Suites itératives et point fixe en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Un intervalle \(J \subset I\) est stable par \(f\) lorsque \(f(J) \subset J\), autrement dit lorsque \(f(x) \in J\) pour tout \(x \in J\).

Si \(J\) est stable par \(f\) et si \(u_0 \in J\), alors la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) existe et tous ses termes appartiennent à \(J\).

Nous raisonnons par récurrence sur \(n\). D’abord, \(u_0 \in J\) par hypothèse. Ensuite, si \(u_n\) existe et appartient à \(J\), alors \(f(u_n)\) a un sens car \(J \subset I\). De plus, \(f(u_n) \in J\) par stabilité. Ainsi \(u_{n+1}\) existe et appartient à \(J\).

1. Dresser le tableau de variations de \(f\) et repérer ses points fixes.
2. Choisir un intervalle \([a, b]\) contenant \(u_0\), dont les bornes sont souvent des points fixes ou des extremums.
3. Si \(f\) est croissante et continue sur \([a, b]\), vérifier \(f(a) \geqslant a\) et \(f(b) \leqslant b\).
4. Si \(f\) est décroissante et continue sur \([a, b]\), vérifier \(f(b) \geqslant a\) et \(f(a) \leqslant b\).
5. Rédiger la récurrence qui place tous les termes dans \([a, b]\).

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 6}{5}\) sur \(\mathbb{R}\). Les points fixes vérifient \(x^2 – 5x + 6 = 0\), donc ce sont \(2\) et \(3\). Par ailleurs, \(f\) est croissante sur \([0, +\infty[\). Par conséquent, \(f([2, 3]) = [f(2), f(3)] = [2, 3]\). L’intervalle \([2, 3]\) est donc stable, et toute suite issue de \(u_0 \in [2, 3]\) y reste.

Un réel \(\ell \in I\) est un point fixe de \(f\) lorsque \(f(\ell) = \ell\). Sur un dessin, on le repère là où la courbe de \(f\) croise la première bissectrice.

Soit \(J\) un intervalle stable par \(f\), \(u_0 \in J\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), si \(\ell \in I\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\).

D’une part, la suite \((u_{n+1})\) est extraite de \((u_n)\), donc elle tend aussi vers \(\ell\). D’autre part, \(f\) est continue en \(\ell\) et \(u_n \to \ell\). Par la caractérisation séquentielle de la continuité, \(f(u_n) \to f(\ell)\). Or \(f(u_n) = u_{n+1}\). Par unicité de la limite, on obtient \(f(\ell) = \ell\).

1. Résoudre \(f(x) = x\) sur l’intervalle stable fermé qui contient tous les termes.
2. S’il n’y a aucune solution, la suite diverge. Si de plus elle est monotone, elle tend vers \(\pm\infty\).
3. S’il y a une seule solution et que la suite converge, sa limite est cette solution.
4. S’il y en a plusieurs, utiliser la monotonie pour éliminer les mauvais candidats : une suite croissante ne peut pas tendre vers un réel strictement inférieur à \(u_0\).

Soit \(J\) un intervalle stable contenant \(u_0\). Si \(g \geqslant 0\) sur \(J\), la suite \((u_n)\) est croissante. Si \(g \leqslant 0\) sur \(J\), elle est décroissante.

Si \(f\) est croissante sur un intervalle stable \(J\) contenant \(u_0\), alors \((u_n)\) est monotone. Elle est croissante si \(u_1 \geqslant u_0\) et décroissante si \(u_1 \leqslant u_0\).

Supposons \(u_1 \geqslant u_0\). Montrons par récurrence que \(u_{n+1} \geqslant u_n\). Si c’est vrai au rang \(n\), alors la croissance de \(f\) sur \(J\) donne \(f(u_{n+1}) \geqslant f(u_n)\), c’est-à-dire \(u_{n+2} \geqslant u_{n+1}\). Le cas \(u_1 \leqslant u_0\) se traite de la même façon.

Soit \(f\) décroissante et continue sur un segment \(J\) stable contenant \(u_0\). On pose \(a_n = u_{2n}\) et \(b_n = u_{2n+1}\). Alors \(a_{n+1} = (f \circ f)(a_n)\) et \(b_{n+1} = (f \circ f)(b_n)\). Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont monotones, de sens contraires, et convergent vers des points fixes de \(f \circ f\) dans \(J\).

D’abord, \(f \circ f\) est croissante sur \(J\) comme composée de deux fonctions décroissantes, et \(J\) est stable par \(f \circ f\). Ensuite, le théorème de la partie 4.2 appliqué à \(f \circ f\) montre que \((a_n)\) est monotone. Supposons par exemple \((a_n)\) croissante. Comme \(f\) est décroissante, \(b_n = f(a_n)\) définit une suite décroissante. Enfin, les deux suites sont bornées par les extrémités de \(J\), donc elles convergent. Leurs limites sont des points fixes de la fonction continue \(f \circ f\).

