Lois internes, groupes et anneaux en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Une loi de composition interne sur un ensemble \(E\) est une application \(\star : E \times E \to E\). On note \(x \star y\) l’image du couple \((x,y)\). La loi est associative si \((x \star y) \star z=x \star (y \star z)\) pour tous \(x,y,z\). Elle est commutative si \(x \star y=y \star x\) pour tous \(x,y\).

Un élément \(e \in E\) est neutre si \(e \star x=x \star e=x\) pour tout \(x \in E\). Si un neutre \(e\) existe, un élément \(x\) est inversible (ou symétrisable) s’il existe \(y\) tel que \(x \star y=y \star x=e\).

Le neutre, s’il existe, est unique. Si la loi est associative, l’inverse d’un élément inversible est unique ; on le note \(x^{-1}\).

Soient \(e\) et \(e^{\prime}\) deux neutres. Alors \(e \star e^{\prime}\) vaut \(e^{\prime}\), car \(e\) est neutre. Elle vaut aussi \(e\), car \(e^{\prime}\) est neutre. Donc \(e=e^{\prime}\). Ensuite, soient \(y\) et \(y^{\prime}\) deux inverses de \(x\). Par associativité :

\[y=y \star e=y \star (x \star y^{\prime})=(y \star x) \star y^{\prime}=e \star y^{\prime}=y^{\prime}.\]

Sur \(E=\,]1,+\infty[\), posons \(x \star y=xy-x-y+2\). On remarque d’abord que \(x \star y=(x-1)(y-1)+1\). Comme \((x-1)(y-1)>0\), on a bien \(x \star y \in E\) : la loi est interne. Ensuite, \(x \star 2=(x-1)+1=x\), donc 2 est neutre. Enfin, \(x \star y=2\) équivaut à \((x-1)(y-1)=1\). Ainsi, tout \(x\) admet l’inverse \(y=1+\frac{1}{x-1}\), qui appartient bien à \(E\).

Une partie \(A\) de \(E\) est stable par \(\star\) si \(x \star y \in A\) pour tous \(x,y \in A\). La restriction de \(\star\) à \(A \times A\) est alors une loi interne sur \(A\), appelée loi induite.

Un groupe est un couple \((G,\star)\) où \(\star\) est une loi interne associative sur \(G\), qui possède un neutre, et pour laquelle tout élément est inversible. Le groupe est dit abélien si la loi est de plus commutative.

Dans un groupe \((G,\cdot)\), pour tous \(x,y,a\) :

• \((xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}\), dans cet ordre ;
• \(ax=ay\) entraîne \(x=y\), et \(xa=ya\) entraîne \(x=y\) : on peut simplifier ;
• l’équation \(ax=b\) admet l’unique solution \(x=a^{-1}b\).

Pour un groupe abélien, on adopte souvent la notation additive. Le produit \(xy\) devient alors \(x+y\), le neutre se note 0, et l’inverse \(x^{-1}\) devient l’opposé \(-x\). De même, la puissance \(x^n\) s’écrit \(nx\). Ainsi, la règle \(x^{m+n}=x^mx^n\) se lit \((m+n)x=mx+nx\). Il s’agit seulement d’une écriture : les axiomes restent identiques.

Si \((G,\star)\) et \((H,\ast)\) sont des groupes, on munit \(G \times H\) de la loi \((g,h)\cdot(g^{\prime},h^{\prime})=(g \star g^{\prime},\,h \ast h^{\prime})\). On obtient un groupe, appelé groupe produit. Son neutre est \((e_G,e_H)\), et l’inverse de \((g,h)\) est \((g^{-1},h^{-1})\).

Pour un ensemble \(E\), on note \(\mathcal{S}_E\) l’ensemble des bijections de \(E\) dans \(E\). Muni de la composition \(\circ\), c’est un groupe, appelé groupe des permutations de \(E\). On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe des permutations de \(\{1,\dots,n\}\) ; il possède \(n!\) éléments.

