IPP et changement de variable en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Prenons \(f : I \to \mathbb{K}\). Une fonction \(F : I \to \mathbb{K}\) est une primitive de \(f\) lorsqu’elle est dérivable en chaque point de \(I\), avec \(F^{\prime} = f\) partout sur \(I\).

Supposons connue une primitive \(F\) de \(f\) sur l’intervalle \(I\). Toutes les autres s’obtiennent en ajoutant à \(F\) une constante \(C\), et seulement ainsi.

D’abord, \(F + C\) a la même dérivée que \(F\). Réciproquement, prenons \(G\) dérivable avec \(G^{\prime} = f\). La différence \(G – F\) a une dérivée identiquement nulle. Comme \(I\) est d’un seul tenant, l’inégalité des accroissements finis force \(G – F\) à garder la même valeur partout.

Sur \(\mathbb{R}^{*}\), qui n’est pas un intervalle, les fonctions \(x \mapsto -1/x\) et \(G\) définie par \(G(x) = -1/x + 3\) si \(x > 0\) et \(G(x) = -1/x – 7\) si \(x < 0\) ont la même dérivée \(1/x^2\). Pourtant, leur différence n’est pas constante. Ainsi, sur une réunion d’intervalles, on dispose d’une constante par morceau.

Prenons \(f\) continue sur \(I\) et un point \(a\) de \(I\). Alors \(F_a : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est dérivable, de dérivée \(f\) ; elle est même \(\mathcal{C}^1\). De plus, aucune autre primitive de \(f\) ne prend la valeur \(0\) au point \(a\).

Fixons \(x_0 \in I\) et \(\varepsilon > 0\). Puisque \(f\) est continue au point \(x_0\), on dispose d’un \(\eta > 0\) qui assure \(|f(t) – f(x_0)| \leq \varepsilon\) pour tout \(t\) de \(I\) à distance au plus \(\eta\) de \(x_0\). Pour \(0 < |h| \leq \eta\) avec \(x_0 + h \in I\), la relation de Chasles donne :

\[\left| \frac{F_a(x_0+h) – F_a(x_0)}{h} – f(x_0) \right| = \left| \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} \big(f(t) – f(x_0)\big)\,\mathrm{d}t \right| \leq \varepsilon.\]

Par conséquent, le taux d’accroissement tend vers \(f(x_0)\). Enfin, l’unicité découle de la propriété précédente.

Prenons \(f\) continue sur \(I\), puis n’importe laquelle de ses primitives \(F\). Pour tous \(a, b \in I\), on a :

\[\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) – F(a) = \big[F(t)\big]_a^b.\]

• \(x^{\alpha}\) a pour primitive \(x^{\alpha+1}/(\alpha+1)\) pour \(\alpha \neq -1\) (sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) en général) ; \(\dfrac{1}{x}\) a pour primitive \(\ln|x|\) (sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) ou \(\mathbb{R}_{-}^{*}\)).
• \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) a pour primitive \(\dfrac{\mathrm{e}^{\lambda x}}{\lambda}\) pour \(\lambda \in \mathbb{C}^{*}\).
• \(\cos x\), \(\sin x\) ont pour primitives \(\sin x\), \(-\cos x\) ; \(1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) a pour primitive \(\tan x\) (sur \(]-\pi/2, \pi/2[\)) ; \(\tan x\) a pour primitive \(-\ln|\cos x|\).
• \(\mathrm{ch}\,x\), \(\mathrm{sh}\,x\) ont pour primitives \(\mathrm{sh}\,x\), \(\mathrm{ch}\,x\).
• \(\dfrac{1}{1+x^2}\) a pour primitive \(\arctan x\) (sur \(\mathbb{R}\)) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) a pour primitive \(\arcsin x\) (sur \(]-1, 1[\)).