1. Trouver un segment \(J\) stable sur lequel \(f\) est décroissante.
2. Calculer \(f \circ f\) et résoudre \((f \circ f)(x) = x\) dans \(J\).
3. Si le seul point fixe de \(f \circ f\) dans \(J\) est le point fixe \(\ell\) de \(f\), conclure : \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) tendent vers \(\ell\), donc \((u_n)\) aussi.
4. Sinon, chercher les limites de \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) grâce au signe de \((f \circ f)(x) – x\).

Reprenons \(f(x) = \dfrac{4}{x + 3}\) et \(u_0 = 0\). La fonction \(f\) est décroissante et positive sur \([0, +\infty[\), avec \(f(0) = \dfrac{4}{3}\). Donc \(J = \left[0, \dfrac{4}{3}\right]\) est stable. Ensuite, un calcul direct donne

\[(f \circ f)(x) = \frac{4}{\frac{4}{x + 3} + 3} = \frac{4(x + 3)}{3x + 13}.\]

L’équation \((f \circ f)(x) = x\) équivaut à \(3x^2 + 9x – 12 = 0\), soit \((x – 1)(x + 4) = 0\). Le seul point fixe de \(f \circ f\) dans \(J\) est donc \(1\), qui est aussi le point fixe de \(f\). Par conséquent, \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers \(1\). On en déduit que \(u_n \to 1\).

Avec \(f(x) = 1 – x\) sur \([0, 1]\) et \(u_0 = 0\), on obtient \(0, 1, 0, 1, \ldots\) Ici \(f \circ f\) est l’identité, donc tout réel de \([0, 1]\) est un point fixe de \(f \circ f\). Les deux suites extraites sont constantes, de limites \(0\) et \(1\). Ainsi, la suite diverge alors que \(f\) admet le point fixe \(\dfrac{1}{2}\).

La fonction \(f\) est contractante sur \(J\) s’il existe \(k \in [0, 1[\) tel que \(|f(x) – f(y)| \leqslant k\,|x – y|\) pour tous \(x, y \in J\). On dit aussi que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne avec \(k < 1\).

Soit \(J = [a, b]\) un segment stable par \(f\), où \(f\) est \(k\)-contractante. Alors \(f\) admet un unique point fixe \(\ell\) dans \(J\). De plus, pour tout \(u_0 \in J\), \[\forall n \in \mathbb{N}, \quad |u_n – \ell| \leqslant |u_0 – \ell| \times k^n.\] En particulier, la suite converge vers \(\ell\).

Existence : \(f\) est lipschitzienne, donc continue. La fonction \(g(x) = f(x) – x\) vérifie \(g(a) \geqslant 0\) et \(g(b) \leqslant 0\) car \(f(a), f(b) \in [a, b]\). Le théorème des valeurs intermédiaires fournit donc un zéro \(\ell\) de \(g\). Unicité : si \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\) sont deux points fixes, alors \(|\ell – \ell^{\prime}| \leqslant k\,|\ell – \ell^{\prime}|\), donc \(\ell = \ell^{\prime}\) puisque \(k < 1\). Enfin, comme \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(\ell = f(\ell)\), la contraction donne \(|u_{n+1} – \ell| \leqslant k\,|u_n – \ell|\). Une récurrence donne alors la majoration.

Soit \(f(x) = 1 + \dfrac{\sin x}{4}\) et \(u_0 = 1\). Pour tout réel \(x\), \(f(x) \in \left[\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}\right]\), donc ce segment est stable. De plus, \(|f^{\prime}(x)| = \dfrac{|\cos x|}{4} \leqslant \dfrac{1}{4}\). Ainsi, \(f\) est \(\dfrac{1}{4}\)-contractante et admet un unique point fixe \(\ell\) dans ce segment. Comme \(u_0\) et \(\ell\) sont dans un segment de longueur \(\dfrac{1}{2}\) centré en \(1\), on a \(|u_0 – \ell| \leqslant \dfrac{1}{4}\). Donc \(|u_n – \ell| \leqslant 4^{-(n+1)}\). Pour garantir une erreur d’au plus \(10^{-6}\), il suffit que \(4^{n+1} \geqslant 10^6\). Or \(4^{9} = 262\,144\) et \(4^{10} = 1\,048\,576\). Finalement, \(n = 9\) itérations suffisent, et l’on trouve \(\ell \approx 1{,}236\,13\).