Soit \((G,\cdot)\) un groupe. Une partie \(H\) de \(G\) est un sous-groupe si elle contient le neutre, si elle est stable par produit et si elle est stable par passage à l’inverse. Muni de la loi induite, \(H\) est alors lui-même un groupe.

Pour qu’une partie \(H\) de \(G\) soit un sous-groupe, il faut et il suffit que \(H\) soit non vide et que \(xy^{-1}\) reste dans \(H\) dès que \(x\) et \(y\) y sont.

Le sens direct est immédiat. Réciproquement, prenons \(a \in H\), ce qui est possible car \(H\) est non vide. Alors \(e=aa^{-1} \in H\). Ensuite, pour \(y \in H\), on obtient \(y^{-1}=ey^{-1} \in H\). Enfin, pour \(x,y \in H\), on a \(xy=x(y^{-1})^{-1} \in H\). L’associativité, quant à elle, est héritée de \(G\).

Pour montrer que \(H\) est un sous-groupe de \((G,\cdot)\) :

1. vérifier que \(H \subset G\) : c’est souvent oublié ;
2. montrer que \(H\) est non vide, en général en vérifiant \(e \in H\) ;
3. prendre \(x\) et \(y\) quelconques dans \(H\) et prouver \(xy^{-1} \in H\) ;
4. en notation additive, la condition devient \(x-y \in H\).

Soit \(H=\{2^k3^\ell : k,\ell \in \mathbb{Z}\}\). Montrons que c’est un sous-groupe de \((\mathbb{Q}_+^*,\times)\). D’abord, \(H \subset \mathbb{Q}_+^*\) et \(1=2^03^0 \in H\). Ensuite, pour \(x=2^k3^\ell\) et \(y=2^m3^n\) dans \(H\) :

\[xy^{-1}=2^{k-m}\,3^{\ell-n},\quad\text{avec } k-m \in \mathbb{Z} \text{ et } \ell-n \in \mathbb{Z}.\]

Donc \(xy^{-1} \in H\), et \(H\) est un sous-groupe. On remarque qu’il ne contient pas 5, ni \(\frac{1}{5}\).

Réunir deux sous-groupes ne fournit presque jamais un sous-groupe. Ainsi, \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) contient 2 et 3, mais pas leur somme 5. En revanche, une intersection de sous-groupes est toujours un sous-groupe.

On se donne deux groupes \((G,\cdot)\) et \((G^{\prime},\ast)\). On dit que \(f : G \to G^{\prime}\) est un morphisme de groupes lorsque \(f(xy)=f(x) \ast f(y)\), quels que soient \(x\) et \(y\) dans \(G\). Son noyau est \(\mathrm{Ker}\,f=\{x \in G : f(x)=e^{\prime}\}\). Son image est \(\mathrm{Im}\,f=f(G)\).

• \(f(e)=e^{\prime}\) et \(f(x^{-1})=f(x)^{-1}\) pour tout \(x \in G\).
• Si \(H\) est un sous-groupe de \(G\), alors \(f(H)\) en est un de \(G^{\prime}\). Dans l’autre sens, si \(H^{\prime}\) est un sous-groupe de \(G^{\prime}\), alors \(f^{-1}(H^{\prime})\) en est un de \(G\).
• Avec \(H=G\) et \(H^{\prime}=\{e^{\prime}\}\), on voit que l’image et le noyau sont des sous-groupes, respectivement de \(G^{\prime}\) et de \(G\).

Un morphisme \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker}\,f=\{e\}\).

Si \(f\) est injectif, seul \(e\) a pour image \(e^{\prime}\), car \(f(e)=e^{\prime}\). Réciproquement, supposons \(\mathrm{Ker}\,f=\{e\}\) et \(f(x)=f(y)\). Alors \(f(xy^{-1})=f(x) \ast f(y)^{-1}=e^{\prime}\). Donc \(xy^{-1} \in \mathrm{Ker}\,f\), d’où \(xy^{-1}=e\), puis \(x=y\).

