Injections, surjections et relations en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

L’écriture \(U \subset V\) signifie que chaque élément de \(U\) se trouve aussi dans \(V\) : \(U\) est alors une partie, ou un sous-ensemble, de \(V\). L’égalité \(U = V\) revient à la double inclusion \(U \subset V\) et \(V \subset U\). Toutes les parties de \(X\), réunies, forment un nouvel ensemble noté \(\mathcal{P}(X)\).

Pour prouver \(U \subset V\), on écrit « Soit \(x \in U\). » puis on établit \(x \in V\). Pour prouver \(U = V\), on mène deux fois ce raisonnement, dans un sens puis dans l’autre. On peut aussi enchaîner des équivalences, mais chacune doit alors être vraiment réversible.

Soient \(U\) et \(V\) deux parties d’un ensemble \(X\). On définit :

• la réunion \(U \cup V\), formée des éléments qui sont dans \(U\) ou dans \(V\) ;
• l’intersection \(U \cap V\), formée des éléments communs à \(U\) et \(V\) ;
• la différence \(U \setminus V\), formée des éléments de \(U\) qui ne sont pas dans \(V\) ;
• le complémentaire \(\overline{U} = X \setminus U\).

Enfin, pour deux ensembles \(X\) et \(Y\), le produit cartésien \(X \times Y\) est l’ensemble des couples \((x, y)\) avec \(x \in X\) et \(y \in Y\).

Pour toutes parties \(U\), \(V\), \(W\) de \(X\) :

\[\overline{U \cup V} = \overline{U} \cap \overline{V}, \qquad \overline{U \cap V} = \overline{U} \cup \overline{V}, \qquad U \cap (V \cup W) = (U \cap V) \cup (U \cap W).\]

Une partition de \(X\) est une famille de parties de \(X\), toutes non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut \(X\). Autrement dit, chaque élément de \(X\) appartient à une et une seule de ces parties.

Une application \(f \colon X \to Y\) associe à chaque élément \(x\) de \(X\) un unique élément \(f(x)\) de \(Y\). L’ensemble \(X\) est l’ensemble de départ, et \(Y\) l’ensemble d’arrivée. Quant à une famille \((x_i)_{i \in I}\) d’éléments de \(X\), c’est simplement une façon indicée de noter l’application \(i \mapsto x_i\), définie sur l’ensemble d’indices \(I\).

Soit \(U\) une partie de \(X\). La fonction indicatrice de \(U\) est l’application \(\mathbf{1}_U : X \to \{0, 1\}\) qui vaut \(1\) sur \(U\) et \(0\) ailleurs.

Pour toutes parties \(U\) et \(V\) de \(X\), on a \(U = V\) si et seulement si \(\mathbf{1}_U = \mathbf{1}_V\). De plus :

\[\mathbf{1}_{U \cap V} = \mathbf{1}_U \mathbf{1}_V, \qquad \mathbf{1}_{\overline{U}} = 1 – \mathbf{1}_U, \qquad \mathbf{1}_{U \cup V} = \mathbf{1}_U + \mathbf{1}_V – \mathbf{1}_U \mathbf{1}_V.\]

Pour établir une égalité d’ensembles avec les indicatrices :

1. on traduit chaque membre en une expression polynomiale en \(\mathbf{1}_U\), \(\mathbf{1}_V\), \(\mathbf{1}_W\) ;
2. on développe, en utilisant \(\mathbf{1}_U^2 = \mathbf{1}_U\), puisque \(0^2 = 0\) et \(1^2 = 1\) ;
3. on constate que les deux expressions coïncident ;
4. on conclut par l’égalité des indicatrices.

Montrons que \(U \setminus (V \cap W) = (U \setminus V) \cup (U \setminus W)\). Notons \(a\), \(b\), \(c\) les trois indicatrices. D’abord, \(U \setminus H = U \cap \overline{H}\), donc le membre de gauche a pour indicatrice \(a(1 – bc)\).

Ensuite, \(U \setminus V\) et \(U \setminus W\) ont pour indicatrices \(a(1 – b)\) et \(a(1 – c)\). Leur réunion a donc pour indicatrice :

\[a(1 – b) + a(1 – c) – a^2(1 – b)(1 – c) = 2a – ab – ac – a(1 – b – c + bc) = a – abc.\]

On retrouve \(a(1 – bc)\). Par conséquent, les deux ensembles sont égaux.

