QCM : Calcul de développements limités en maths sup (MPSI)

Réponse D.

Pour passer à l’ordre \(2\), on tronque : on garde les termes de degré au plus \(2\), et \(3x^3+o(x^3)\) devient un \(o(x^2)\). La réponse \(1+2x+o(x^2)\) retire un terme de trop. Écrire \(o(x^3)\) après avoir supprimé \(3x^3\) est faux : le reste serait alors \(3x^3\), qui n’est pas négligeable devant \(x^3\). Enfin, le terme constant \(1\) ne disparaît jamais.

Réponse C.

Comme \(f(-x)=f(x)\), le DL de \(f(-x)\) est aussi celui de \(f(x)\). Par unicité, on obtient \(-a_1=a_1\) et \(-a_3=a_3\), donc les coefficients impairs sont nuls. La réponse qui annule les coefficients pairs décrit une fonction impaire. Par ailleurs, se limiter à \(a_1=0\) oublie que l’argument s’applique à chaque degré impair.

Réponse C.

La formule de Taylor-Young donne \(f(x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^2+o(x^2)\). Par unicité, \(\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}=5\), donc \(f^{\prime\prime}(0)=10\). La réponse \(5\) oublie la factorielle. De son côté, \(\frac{5}{2}\) divise au lieu de multiplier. Enfin, \(-1\) est la valeur de \(f^{\prime}(0)\), pas celle de la dérivée seconde.

Réponse A.

On applique \((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)\) avec \(\alpha=\frac{1}{2}\). Le coefficient de \(x^2\) vaut donc \(\frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right)\times\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}\). Le signe plus oublie que \(\alpha-1\) est négatif. La valeur \(-\frac{1}{4}\) oublie la division par \(2\). Quant à \(1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}\), c’est le DL de \(\frac{1}{\sqrt{1+x}}\).

Réponse B.

On multiplie \(1+x+\frac{x^2}{2}\) par \(x-\frac{x^3}{6}\), en ne gardant que les degrés au plus \(3\). Ainsi, le coefficient de \(x^3\) est la différence de \(\frac{1}{2}\) et de \(\frac{1}{6}\), soit \(\frac{1}{3}\). La réponse \(\frac{x^3}{2}\) oublie le terme \(-\frac{x^3}{6}\) du sinus. La valeur \(\frac{2}{3}\) l’ajoute au lieu de le retrancher. Enfin, perdre \(x^2\) revient à oublier le produit croisé \(x\cdot x\).

Réponse D.

Le facteur \(1-\cos x\) commence par \(\frac{x^2}{2}\). Par conséquent, un reste \(o(x^4)\) dans \(g\) devient \(o(x^6)\) après multiplication : l’ordre \(4\) suffit pour \(g\). En revanche, \(g(0)\) multiplie le terme \(\frac{x^6}{720}\), donc \(1-\cos x\) doit aller jusqu’à l’ordre \(6\). Tout développer à l’ordre \(6\) est correct mais pas minimal. Enfin, \(g\) à l’ordre \(2\) laisse un reste en \(o(x^4)\).

Réponse A.

On factorise : \(\sin x=x\left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\right)\), donc \(\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{1-u}\) avec \(u=\frac{x^2}{6}+o(x^2)\). Ainsi, \(\frac{1}{1-u}=1+u+o(u)\) donne \(1+\frac{x^2}{6}\). La réponse avec \(-\frac{x^2}{6}\) recopie le DL de \(\frac{\sin x}{x}\) sans inverser. Le coefficient \(\frac{1}{3}\) vient de la tangente, confondue ici. Enfin, un terme en \(x\) est impossible, car la fonction est paire.

Réponse A.

On écrit \(\cos x=1+v\), avec \(v=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\), qui tend vers \(0\). Puisque \(v\) est de l’ordre de \(x^2\), le DL \(\ln(1+v)=v-\frac{v^2}{2}+o(v^2)\) suffit, et \(v^2=\frac{x^4}{4}+o(x^4)\). Le coefficient de \(x^4\) vaut alors \(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\), soit \(-\frac{1}{12}\). La réponse en \(\frac{x^4}{24}\) oublie le terme \(-\frac{v^2}{2}\). Celle en \(-\frac{x^4}{8}\) perd au contraire le \(\frac{x^4}{24}\) du cosinus.

Réponse B.

D’abord, \(\mathrm{e}^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)\). On primitive ensuite terme à terme, sans oublier la constante \(f(0)=1\). Ainsi, \(x^2\) donne \(\frac{x^3}{3}\) et \(\frac{x^4}{2}\) donne \(\frac{x^5}{10}\). La réponse sans le \(1\) initial néglige la valeur en \(0\). Celle avec \(x^3\) et \(\frac{x^5}{2}\) recopie la dérivée sans diviser par les exposants. Enfin, \(\frac{x^5}{8}\) divise par \(4\) au lieu de \(5\).

Réponse D.

Le numérateur tend vers \(0\) comme le dénominateur ; il faut donc un DL à l’ordre \(2\). D’une part, \(\ln(1+2x)=2x-\frac{(2x)^2}{2}+o(x^2)\), soit \(2x-2x^2+o(x^2)\). D’autre part, \(2\sin x=2x+o(x^2)\). La limite vaut donc \(-2\). La valeur \(-4\) oublie la division par \(2\). Quant à \(-\frac{1}{2}\), elle remplace \((2x)^2\) par \(x^2\).

Réponse C.

Le DL d’ordre \(1\) est \(2+0\cdot(x-1)+o(x-1)\), donc \(f^{\prime}(1)=0\). Ensuite, \(f(x)-2=(x-1)^2\left(3+o(1)\right)\) est strictement positif près de \(1\), sauf en \(1\) : c’est un minimum local strict. Conclure à un maximum inverse le sens donné par le signe de \(3\). Par ailleurs, \(f^{\prime}(1)=3\) lit le coefficient de degré \(2\) comme une pente.

Réponse B.

Pour \(x>0\), on factorise \(x\) : la racine devient \(x\sqrt{1+t}\) avec \(t=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\). Le DL à l’ordre \(2\) en \(t\) donne alors \(x+\frac{3}{2}-\frac{1}{8x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\), car \(\frac{2}{2}-\frac{9}{8}=-\frac{1}{8}\). Le terme \(-\frac{1}{8x}\) est négatif, donc la courbe reste sous l’asymptote. L’asymptote \(y=x\) oublie le terme constant ; \(y=x+3\) oublie la moitié dans \(\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}\).