QCM : Changement de base et trace en maths sup (MPSI)

Réponse C.

La colonne \(j\) contient les coordonnées de l’image du \(j\)-ième vecteur de base. Or \(u(1)=1\), \(u(X)=1+X\) et \(u(X^2)=1+2X+X^2\). La matrice triangulaire inférieure range ces coordonnées en lignes : c’est la transposée. Le coefficient \(1\) à la place du \(2\) oublie le terme double de \((X+1)^2\). Enfin, le \(0\) en haut à droite perd le terme constant de \(u(X^2)\).

Réponse A.

Chaque colonne contient les coordonnées d’une image, qui vit dans \(F\) : il y a donc \(\dim F=2\) lignes. On compte une colonne par vecteur de base de \(E\), soit \(3\). L’isomorphisme entre \(\mathcal{L}(E,F)\) et l’espace des matrices à deux lignes et trois colonnes donne la dimension \(2\times 3=6\). La taille inversée confond espace de départ et d’arrivée. Par ailleurs, la dimension \(5\) additionne au lieu de multiplier.

Réponse D.

La composée se lit de droite à gauche : on applique \(f\), puis \(g\). Ainsi, la matrice de \(f\) est à droite, et la base d’arrivée \(\mathcal{C}\) de \(f\) doit être la base de départ de \(g\). Écrire le produit dans l’autre sens suit l’ordre d’écriture de \(g\circ f\) à l’envers. La version avec \(\mathcal{B},\mathcal{D}\) partout n’a pas de sens, car \(g\) part de \(F\). Enfin, échanger les bases inverse départ et arrivée.

Réponse D.

La troisième ligne est la somme des deux premières, donc le rang vaut au plus \(2\). De plus, \(L_1\) et \(L_2\) ne sont pas colinéaires, à cause du \(0\) et du \(1\) en troisième colonne. Le rang vaut donc \(2\). Répondre \(3\) revient à compter les lignes sans chercher de relation. La valeur \(1\) ne voit que la proportionnalité des deux premières colonnes. Enfin, \(4\) dépasse le nombre de lignes.

Réponse C.

Un système carré est de Cramer quand sa matrice est inversible. Ici, le déterminant de \(\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}\) vaut \(a^2-1\), qui s’annule en \(1\) et en \(-1\). La condition \(a\neq 1\) oublie la racine négative. Quant à \(a\neq 0\), elle confond la nullité d’un coefficient diagonal avec la non-inversibilité. Pour \(a=0\), le système donne d’ailleurs \(y=1\) et \(x=2\).

Réponse A.

On range en colonnes les composantes, dans \(\mathcal{B}\), de chaque vecteur de \(\mathcal{B}^{\prime}\). Ainsi, \(e_1+2e_2\) donne la colonne \((1,2)\) et \(e_2\) la colonne \((0,1)\). La matrice avec \(2\) en haut à droite écrit ces coordonnées en lignes. Celle avec \(-2\) est l’inverse, donc le passage de \(\mathcal{B}^{\prime}\) à \(\mathcal{B}\). Enfin, permuter les colonnes change l’ordre des vecteurs de \(\mathcal{B}^{\prime}\).

Réponse D.

Si \(X\) et \(X^{\prime}\) sont les coordonnées d’un même vecteur, alors \(X=PX^{\prime}\). On part donc de \(X^{\prime}\), on passe dans \(\mathcal{B}\) avec \(P\), on applique \(A\), puis on revient avec \(P^{-1}\). La formule \(PAP^{-1}\) inverse le sens du passage ; elle équivaut d’ailleurs à \(A=P^{-1}A^{\prime}P\), qui est donc fausse aussi. La transposée ne remplace l’inverse que si \(P\) est orthogonale, ce qui n’est pas supposé.

Réponse B.

Toute matrice de rang \(r\) est équivalente à \(J_r\), qui porte \(r\) coefficients \(1\) sur la diagonale et des \(0\) ailleurs. Par conséquent, à format fixé, le rang est le seul invariant de cette relation. La trace et la similitude n’ont aucun sens ici, car ces matrices ne sont pas carrées. Quant aux coefficients diagonaux, des opérations sur les lignes et les colonnes les modifient librement.

Réponse A.

Le rang d’une matrice égale celui de sa transposée : en effet, le nombre maximal de colonnes libres coïncide avec le nombre maximal de lignes libres. La formule \(p-\mathrm{rg}(A)\) rappelle le théorème du rang, mais elle donne la dimension du noyau. Une matrice extraite a un rang au plus égal, pas forcément égal. Enfin, des colonnes non nulles peuvent être proportionnelles.

Réponse B.

Les deux matrices ont la même trace \(2\), le même déterminant \(1\) et le même rang \(2\). Ces invariants ne permettent donc pas de conclure. En revanche, toute matrice semblable à \(I_2\) s’écrit \(P^{-1}I_2P=I_2\) : la seule matrice semblable à l’identité est l’identité elle-même. Or \(N\neq I_2\). Ainsi, partager trace, rang et déterminant ne suffit pas pour être semblables.

Réponse C.

La trace est linéaire, et la trace de \(AB\) égale celle de \(BA\). Par conséquent, \(\mathrm{tr}(AB-BA)=0\), tandis que la trace de \(I_n\) vaut \(n\neq 0\). Aucune taille ni aucune hypothèse d’inversibilité ne contourne cet argument. La réponse affirmant \(AB=BA\) part d’un fait faux : les produits matriciels ne commutent pas en général. Seule leur trace est égale.

Réponse B.

On regroupe \(ABC\) en \((AB)C\), puis on échange les deux blocs, ce que la trace autorise : il vient \(\mathrm{tr}(CAB)\). Ainsi, faire tourner les facteurs sans changer leur ordre cyclique ne modifie pas la trace. Échanger deux facteurs, comme dans \(BAC\) ou \(ACB\), donne en général une autre valeur. Enfin, la trace n’est pas multiplicative : déjà pour \(n=2\), \(\mathrm{tr}(I_2\,I_2)=2\), alors que le produit des traces vaut \(4\).