On fixe une application \(f\) de \(X\) vers \(Y\). Une partie \(U\) de l’ensemble de départ fournit l’ensemble \(f(U) = \{f(a) \mid a \in U\}\) de toutes ses images : c’est son image directe, contenue dans \(Y\). À l’inverse, une partie \(W\) de l’ensemble d’arrivée fournit \(f^{-1}(W) = \{t \in X \mid f(t) \in W\}\), ensemble des éléments qui atterrissent dans \(W\) : c’est son image réciproque, contenue dans \(X\).

Soit \(h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(h(x) = 4 – x^2\), et \(W = [0, 3]\). On a \(x \in h^{-1}(W)\) si et seulement si \(0 \leq 4 – x^2 \leq 3\), c’est-à-dire \(1 \leq x^2 \leq 4\). Donc \(h^{-1}(W) = [-2, -1] \cup [1, 2]\).

Ensuite, calculons \(h([-1, 2])\). Sur \([-1, 0]\), \(h\) croît de \(3\) à \(4\). Sur \([0, 2]\), elle décroît de \(4\) à \(0\). Ainsi, \(h([-1, 2]) = [0, 4]\).

Pour \(U, V \subset X\) et \(W, T \subset Y\) :

• \(f(U \cup V) = f(U) \cup f(V)\) et \(f(U \cap V) \subset f(U) \cap f(V)\) ;
• \(f^{-1}(W \cup T) = f^{-1}(W) \cup f^{-1}(T)\) et \(f^{-1}(W \cap T) = f^{-1}(W) \cap f^{-1}(T)\) ;
• \(f^{-1}(Y \setminus W) = X \setminus f^{-1}(W)\).

Soit \(f\) une application de \(X\) vers \(Y\). On dit que :

• \(f\) est injective lorsque deux éléments qui ont la même image sont égaux : \(\forall x_1, x_2 \in X,\ \bigl(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\bigr)\) ;
• \(f\) est surjective lorsque chaque élément de \(Y\) est atteint : \(\forall z \in Y,\ \exists t \in X,\ f(t) = z\), ce qui s’écrit aussi \(f(X) = Y\) ;
• \(f\) est bijective lorsqu’elle a les deux propriétés ; ainsi, chaque élément de \(Y\) possède un antécédent et un seul.

1. Injectivité. On fixe \(x, x^{\prime}\) avec \(f(x) = f(x^{\prime})\), puis on calcule jusqu’à obtenir \(x = x^{\prime}\). Une fonction réelle strictement monotone est aussi injective.
2. Non-injectivité. On exhibe deux éléments distincts de même image.
3. Surjectivité. On fixe \(y \in Y\) et l’on résout \(f(x) = y\) d’inconnue \(x \in X\), en vérifiant que la solution est bien dans \(X\).
4. Bijectivité. On montre que l’équation \(f(x) = y\) a une unique solution, ce qui donne aussi la réciproque.

Soit \(\sigma : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\) définie par \(\sigma(n) = 2n\) si \(n \geq 0\) et \(\sigma(n) = -2n – 1\) si \(n < 0\). Ainsi, \(\sigma\) envoie les entiers positifs sur les pairs et les négatifs stricts sur les impairs.

Soit \(m \in \mathbb{N}\). Si \(m\) est pair, l’équation \(\sigma(n) = m\) impose \(n \geq 0\), car sinon \(\sigma(n)\) serait impair. Elle a alors pour unique solution \(n = m/2\). Si \(m\) est impair, elle impose \(n < 0\) et donne \(n = -(m + 1)/2\), qui est bien strictement négatif. Chaque \(m\) a donc un unique antécédent : \(\sigma\) est une bijection.

Soient \(f \colon X \to Y\) et \(g \colon Y \to Z\). Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g \circ f\) l’est. Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g \circ f\) l’est. Enfin, si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \(g \circ f\) est bijective et \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

Supposons \(f\) et \(g\) injectives et \(g(f(x)) = g(f(x^{\prime}))\). L’injectivité de \(g\) donne \(f(x) = f(x^{\prime})\), puis celle de \(f\) donne \(x = x^{\prime}\). Supposons ensuite \(f\) et \(g\) surjectives et soit \(z \in Z\). On choisit \(y \in Y\) avec \(g(y) = z\), puis \(x \in X\) avec \(f(x) = y\). Alors \(g \circ f(x) = z\). Enfin, \((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = \mathrm{id}_X\) et \((g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = \mathrm{id}_Z\), d’où la formule.

