Primitives de fractions rationnelles : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : primitives de fractions rationnelles

Le sujet du contrôle : primitives de fractions rationnelles

Exercice 1 – Décompositions en éléments simples sur R (4 points)

On considère les deux fractions rationnelles suivantes, vues comme fonctions de la variable réelle \(x\) :

\[R_1(x) = \frac{x^2 + 2}{x(x – 1)(x + 2)} \quad \text{et} \quad R_2(x) = \frac{2x + 1}{(x – 1)^2(x + 1)}.\]

1. Décomposer d’abord \(R_1\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\), puis contrôler le résultat en une valeur de \(x\). (1,5 point)
2. Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(R_2(x) = \dfrac{a}{x – 1} + \dfrac{b}{(x – 1)^2} + \dfrac{c}{x + 1}\), puis donner une primitive de \(R_2\) sur \(\left]1\,;+\infty\right[\). (1,5 point)
3. Calculer enfin \(\displaystyle\int_2^3 R_1(x)\,\mathrm{d}x\) et l’écrire sous la forme \(\ln q\), avec \(q\) rationnel. (1 point)

Exercice 2 – Trinômes sans racine réelle (4 points)

Dans cet exercice, toutes les primitives sont demandées sur l’intervalle indiqué, et l’on rappelle qu’une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 1}\) est la fonction arctangente.

1. Mettre tout d’abord \(x^2 + 2x + 5\) sous forme canonique. En déduire alors une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(x \mapsto \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\), puis la valeur de \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 2x + 5}\). (1,5 point)
2. Trouver ensuite une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(x \mapsto \dfrac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\). (1 point)
3. Enfin, on pose \(S(x) = \dfrac{x^2 + 3x}{(x – 1)(x^2 + 1)}\). Décomposer \(S\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\), puis en donner une primitive sur \(\left]1\,;+\infty\right[\). (1,5 point)

Exercice 3 – Racines de l’unité et dérivée logarithmique (4 points)

On note \(j = \mathrm{e}^{2i\pi/3}\). Pour un entier \(n \geq 1\), on note aussi \(\omega_k = \mathrm{e}^{2ik\pi/n}\) pour \(0 \leq k \leq n – 1\) : ce sont les racines de \(X^n – 1\). La figure place donc les trois racines cubiques de l’unité, ainsi que le point d’affixe 2, qui sert à la question 3.

1. Décomposer \(\dfrac{1}{X^3 – 1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{C}\). On rappellera pourquoi le coefficient associé à un pôle simple \(a\) d’une fraction \(\dfrac{A}{B}\) vaut \(\dfrac{A(a)}{B^{\prime}(a)}\). (1 point)
2. Soit \(P = c\,(X – a_1)^{m_1} \cdots (X – a_r)^{m_r}\) un polynôme scindé sur \(\mathbb{C}\), à racines \(a_1, \ldots, a_r\) distinctes. Démontrer que \(\dfrac{P^{\prime}}{P} = \displaystyle\sum_{k=1}^{r} \frac{m_k}{X – a_k}\). (1 point)
3. En appliquant la question 2 à \(X^n – 1\), établir que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 – \omega_k} = \frac{n\,2^{n-1}}{2^n – 1}\). Vérifier ensuite cette formule pour \(n = 2\) par un calcul direct. (1 point)
4. Regrouper enfin dans la question 1 les termes associés à \(j\) et à \(\overline{j}\) pour obtenir la décomposition sur \(\mathbb{R}\) de \(\dfrac{1}{x^3 – 1}\). (1 point)

Exercice 4 – Changements de variable trigonométriques (3 points)

On souhaite calculer les deux intégrales suivantes, dont la première est l’aire hachurée de la figure :

\[I = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{2 + \cos x} \quad \text{et} \quad K = \int_0^{\pi/4} \frac{\mathrm{d}x}{1 + \sin^2 x}.\]

1. Justifier que \(t = \tan\frac{x}{2}\) définit un changement de variable licite sur \(\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]\), puis exprimer \(\cos x\) et \(\mathrm{d}x\) en fonction de \(t\). (1 point)
2. En déduire la valeur exacte de \(I\). (1 point)
3. Comme l’intégrande de \(K\) est invariant quand \(x\) devient \(x + \pi\), utiliser cette fois \(t = \tan x\) pour calculer \(K\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : une fraction, une somme et une intégrale (5 points)

Pour \(x > 0\), on note \(f(x) = \dfrac{1}{x(x + 1)(x + 2)}\) ; sa courbe figure plus bas. Ainsi, une seule décomposition va servir dans les quatre parties, puisque chacune ramène le calcul à \(f\).

1. Partie A. Décomposer \(f(x)\) en éléments simples, puis vérifier la décomposition en \(x = 1\). (1 point)
2. Partie B. Montrer qu’une primitive de \(f\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) est \(x \mapsto \frac{1}{2}\ln\left(\dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}\right)\). Calculer alors l’aire hachurée \(\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x\). (1,5 point)
3. Partie C. Pour \(N \geq 1\), on pose \(S_N = \displaystyle\sum_{k=1}^{N} f(k)\). Écrire \(f(k)\) comme différence de deux termes consécutifs d’une même suite, puis calculer \(S_N\) et sa limite. (1,5 point)
4. Partie D. Par le changement de variable \(u = \mathrm{e}^{x}\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{\ln 2} \frac{\mathrm{d}x}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)\left(\mathrm{e}^{x} + 2\right)}\) est égale à l’intégrale de la partie B. (1 point)

Réviser primitives de fractions rationnelles avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours calcul de primitives puis pgcd de polynômes et décomposition en éléments simples ; entraînez-vous sur les exercices calcul de primitives et pgcd de polynômes et décomposition en éléments simples avant de retenter le sujet.

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