Si \(u\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\), alors, sous réserve que les expressions aient un sens :

\[\int u^{\prime}u^{n} = \frac{u^{n+1}}{n+1},\quad \int \frac{u^{\prime}}{u} = \ln|u|,\quad \int \frac{u^{\prime}}{1+u^2} = \arctan u,\quad \int \frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^2}} = \arcsin u.\]

Calculons \(A = \int_0^{3} \dfrac{\mathrm{d}x}{9+x^2}\) et \(B = \int_0^{1} \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2-x^2}}\).

1. Avec \(a = 3\), une primitive de \(1/(9+x^2)\) est \(\frac{1}{3}\arctan(x/3)\). Donc \(A = \frac{1}{3}\big(\arctan 1 – \arctan 0\big) = \dfrac{\pi}{12}\).
2. Avec \(a = \sqrt{2}\), une primitive est \(\arcsin(x/\sqrt{2})\) sur \(]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[\), qui contient \([0, 1]\). Ainsi, \(B = \arcsin\big(1/\sqrt{2}\big) = \dfrac{\pi}{4}\).

Pour \(\lambda = a + \mathrm{i}b \neq 0\), on a \(\mathrm{e}^{ax}\cos(bx) = \mathrm{Re}\big(\mathrm{e}^{\lambda x}\big)\) et \(\mathrm{e}^{ax}\sin(bx) = \mathrm{Im}\big(\mathrm{e}^{\lambda x}\big)\). Or une primitive de \(\mathrm{e}^{\lambda x}\) est \(\mathrm{e}^{\lambda x}/\lambda\). Comme la dérivation commute avec les parties réelle et imaginaire, il suffit de prendre \(\mathrm{Re}\) ou \(\mathrm{Im}\) de \(\mathrm{e}^{\lambda x}/\lambda\).

1. Écrire la fonction comme partie réelle ou imaginaire de \(\mathrm{e}^{(a+\mathrm{i}b)x}\).
2. Primitiver : \(\mathrm{e}^{(a+\mathrm{i}b)x}/(a+\mathrm{i}b)\).
3. Multiplier en haut et en bas par le conjugué \(a – \mathrm{i}b\), ce qui fait apparaître \(a^2 + b^2\).
4. Développer le produit \((\cos bx + \mathrm{i}\sin bx)(a – \mathrm{i}b)\) et extraire la bonne partie.

Cherchons une primitive de \(g : x \mapsto \mathrm{e}^{3x}\sin(2x)\) sur \(\mathbb{R}\). On a \(g(x) = \mathrm{Im}\big(\mathrm{e}^{(3+2\mathrm{i})x}\big)\). Ensuite :

\[\frac{\mathrm{e}^{(3+2\mathrm{i})x}}{3+2\mathrm{i}} = \frac{\mathrm{e}^{3x}\big(\cos 2x + \mathrm{i}\sin 2x\big)(3-2\mathrm{i})}{13}.\]

La partie imaginaire du produit vaut \(3\sin 2x – 2\cos 2x\). Donc une primitive est \(G(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{3x}\big(3\sin 2x – 2\cos 2x\big)}{13}\). Vérifions : \(G^{\prime}(x) = \frac{\mathrm{e}^{3x}}{13}\big(9\sin 2x – 6\cos 2x + 6\cos 2x + 4\sin 2x\big) = \mathrm{e}^{3x}\sin 2x\).

• Si \(\Delta > 0\), le trinôme a deux racines réelles distinctes \(r\) et \(s\). On a alors \(\dfrac{1}{a(x-r)(x-s)} = \dfrac{1}{a(r-s)}\left(\dfrac{1}{x-r} – \dfrac{1}{x-s}\right)\). Sur tout intervalle évitant \(r\) et \(s\), une primitive est \(\dfrac{1}{a(r-s)}\ln\left|\dfrac{x-r}{x-s}\right|\).
• Si \(\Delta = 0\), on a \(ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2\). Une primitive est \(-\dfrac{1}{a(x-x_0)}\).
• Si \(\Delta < 0\), on pose \(\omega = \dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2|a|}\). La forme canonique s’écrit \(a\big[(x-\alpha)^2 + \omega^2\big]\) avec \(\alpha = -b/(2a)\). Une primitive sur \(\mathbb{R}\) est \(\dfrac{1}{a\,\omega}\arctan\dfrac{x-\alpha}{\omega}\).