Pour établir la bijectivité de \(f\), il suffit de trouver une application \(g\) de \(Y\) vers \(X\) qui « défait » \(f\) des deux côtés : \(g\) composée après \(f\) donne l’identité de \(X\), et \(f\) composée après \(g\) donne celle de \(Y\). Une telle \(g\) est forcément unique, et c’est \(f^{-1}\). Ce critère dispense de traiter injectivité et surjectivité l’une après l’autre.

Une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(X\) est une relation d’équivalence si elle est réflexive (\(x \mathcal{R} x\)), symétrique (\(x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x\)) et transitive (\(x \mathcal{R} y\) et \(y \mathcal{R} z\) entraînent \(x \mathcal{R} z\)). La classe de \(x\) est l’ensemble \(\mathrm{cl}(x) = \{y \in X,\ x \mathcal{R} y\}\).

Les classes d’une relation d’équivalence sur \(X\) forment une partition de \(X\).

D’abord, chaque classe est non vide, car \(x \in \mathrm{cl}(x)\) par réflexivité. Pour la même raison, la réunion des classes vaut \(X\). Ensuite, supposons que \(\mathrm{cl}(x)\) et \(\mathrm{cl}(y)\) aient un élément commun \(z\). Soit \(t \in \mathrm{cl}(x)\). Par symétrie et transitivité, on obtient \(t \mathcal{R} x\), puis \(x \mathcal{R} z\), puis \(z \mathcal{R} y\), donc \(y \mathcal{R} t\). Ainsi \(\mathrm{cl}(x) \subset \mathrm{cl}(y)\), et l’inclusion inverse se montre de même. Deux classes sont donc disjointes ou égales.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \((x_1, y_1) \mathcal{R} (x_2, y_2)\) si \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\). Cette relation s’écrit \(N(p) = N(p^{\prime})\), avec \(N(x, y) = x^2 + y^2\). Elle hérite donc des trois propriétés de l’égalité : c’est une relation d’équivalence.

La classe d’un point \(p\) est le cercle de centre \(O\) qui passe par \(p\). Par exemple, la classe de \((0, 0)\) se réduit à ce seul point. Les cercles concentriques réalisent bien une partition du plan.

1. On cherche d’abord si la relation s’écrit « \(\varphi(x) = \varphi(y)\) » pour une fonction \(\varphi\) bien choisie. Si oui, les trois propriétés sont acquises d’un coup.
2. Sinon, on vérifie séparément réflexivité, symétrie et transitivité, en fixant des éléments quelconques.
3. Pour décrire la classe de \(x\), on résout l’équation d’inconnue \(y\) donnée par « \(x \mathcal{R} y\) ».
4. On termine en choisissant un représentant simple par classe, puis en vérifiant que chaque élément tombe dans une seule d’entre elles.

Une relation \(\preccurlyeq\) sur \(X\) est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique (\(x \preccurlyeq y\) et \(y \preccurlyeq x\) entraînent \(x = y\)) et transitive. L’ordre est total si deux éléments quelconques sont toujours comparables. Sinon, on dit qu’il est partiel.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \((x, y) \trianglelefteq (x^{\prime}, y^{\prime})\) si \(x \leq x^{\prime}\) et \(y \leq y^{\prime}\). D’abord, la réflexivité et la transitivité viennent de celles de \(\leq\), coordonnée par coordonnée. Ensuite, si les deux comparaisons ont lieu dans les deux sens, chaque coordonnée est égale, d’où l’antisymétrie.

Cet ordre n’est cependant pas total. En effet, les points \((1, 0)\) et \((0, 1)\) ne sont pas comparables : le premier est plus à droite, le second plus haut. Géométriquement, les points supérieurs à \((a, b)\) remplissent le quart de plan situé au nord-est de ce point.

La divisibilité est un ordre sur \(\mathbb{N}^{*}\), mais pas sur \(\mathbb{Z}\). En effet, \(5\) divise \(-5\) et \(-5\) divise \(5\), alors que \(5 \neq -5\). L’antisymétrie tombe en défaut. Par ailleurs, la relation « \(<\) » sur \(\mathbb{R}\) n’est pas un ordre au sens du cours, puisqu’elle n’est pas réflexive.

Soit \(U\) une partie de \(X\) muni d’un ordre \(\preccurlyeq\). Un élément \(M\) de \(X\) est un majorant de \(U\) si \(a \preccurlyeq M\) pour tout \(a \in U\). Si, de plus, \(M\) appartient à \(U\), on dit que \(M\) est le plus grand élément de \(U\). On définit de même minorant et plus petit élément.

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