Sommes directes, dimension et rang : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : sommes directes, dimension et rang

Le sujet du contrôle : sommes directes, dimension et rang

Exercice 1 – Un plan et une droite de l’espace (3 points)

On travaille dans \(\mathbb{R}^3\) avec le plan \(P\) défini par \(2x – y + z = 0\) et avec la droite \(D\) engendrée par \(u = (1, 1, 1)\). Cette figure n’est pas à l’échelle.

1. Justifier que \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) et en donner une base. Montrer ensuite que \(P \cap D = \{0\}\). (1 point)
2. Démontrer par analyse-synthèse que \(\mathbb{R}^3 = P \oplus D\), en exprimant les deux composantes d’un vecteur \((a, b, c)\) quelconque. (1,5 point)
3. Décomposer alors le vecteur \(w = (3, 0, -1)\) selon cette somme directe. (0,5 point)

Exercice 2 – Grassmann dans les polynômes de degré au plus 3 (4 points)

Dans \(E = \mathbb{R}_3[X]\), on pose \(F = \{P \in E : P(1) = 0\}\) et \(G = \{P \in E : P^{\prime}(0) = 0 \text{ et } P(-1) = 0\}\).

1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), puis que \((X – 1, X^2 – 1, X^3 – 1)\) en est une base. (1 point)
2. Prouver que \((1 + X^3, X^2 + X^3)\) est une base de \(G\). (1 point)
3. Déterminer \(F \cap G\), puis la dimension de \(F + G\) grâce à la formule de Grassmann. La somme \(F + G\) est-elle directe ? (1 point)
4. On pose \(H = \mathrm{Vect}(1 + X^3)\). Montrer que \(H\) est à la fois un supplémentaire de \(F\) dans \(E\) et un supplémentaire de \(F \cap G\) dans \(G\). (1 point)

Exercice 3 – Rang d’une composée (4 points)

On fixe un espace vectoriel réel \(E\) de dimension \(n \geq 1\), ainsi que deux endomorphismes \(u\) et \(v\) de \(E\). Le schéma ci-dessous, purement symbolique, situe les sous-espaces qui interviennent.

1. Établir les inclusions \(\mathrm{Ker}\,u \subset \mathrm{Ker}(v \circ u)\) et \(\mathrm{Im}(v \circ u) \subset \mathrm{Im}\,v\). En déduire que \(\mathrm{rg}(v \circ u) \leq \min(\mathrm{rg}\,u, \mathrm{rg}\,v)\). (1 point)
2. On note \(w\) la restriction de \(v\) au sous-espace \(\mathrm{Im}\,u\). Déterminer le noyau et l’image de \(w\), puis démontrer que \(\mathrm{rg}(v \circ u) = \mathrm{rg}\,u – \dim(\mathrm{Ker}\,v \cap \mathrm{Im}\,u)\). (1,5 point)
3. En déduire l’inégalité \(\mathrm{rg}\,u + \mathrm{rg}\,v – n \leq \mathrm{rg}(v \circ u)\). Montrer enfin que si \(u \circ u = 0\), alors \(\mathrm{rg}\,u \leq \frac{n}{2}\). (1,5 point)

Exercice 4 – Un endomorphisme de R3[X] diagonal sans le dire (4 points)

Pour \(P \in \mathbb{R}_3[X]\), on pose \(\varphi(P) = (X – 1)P^{\prime} – 2P\).

1. Vérifier que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_3[X]\). (0,5 point)
2. Justifier que \(\left(1, X – 1, (X – 1)^2, (X – 1)^3\right)\) est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\). Calculer ensuite \(\varphi\left((X – 1)^k\right)\) pour \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). (1 point)
3. Déterminer le noyau de \(\varphi\), puis son rang. (1 point)
4. Montrer que \(\mathrm{Im}\,\varphi = \{Q \in \mathbb{R}_3[X] : Q^{\prime\prime}(1) = 0\}\). Prouver alors que \(\mathbb{R}_3[X] = \mathrm{Ker}\,\varphi \oplus \mathrm{Im}\,\varphi\). (1,5 point)

Exercice 5 – Problème : noyaux itérés et décomposition de Fitting (5 points)

Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension \(n \geq 1\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\). On pose \(u^0 = \mathrm{id}_E\), puis, pour tout entier \(p \geq 0\), \(K_p = \mathrm{Ker}(u^p)\) et \(I_p = \mathrm{Im}(u^p)\).

1. Montrer que, pour tout \(p\), \(K_p \subset K_{p+1}\) et \(I_{p+1} \subset I_p\). (1 point)
2. On suppose qu’un entier \(r\) vérifie \(K_r = K_{r+1}\). Démontrer que \(K_p = K_r\) pour tout \(p \geq r\). (1 point)
3. Justifier l’existence d’un plus petit entier \(r \leq n\) tel que \(K_r = K_{r+1}\). Établir ensuite que \(I_p = I_r\) pour tout \(p \geq r\). (1 point)
4. Démontrer que \(E = K_r \oplus I_r\). (1,5 point)
5. Exemple : \((e_1, e_2, e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et \(u\) est défini par \(u(e_1) = 0\), \(u(e_2) = e_1\) et \(u(e_3) = e_3\). Déterminer \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\), puis l’entier \(r\) et la décomposition obtenue. Que dire de \(K_1 \cap I_1\) ? (0,5 point)

Réviser sommes directes, dimension et rang avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours sous-espaces vectoriels, sommes et supplémentaires puis bases, dimension et formule de grassmann puis noyau, image et théorème du rang ; entraînez-vous sur les exercices sous-espaces vectoriels, sommes et supplémentaires et bases, dimension et formule de grassmann et noyau, image et théorème du rang avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

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