\in I}|u_i|\). Enfin, la somme d’une famille sommable ne change pas par permutation des indices.

Soient \(r\in[0,1[\) et \(\theta\) réel. Étudions la famille \(\left(r^{|n|}e^{in\theta}\right)_{n\in\mathbb{Z}}\). Ses modules valent \(r^{|n|}\), de somme \(\frac{1+r}{1-r}\) par regroupement de \(n\) et \(-n\). La famille est donc sommable. On peut alors la sommer par paquets \(\{0\}\), \(\mathbb{N}^*\) et \(-\mathbb{N}^*\). Avec \(q=re^{i\theta}\), les deux derniers paquets donnent \(\frac{q}{1-q}\) et \(\frac{\overline{q}}{1-\overline{q}}\). Après réduction au même dénominateur \(|1-q|^2=1-2r\cos\theta+r^2\), on obtient

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}}r^{|n|}e^{in\theta}=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}.\]

Cette somme est réelle, ce qu’on pouvait prévoir : les termes d’indices \(n\) et \(-n\) sont conjugués.

On découpe l’ensemble \(I\) en parties \(I_n\), deux à deux disjointes, et l’on suppose \(\sum_{i\in I}|u_i|\) finie. Dans ces conditions, chaque \((u_i)_{i\in I_n}\) est encore sommable, on peut noter \(\sigma_n\) sa somme, la série \(\sum\sigma_n\) converge absolument, et

\[\sum_{i\in I}u_i=\sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\sum_{i\in I_n}u_i\Big).\]

Fubini dans le cas sommable. Si \((u_{p,q})_{(p,q)\in\mathbb{N}^2}\) est sommable, alors chaque ligne et chaque colonne est sommable, et les deux sommes itérées sont égales à \(\sum_{(p,q)}u_{p,q}\).

1. Écrire la somme cherchée comme une somme itérée d’une famille \((u_{p,q})\), en précisant l’ensemble d’indices.
2. Si \(u_{p,q}\geqslant 0\), invoquer directement Fubini positif : c’est terminé.
3. Sinon, calculer ou majorer \(\sum_{p}\sum_{q}|u_{p,q}|\) grâce au cas positif, dans l’ordre le plus commode.
4. Conclure que cette quantité est finie, donc que la famille est sommable.
5. Seulement alors, intervertir les sommes ou regrouper les termes, et calculer.

Soient \(z\), \(w\) complexes de modules strictement inférieurs à \(1\). La famille \((z^pw^q)\) est sommable, comme on l’a vu. Par Fubini, sa somme vaut \(\sum_p z^p\sum_q w^q=\frac{1}{(1-z)(1-w)}\). Ensuite, regroupons selon \(n=p+q\). Avec \(z=w\), le paquet d’indice \(n\) contient \(n+1\) termes égaux à \(z^n\). On en déduit \(\sum_{n\geqslant 0}(n+1)z^n=\frac{1}{(1-z)^2}\) pour \(|z|<1\).

La ligne \(0\) contient un seul terme non nul, égal à \(1\). Chaque ligne \(p\geqslant 1\) contient \(1\) et \(-1\). Donc la somme des lignes vaut \(1+0+0+\dots=1\). En revanche, chaque colonne \(q\) contient \(1\) en position \((q,q)\) et \(-1\) en position \((q+1,q)\). Toutes les colonnes ont une somme nulle, si bien que l’autre somme itérée vaut \(0\). Bien sûr, \(\sum|u_{p,q}|=+\infty\) : la famille n’est pas sommable.

On pose \(u_{n,k}=\frac{(-1)^k}{k!}\) si \(k\geqslant n\), et \(u_{n,k}=0\) sinon. D’abord, la famille des modules est positive. Pour \(k\) fixé, elle contient \(k+1\) termes non nuls, d’indices \(n\in[\![0,k]\!]\). Par Fubini positif, \(\sum_{(n,k)}|u_{n,k}|=\sum_{k\geqslant 0}\frac{k+1}{k!}=2e\). Cette quantité est finie, donc la famille est sommable. Ensuite, le théorème de Fubini sommable permet de sommer d’abord en \(n\) :

\[\sum_{n=0}^{+\infty}\rho_n=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(k+1)(-1)^k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(k-1)!}+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}.\]

Le premier terme vaut \(-e^{-1}\) et le second \(e^{-1}\). Finalement, la somme des restes est nulle.

Soient \((a_i)_{i\in I}\) et \((b_j)_{j\in J}\) deux familles sommables de complexes. Alors la famille \((a_ib_j)_{(i,j)\in I\times J}\) est sommable, et

\[\sum_{(i,j)\in I\times J}a_ib_j=\Big(\sum_{i\in I}a_i\Big)\Big(\sum_{j\in J}b_j\Big).\]

D’abord, la famille des modules est positive. Par Fubini positif, \(\sum_{(i,j)}|a_i||b_j|=\sum_i|a_i|\sum_j|b_j|\). Ce produit de deux réels est fini, donc \((a_ib_j)\) est sommable. Ensuite, le théorème de Fubini sommable autorise le calcul par lignes : \(\sum_i\big(a_i\sum_jb_j\big)=\big(\sum_ia_i\big)\big(\sum_jb_j\big)\), par linéarité.

À deux séries \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\), on associe la série \(\sum c_n\), appelée leur produit de Cauchy, où l’on additionne les produits \(a_kb_l\) d’indices de somme \(n\) :

\[c_n=\sum_{k+l=n}a_kb_l=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\dots+a_nb_0.\]

Supposons \(\sum|a_n|\) et \(\sum|b_n|\) convergentes. Dans ce cas, \(\sum|c_n|\) converge aussi, et

\[\sum_{n=0}^{+\infty}c_n=\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\Big)\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\Big).\]

La famille \((a_kb_l)_{(k,l)\in\mathbb{N}^2}\) est sommable d’après 5.1. Les ensembles \(\{(k,l):k+l=n\}\) forment une partition de \(\mathbb{N}^2\). Par sommation par paquets, la série \(\sum c_n\) converge absolument et sa somme vaut la somme de la famille, c’est-à-dire le produit des deux sommes.

Soit \(x\) complexe avec \(|x|<\frac{1}{2}\). Les séries \(\sum x^n\) et \(\sum 2^nx^n\) convergent absolument. Le terme de leur produit de Cauchy vaut \(\sum_{k=0}^{n}x^k\,2^{n-k}x^{n-k}=x^n\sum_{j=0}^{n}2^j=(2^{n+1}-1)x^n\). Par conséquent,

\[\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(2^{n+1}-1\right)x^n.\]

On peut d’ailleurs le contrôler par la décomposition \(\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}\).

1. Repérer dans le terme général une somme finie de la forme \(\sum_{k=0}^{n}\alpha_k\beta_{n-k}\).
2. Identifier les deux suites \((\alpha_k)\) et \((\beta_l)\), puis vérifier que \(\sum\alpha_k\) et \(\sum\beta_l\) convergent absolument.
3. Conclure que la série étudiée converge, et que sa somme est le produit des deux sommes.

Notons \(s_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\) et soit \(x\) réel avec \(|x|<1\). Étudions \(\sum s_nx^n\). On écrit \(s_nx^n=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\,x^{n-k}\). C’est le terme du produit de Cauchy des séries \(\sum\frac{x^k}{k!}\) et \(\sum x^l\). Or ces deux séries convergent absolument, la seconde parce que \(|x|<1\). Par conséquent, \(\sum_{n\geqslant 0}s_nx^n=\frac{e^x}{1-x}\).

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