1. Vérifier la relation de morphisme en écrivant les deux lois explicitement.
2. Pour le noyau, résoudre l’équation \(f(x)=e^{\prime}\), avec le neutre d’arrivée.
3. Pour l’image, partir d’un élément \(y\) de \(G^{\prime}\) et chercher un antécédent.
4. Conclure : noyau trivial donne l’injectivité, image égale à \(G^{\prime}\) donne la surjectivité.

Soit \(f : (\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C}^*,\times)\) définie par \(f(t)=e^{(1+i)t}\). D’abord, \(f(s+t)=f(s)f(t)\), donc \(f\) est un morphisme. Ensuite, \(f(t)=1\) impose \(|f(t)|=e^t=1\), donc \(t=0\). Ainsi \(\mathrm{Ker}\,f=\{0\}\), et \(f\) est injectif. Enfin, l’image est une spirale : c’est un sous-groupe de \(\mathbb{C}^*\), mais pas \(\mathbb{C}^*\) entier.

Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif. Sa réciproque est alors automatiquement un morphisme. Quand un tel morphisme bijectif relie \(G\) à \(G^{\prime}\), on dit que ces groupes sont isomorphes.

Pour prouver qu’une loi étrange fait de \(E\) un groupe, on cherche une bijection \(\varphi\) vers un groupe connu \((G,\cdot)\) telle que \(\varphi(x \star y)=\varphi(x)\varphi(y)\). La structure est alors « transportée ». Dans l’exemple de la partie 1, \(\varphi(x)=x-1\) envoie \((]1,+\infty[,\star)\) sur \((\mathbb{R}_+^*,\times)\). Donc \(\star\) est une loi de groupe.

• \(\exp : (\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R}_+^*,\times)\) est un isomorphisme, de réciproque \(\ln\).
• \(\theta \mapsto e^{i\theta}\), de \((\mathbb{R},+)\) vers \((\mathbb{U},\times)\), est surjectif, de noyau \(2\pi\mathbb{Z}\).
• \(z \mapsto |z|\), de \((\mathbb{C}^*,\times)\) vers \((\mathbb{R}_+^*,\times)\), est surjectif, de noyau \(\mathbb{U}\).
• \(z \mapsto z^n\), de \((\mathbb{C}^*,\times)\) dans lui-même, est surjectif, de noyau \(\mathbb{U}_n\).
• \(k \mapsto a^k\), de \((\mathbb{Z},+)\) vers un groupe \((G,\cdot)\), est un morphisme pour tout \(a \in G\).

Étudions \(\psi : (\mathbb{R}^*,\times) \to (\mathbb{R}^*,\times)\), \(x \mapsto x^4\). D’abord, \((xy)^4=x^4y^4\), donc \(\psi\) est un morphisme. Ensuite, \(x^4=1\) équivaut à \(x=\pm 1\) dans \(\mathbb{R}\). Ainsi \(\mathrm{Ker}\,\psi=\{-1,1\}\), et \(\psi\) n’est pas injectif. Enfin, une puissance quatrième est strictement positive, et tout \(y>0\) vaut \(\big(y^{1/4}\big)^4\). Par conséquent, \(\mathrm{Im}\,\psi=\mathbb{R}_+^*\). On remarque le contraste avec \(\mathbb{C}^*\) : là, le noyau a quatre éléments et l’image est tout \(\mathbb{C}^*\).

Un anneau est un triplet \((A,+,\times)\) tel que \((A,+)\) est un groupe abélien de neutre \(0_A\), la loi \(\times\) est associative et possède un neutre \(1_A\), et \(\times\) est distributive à gauche et à droite sur \(+\). L’anneau est commutatif si \(\times\) l’est.

Dans un anneau \(A\), pour tous \(a,b \in A\) et tout \(n \in \mathbb{N}\) :

• \(0_A \times a=a \times 0_A=0_A\) et \((-a)b=a(-b)=-(ab)\) ;
• si \(ab=ba\), alors \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\) ;
• si \(ab=ba\), alors \(a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}\).

Calculons dans l’anneau des matrices carrées de taille 2, avec la règle « ligne par colonne ». Posons :

\[a=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix},\qquad ab=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 3 & 0\end{pmatrix},\qquad ba=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 3 & 6\end{pmatrix}.\]

Ainsi \(ab \neq ba\). Par conséquent, \((a+b)^2-(a^2+2ab+b^2)=ba-ab\), qui n’est pas nulle.

