QCM : Suites itératives et point fixe en maths sup (MPSI)

Réponse B.

La fonction \(f\) est croissante sur \([0,+\infty[\), donc l’image d’un segment \([a,b]\) est \([f(a),f(b)]\). Or \(f(1)=1\) et \(f(5)=5\) : ainsi \([1,5]\) est stable. En revanche, \(f(6)=41/6\) dépasse 6, et \(f(7)=9\) dépasse 7. Enfin, \(f(2)=3/2\) sort de \([2,5]\) par la gauche : vérifier seulement la borne de droite est un piège classique.

Réponse A.

On passe à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\). Le membre de gauche tend vers \(\ell\), et le membre de droite tend vers \(f(\ell)\) si \(f\) est continue en \(\ell\). Par conséquent, c’est la continuité qui compte. La croissance donne seulement la monotonie de la suite, tandis qu’un intervalle borné ou l’unicité d’un point fixe ne disent rien sur la valeur de \(f\) au point limite.

Réponse C.

Tous les termes restent strictement positifs, donc \(u_n=1/2^n\), qui tend vers 0. Cependant \(f(0)=1\), si bien que 0 n’est pas un point fixe ; d’ailleurs \(f\) n’en a aucun. Ce contre-exemple montre que la continuité ne peut pas être omise. Affirmer que la suite diverge faute de point fixe applique donc le théorème sans son hypothèse.

Réponse B.

On étudie \(g(x)=f(x)-x=\dfrac{1}{1+x^2}\), strictement positive. Ainsi \(u_{n+1}-u_n=g(u_n)>0\) et la suite croît strictement. Si elle convergeait, sa limite serait un point fixe de la fonction continue \(f\), c’est-à-dire un zéro de \(g\) ; or il n’y en a pas. Par conséquent, elle n’est pas majorée et tend vers \(+\infty\). Croire qu’une suite croissante converge toujours est le piège principal.

Réponse C.

Lorsque \(f\) est croissante, l’inégalité \(u_1\le u_0\) se propage : en appliquant \(f\), on obtient \(u_2\le u_1\), puis par récurrence \(u_{n+1}\le u_n\). La suite est donc décroissante dès le départ. Le sens de variation de la suite se lit ainsi sur la comparaison de \(u_0\) et \(u_1\), et non sur celui de \(f\). L’oscillation autour du point fixe caractérise plutôt une fonction décroissante.

Réponse D.

La composée \(f\circ f\) est croissante, donc chacune des suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) est monotone. De plus, appliquer \(f\) décroissante inverse les inégalités : si \(u_2\le u_0\), alors \(u_3\ge u_1\). Elles varient donc en sens contraires. En revanche, la suite entière n’est pas monotone en général, et la convergence n’est pas acquise : avec \(f(x)=1-x\) et \(u_0=0\), elle alterne entre 0 et 1.

Réponse A.

Une spirale signifie que les termes passent alternativement de part et d’autre de \(\ell\). C’est le comportement d’une fonction décroissante près du point fixe, donc d’une dérivée négative. À l’inverse, une dérivée positive produit un escalier, où les termes restent du même côté. Enfin, \(f^{\prime}(\ell)>1\) éloigne les termes du point fixe sans les faire tourner autour de lui.

Réponse A.

Par récurrence, \(|u_n-\ell|\le\left(\tfrac13\right)^n|u_0-\ell|\le\dfrac{2}{3^n}\). Il faut donc \(3^n\ge2000\). Or \(3^6=729\) est trop petit, alors que \(3^7=2187\) convient. La réponse \(n=6\) surestime \(3^6\), tandis que \(n=4\) oublie que l’erreur décroît par puissances de 3 et non de 10. Quant à \(n=10\), il garantit la précision mais n’est pas le plus petit rang.

Réponse B.

On calcule \(f^{\prime}(x)=x/2\), dont le maximum de la valeur absolue sur \([0,1]\) vaut \(1/2\). L’inégalité des accroissements finis donne donc \(k=1/2\), et cette constante est optimale puisque la dérivée l’atteint en 1. Le piège \(k=1/4\) correspond au taux d’accroissement entre 0 et 1, qui ne majore pas tous les taux. De même, \(k=2\) vient d’une dérivée mal calculée.

Réponse D.

D’après l’égalité des accroissements finis, \(u_{n+1}-\ell=f(u_n)-f(\ell)=f^{\prime}(c_n)(u_n-\ell)\) avec \(c_n\) entre \(u_n\) et \(\ell\). Comme \(c_n\to\ell\) et que \(f^{\prime}\) est continue, le quotient tend vers \(f^{\prime}(\ell)\), avec son signe. Ainsi, la valeur absolue est un piège : elle oublie l’alternance quand la dérivée est négative. Par ailleurs, la limite nulle correspond au cas d’une dérivée nulle, exclu ici.

Réponse C.

La méthode s’écrit \(u_{n+1}=u_n-\dfrac{g(u_n)}{g^{\prime}(u_n)}\). Ici \(g(2)=1\) et \(g^{\prime}(2)=4\), donc \(u_1=2-\tfrac14=\tfrac74\), déjà proche de \(\sqrt3\approx1{,}732\). La valeur \(9/4\) ajoute la correction au lieu de la retrancher. En outre, \(3/2\) provient d’une dérivée prise égale à 2, ce qui oublie le facteur \(x\) de \(g^{\prime}(x)=2x\).

Réponse D.

Près d’un zéro simple, l’erreur vérifie \(|u_{n+1}-\alpha|\le C|u_n-\alpha|^2\) : la convergence est quadratique. Le nombre de décimales exactes double donc à chaque étape, et \(10^{-3}\) devient environ \(10^{-6}\). En revanche, \(10^{-4}\) ou \(5\times10^{-4}\) décrivent une convergence seulement géométrique, comme pour une contraction. Quant à \(10^{-9}\), il supposerait une convergence cubique.