QCM : Lois internes, groupes et anneaux en maths sup (MPSI)

Réponse B.

Une loi interne sur \(\mathbb{N}\) doit renvoyer un entier naturel pour tout couple. Or \(a+2b\) est bien un entier positif. En revanche, \(a-b\) sort de \(\mathbb{N}\) dès que \(a<b\), par exemple \(1-3=-2\). De même, \(\frac{3}{2}\) montre que le quotient \(\frac{a}{b+1}\) échoue. Enfin, \(\sqrt{2\times 1}\) est irrationnel : tester un seul couple bien choisi suffit à exclure une loi.

Réponse C.

On cherche \(e\) tel que \(a+e-3=a\) pour tout \(a\), donc \(e=3\). Ensuite, le symétrique \(a^{\prime}\) vérifie \(a+a^{\prime}-3=3\), ainsi \(a^{\prime}=6-a\). La réponse avec \(0\) et \(-a\) recopie l’addition usuelle sans tenir compte du décalage. Quant à \(3-a\), elle résout \(a\star a^{\prime}=0\) au lieu de viser le neutre \(3\).

Réponse D.

La caractérisation demande une partie non vide, stable par \((x,y)\mapsto xy^{-1}\). La version avec \(e\) et le seul produit oublie les inverses : en effet, \(\mathbb{N}\) contient \(0\), est stable par addition, mais n’est pas un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\). La stabilité par inverse seule ne garantit pas la stabilité par produit. Enfin, sans non-vacuité, l’ensemble vide vérifierait la condition.

Réponse A.

Le cercle unité contient \(1\), et \(|z\bar{w}|=1\) dès que \(|z|=|w|=1\) : c’est donc un sous-groupe. Le cercle de rayon \(2\) ne contient pas \(1\) et n’est pas stable, car un produit y a pour module \(4\). Le disque épointé est stable par produit, cependant l’inverse de \(\frac{1}{2}\) vaut \(2\). Enfin, \(\mathbb{R}_-^*\) échoue puisque \((-1)\times(-1)=1\).

Réponse D.

On applique d’abord \(\tau\), puis \(\sigma\). Ainsi \(1\) reste \(1\) par \(\tau\), puis devient \(2\). Ensuite \(2\) devient \(3\), que \(\sigma\) laisse fixe. Enfin \(3\) donne \(2\), puis \(1\). Le cycle \(1\mapsto 3\mapsto 2\mapsto 1\) correspond à \(\tau\circ\sigma\) : il vient d’une composition lue de gauche à droite. Par conséquent \(S_3\) n’est pas commutatif.

Réponse C.

Dans un groupe produit, on calcule composante par composante, chacune avec sa propre loi. Le neutre est donc \((1,0)\). Pour la loi multiplicative, l’inverse de \(2\) est \(\frac{1}{2}\) ; pour l’addition, le symétrique de \(3\) est \(-3\). La réponse \((-2,-3)\) prend l’opposé partout. À l’inverse, \(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)\) inverse partout, alors que \(\frac{1}{3}\notin\mathbb{Z}\).

Réponse A.

Le noyau contient les \(n\) tels que \(i^n=1\), le neutre d’arrivée. Or \(i^n=1\) exactement quand \(4\) divise \(n\), donc \(\ker f=4\mathbb{Z}\). Les puissances de \(i\) parcourent ensuite quatre valeurs. Répondre \(\{0\}\) suppose \(f\) injective, ce que contredit \(i^4=1\). La réponse \(2\mathbb{Z}\) confond \(i^2=-1\) avec le neutre. Enfin, une image égale à \(\mathbb{C}^*\) est impossible pour un ensemble fini de valeurs.

Réponse B.

L’exponentielle est un morphisme bijectif de \((\mathbb{R},+)\) sur \((\mathbb{R}_+^*,\times)\), de réciproque \(\ln\). En revanche, \(\mathbb{R}^*\) contient \(-1\), qui vérifie \((-1)^2=1\) sans être le neutre, ce qui n’a pas d’analogue dans \((\mathbb{R},+)\). De même, \(i\) est d’ordre \(4\) dans \(\mathbb{U}\). Enfin, \(\mathbb{Z}\) est engendré par \(1\), alors qu’aucun rationnel n’engendre \(\mathbb{Q}\) : l’avoir en bijection ne suffit pas.

Réponse D.

Le neutre multiplicatif est \((1,1)\). Ainsi \((a,b)\) est inversible si et seulement si \(a\) et \(b\) le sont dans \(\mathbb{Z}\), donc valent \(\pm 1\) indépendamment : quatre couples. Garder seulement \((1,1)\) et \((-1,-1)\) lie à tort les deux signes. La condition \(a\neq 0\), \(b\neq 0\) raisonne comme dans un corps, alors que \(2\) n’a pas d’inverse dans \(\mathbb{Z}\). Par ailleurs, \((1,0)(0,1)=(0,0)\) : cet anneau n’est pas intègre.

Réponse A.

La première colonne de \(B\) est \(e_1\), et \(Ae_1=0\) ; de plus la seconde colonne de \(B\) est nulle, donc \(AB=0\). Ensuite, \(B\) garde la première ligne de \(A\) et annule la seconde, ainsi \(BA=A\). Les réponses symétriques supposent que les matrices commutent. Ce calcul montre deux faits à retenir : \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) n’est pas commutatif, et un produit nul n’impose pas qu’un facteur soit nul.

Réponse C.

Un morphisme d’anneaux respecte la somme, le produit et envoie \(1\) sur \(1\). La conjugaison vérifie ces trois propriétés. L’application \(z\mapsto 2z\) est additive, cependant \(2(zw)\neq(2z)(2w)\) en général et l’image de \(1\) vaut \(2\). L’application nulle respecte somme et produit, mais oublie la condition sur \(1\). Enfin, le module est multiplicatif sans être additif : \(|1+(-1)|=0\neq 2\).

Réponse B.

Pour \(a+b\sqrt{2}\neq 0\), on multiplie par la quantité conjuguée : l’inverse vaut \(\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\), avec \(a^2-2b^2\neq 0\) car \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Il reste dans l’ensemble, qui est donc un corps. Avec des coefficients entiers, on obtient seulement un sous-anneau, puisque \(\frac{1}{2}\) n’y est pas. Le produit \(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\) n’est pas intègre. Enfin, \(\mathcal{M}_2(\mathbb{Q})\) contient des matrices non nulles non inversibles.