1. Calculer \(\Delta\) (ou repérer directement une identité remarquable).
2. Si \(\Delta \geq 0\), factoriser et décomposer en éléments simples.
3. Si \(\Delta < 0\), mettre \(a\) en facteur, compléter le carré, puis faire apparaître \(\omega^2\) sous la forme d’un carré.
4. Conclure avec la formule de \(1/(\omega^2 + u^2)\) et vérifier par dérivation.

Traitons trois trinômes, un par cas.

1. \(x^2 – x – 6 = (x-3)(x+2)\), donc \(\dfrac{1}{x^2-x-6} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{x-3} – \dfrac{1}{x+2}\right)\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, -2[\), \(]-2, 3[\) et \(]3, +\infty[\), une primitive est \(\dfrac{1}{5}\ln\left|\dfrac{x-3}{x+2}\right|\).
2. \(4x^2 – 4x + 1 = (2x-1)^2\). Sur \(]-\infty, 1/2[\) ou \(]1/2, +\infty[\), une primitive est \(-\dfrac{1}{2(2x-1)}\), car la dérivée de \(2x – 1\) vaut \(2\).
3. \(2x^2 + 4x + 10 = 2\big[(x+1)^2 + 4\big]\). Donc, sur \(\mathbb{R}\), une primitive est \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{1}{4}\arctan\dfrac{x+1}{2}\).

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur le segment \([a, b]\). Alors :

\[\int_a^b u(t)\,v^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t = \big[u(t)\,v(t)\big]_a^b – \int_a^b u^{\prime}(t)\,v(t)\,\mathrm{d}t.\]

En termes de primitives, sur un intervalle \(I\) : \(\int u\,v^{\prime} = u\,v – \int u^{\prime}v\).

La fonction \(uv\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\). Les deux termes sont continus, donc intégrables sur \([a, b]\). En intégrant, on obtient \(\big[uv\big]_a^b = \int_a^b u^{\prime}v + \int_a^b uv^{\prime}\), ce qui est la formule.

1. Repérer le facteur à dériver : en priorité un logarithme ou une fonction circulaire réciproque, puis un polynôme.
2. Choisir \(v\) parmi les primitives du facteur restant ; la constante est libre et peut simplifier les calculs.
3. Écrire une phrase de justification : « \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a, b]\) ».
4. Appliquer la formule et calculer le crochet avant l’intégrale restante.

Calculons \(K = \int_0^1 x\arctan x\,\mathrm{d}x\). On dérive \(u = \arctan\), de dérivée \(1/(1+x^2)\). Pour \(v\), on prend astucieusement \(v(x) = \dfrac{x^2+1}{2}\), qui est bien une primitive de \(x\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, 1]\). Ainsi :

\[K = \left[\frac{x^2+1}{2}\arctan x\right]_0^1 – \int_0^1 \frac{x^2+1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2}.\]

Ainsi, le choix de la constante a fait disparaître toute fraction dans l’intégrale restante.

Pour \(\int (x^2 – 3x)\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\), posons \(Q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\). On veut \(Q + Q^{\prime} = x^2 – 3x\), soit \(\alpha = 1\), \(\beta + 2\alpha = -3\) et \(\gamma + \beta = 0\). Donc \(\beta = -5\), \(\gamma = 5\), et une primitive est \((x^2 – 5x + 5)\,\mathrm{e}^{x}\).