• Si \(0 < |f^{\prime}(\ell)| < 1\), le point fixe est attractif : la convergence est géométrique, de raison voisine de \(|f^{\prime}(\ell)|\).
• Si \(f^{\prime}(\ell) = 0\), la convergence est plus rapide que toute suite géométrique. On parle de point superattractif.
• Si \(|f^{\prime}(\ell)| > 1\), le point fixe est répulsif : une suite ne peut y converger que si elle devient stationnaire.

1. Calculer \(f^{\prime}(\ell)\) pour savoir à quel type de convergence s’attendre.
2. Trouver un segment stable \(J\) contenant \(u_0\) et \(\ell\), puis majorer \(|f^{\prime}|\) par \(k < 1\) sur \(J\).
3. Majorer \(|u_0 – \ell|\) par la longueur de \(J\), ou mieux.
4. Résoudre \(k^n\,|u_0 – \ell| \leqslant \varepsilon\), soit \(n \geqslant \dfrac{\ln(\varepsilon / |u_0 – \ell|)}{\ln k}\).

Si \(h^{\prime}\) ne s’annule pas sur \(J\), la fonction de Newton associée à \(h\) est \(N(x) = x – \dfrac{h(x)}{h^{\prime}(x)}\). La méthode de Newton étudie la suite \(x_{n+1} = N(x_n)\).

Soit \(h\) dérivable sur \([\alpha, b]\) avec \(h(\alpha) = 0\). On suppose \(h^{\prime}\) croissante, \(h^{\prime} \geqslant m > 0\), et \(h^{\prime}\) lipschitzienne de rapport \(M\). Alors, pour tout \(x \in [\alpha, b]\), \[0 \leqslant N(x) – \alpha \leqslant \frac{M}{m}\,(x – \alpha)^2 \quad \text{et} \quad N(x) \leqslant x.\] Par conséquent, la suite de Newton issue de \(x_0 \in [\alpha, b]\) décroît et converge vers \(\alpha\).

Soit \(x \in \, ]\alpha, b]\). Le théorème des accroissements finis donne \(c \in \, ]\alpha, x[\) tel que \(h(x) = h^{\prime}(c)(x – \alpha)\). Ainsi, \[N(x) – \alpha = (x – \alpha)\,\frac{h^{\prime}(x) – h^{\prime}(c)}{h^{\prime}(x)}.\] Comme \(h^{\prime}\) est croissante, le numérateur est positif, donc \(N(x) \geqslant \alpha\). De plus, \(0 \leqslant h^{\prime}(x) – h^{\prime}(c) \leqslant M(x – c) \leqslant M(x – \alpha)\), ce qui donne la majoration. Enfin, \(h(x) \geqslant 0\) et \(h^{\prime}(x) > 0\), donc \(N(x) \leqslant x\). La suite reste dans \([\alpha, b]\) et décroît. Sa limite est un point fixe de \(N\), c’est-à-dire un zéro de \(h\), donc \(\alpha\) car \(h\) est strictement croissante.

Calculons \(\sqrt[3]{5}\) avec \(h(x) = x^3 – 5\) sur \([1{,}7\,;\,2]\). D’abord, \(h(1{,}7) = 4{,}913 – 5 < 0\) et \(h(2) = 3 > 0\), donc \(\alpha \in \, ]1{,}7\,;\,2[\). Ensuite, \(h^{\prime}(x) = 3x^2\) est croissante, minorée par \(m = 3 \times 1{,}7^2 = 8{,}67\). De plus, \(|h^{\prime\prime}| = 6x \leqslant 12\), donc \(M = 12\) et \(C = M/m \leqslant 1{,}4\). La fonction de Newton vaut \(N(x) = \dfrac{2x^3 + 5}{3x^2}\). En partant de \(x_0 = 2\), on trouve \(x_1 = 1{,}75\), donc \(e_1 \leqslant 0{,}05\). Puis \(e_2 \leqslant 1{,}4 \times 0{,}05^2 = 0{,}003\,5\), \(e_3 \leqslant 1{,}8 \times 10^{-5}\) et \(e_4 \leqslant 4{,}5 \times 10^{-10}\). Quatre étapes donnent donc \(\sqrt[3]{5} \approx 1{,}709\,975\,95\).

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• Bases utiles : Convergence des suites réelles et complexes, Étude de fonctions, fonctions réciproques et usuelles
• Chapitre d’avant : Convergence des suites réelles et complexes
• Chapitre d’après : Limite d'une fonction, continuité et TVI
• Vérifier ses acquis : QCM de maths sup (MPSI) sur suites itératives et point fixe
• Contrôle corrigé en temps limité : Étude d'une suite itérative : contrôle de maths en MPSI
• Tous les chapitres : le sommaire de maths sup (MPSI)
• Après le bac : les maths post-bac, de la MPSI à la L3