Soit \(\varphi : [\alpha, \beta] \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f\) continue sur un intervalle \(I\) contenant \(\varphi([\alpha, \beta])\). Alors :

\[\int_{\alpha}^{\beta} f\big(\varphi(t)\big)\,\varphi^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Grâce à la continuité de \(f\), le théorème fondamental fournit une primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\). Par composition, \(F \circ \varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([\alpha, \beta]\), de dérivée \((f \circ \varphi)\,\varphi^{\prime}\). Par le lien intégrale-primitive, le membre de gauche vaut donc \(F(\varphi(\beta)) – F(\varphi(\alpha))\). Or c’est aussi la valeur du membre de droite.

1. Choisir la nouvelle variable et vérifier que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\).
2. Écrire l’élément différentiel : \(\mathrm{d}x = \varphi^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t\), ou \(\mathrm{d}t = \psi^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x\) dans l’autre sens.
3. Transformer les bornes en même temps que l’intégrande, jamais après.
4. Exprimer tout l’intégrande avec la nouvelle variable, sans reste de l’ancienne.

Calculons \(L = \int_1^4 \dfrac{\mathrm{d}x}{x + \sqrt{x}}\). Posons \(t = \sqrt{x}\), soit \(x = t^2\) avec \(t \in [1, 2]\). L’application \(t \mapsto t^2\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([1, 2]\), de dérivée \(2t\) ; l’élément \(\mathrm{d}x\) devient donc \(2t\) fois \(\mathrm{d}t\). Alors :

\[L = \int_1^2 \frac{2t}{t^2 + t}\,\mathrm{d}t = \int_1^2 \frac{2}{t+1}\,\mathrm{d}t = 2\ln\frac{3}{2}.\]

• Présence de \(\sqrt{1-x^2}\) : poser \(x = \sin\theta\) avec \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\), de sorte que \(\sqrt{1-x^2} = \cos\theta\).
• Présence de \(\sqrt{x}\) ou de \(\sqrt{ax+b}\) : poser \(t\) égal à cette racine.
• Fraction rationnelle en \(\mathrm{e}^{x}\) : poser \(t = \mathrm{e}^{x}\), donc \(\mathrm{d}x = \mathrm{d}t/t\).
• Fraction rationnelle en \(\cos x\) et \(\sin x\) : poser \(t = \tan(x/2)\) sur \(]-\pi, \pi[\), avec \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\), \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\), et la dérivée de \(t \mapsto 2\arctan t\) vaut \(2/(1+t^2)\).
• Symétrie de l’intervalle : poser \(x = a + b – t\) sur \([a, b]\), en particulier \(x = \pi/2 – t\) sur \([0, \pi/2]\).

Calculons \(M = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\). Posons \(x = \sin\theta\), avec \(\theta \in [0, \pi/2]\). La fonction sinus est de classe \(\mathcal{C}^1\), et \(\cos\theta \geq 0\) sur cet intervalle. Donc \(\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta\) et :

\[M = \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{4}.\]

Ce résultat est attendu : \(M\) est l’aire d’un quart de disque de rayon \(1\).

Soit \(a > 0\) et \(f\) continue sur \([-a, a]\). Si \(f\) est impaire, alors \(\int_{-a}^{a} f = 0\). Si \(f\) est paire, alors \(\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^{a} f\). Enfin, si \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et \(T\)-périodique, l’intégrale de \(g\) sur un segment de longueur \(T\) ne dépend pas de la position de ce segment.

Coupons en \(0\) par la relation de Chasles. Dans \(\int_{-a}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\), posons \(x = -t\) : on obtient \(\int_0^{a} f(-t)\,\mathrm{d}t\). Celle-ci vaut \(-\int_0^a f\) si \(f\) est impaire, et \(\int_0^a f\) si \(f\) est paire. Pour la périodicité, on montre de même que \(c \mapsto \int_c^{c+T} g\) a une dérivée \(g(c+T) – g(c)\) nulle.

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• Chapitre d’avant : Étude de fonctions, fonctions réciproques et usuelles
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