Pour calculer sans erreur dans un anneau non commutatif :

1. développer en conservant l’ordre des facteurs, terme par terme ;
2. repérer les couples qui commutent, par exemple \(a\) et ses puissances, ou \(a\) et \(1\) ;
3. n’utiliser le binôme ou la factorisation de \(a^n-b^n\) qu’entre éléments qui commutent ;
4. pour prouver qu’un élément \(u\) est inversible, vérifier \(uv=1\) et \(vu=1\).

Soit \(u\) un élément d’un anneau tel que \(u^3=0\). Montrons que \(1+u\) est inversible. Comme \(1\) et \(u\) commutent, on peut factoriser : \((1+u)(1-u+u^2)=1+u^3=1\). De même, \((1-u+u^2)(1+u)=1\). Ainsi, \(1+u\) est inversible, d’inverse \(1-u+u^2\). Par exemple, la matrice de taille 2 dont la seule entrée non nulle est un 5 en haut à droite a un carré nul.

L’ensemble \(A^\times\) des éléments inversibles pour \(\times\) d’un anneau \(A\) est un groupe pour la multiplication. On l’appelle groupe des inversibles de \(A\).

Cherchons les inversibles de \(\mathbb{Z}[i]=\{a+ib : a,b \in \mathbb{Z}\}\). Pour \(z\) dans cet anneau, posons \(N(z)=|z|^2=a^2+b^2 \in \mathbb{N}\). On a \(N(zw)=N(z)N(w)\). Si \(zw=1\), alors \(N(z)N(w)=1\), donc \(N(z)=1\). Les solutions de \(a^2+b^2=1\) sont \((\pm 1,0)\) et \((0,\pm 1)\). Réciproquement, ces quatre éléments sont inversibles. Ainsi \(\mathbb{Z}[i]^\times=\{1,-1,i,-i\}\).

On dit que \(A\) est intègre lorsque trois conditions sont réunies : \(A\) est commutatif, \(0_A \neq 1_A\), et un produit \(ab\) n’est nul que si l’un des deux facteurs l’est. Un élément \(a \neq 0\) tel qu’il existe \(b \neq 0\) avec \(ab=0\) est un diviseur de zéro.

L’anneau \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\) n’est pas intègre. Prenons \(u\) nulle sur \([0,+\infty[\) et \(v\) nulle sur \(]-\infty,0]\), toutes deux non nulles. Alors \(uv\) est la fonction nulle, comme le montre la figure.

Une partie \(B\) de l’anneau \(A\) mérite le nom de sous-anneau lorsqu’elle contient \(1_A\) et qu’elle reste stable par différence et par produit. Une application \(f : A \to A^{\prime}\) entre anneaux est un morphisme d’anneaux si elle respecte la somme et le produit, et si \(f(1_A)=1_{A^{\prime}}\).

On appelle corps tout anneau commutatif \(K\) vérifiant \(1_K \neq 0_K\), et dont chaque élément autre que \(0_K\) admet un inverse pour \(\times\). Cela s’écrit \(K^\times=K \setminus \{0\}\).

Un corps n’a aucun diviseur de zéro : c’est donc un anneau intègre. En effet, si \(ab=0\) et \(a \neq 0\), on multiplie par \(a^{-1}\) et on obtient \(b=0\).

Pour vérifier qu’une partie \(K\) d’un corps connu \(L\) est un corps :

1. montrer que \(K\) est un sous-anneau de \(L\) : il contient 1 et il est stable par différence et produit ;
2. prendre \(x \in K\) non nul et exhiber son inverse dans \(L\) ;
3. prouver que cet inverse appartient à \(K\) ; la commutativité est héritée de \(L\).

Soit \(K=\{a+b\sqrt{7} : a,b \in \mathbb{Q}\}\). Comme pour \(\mathbb{Z}[\sqrt{3}]\), c’est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\). Soit \(x=a+b\sqrt{7}\) non nul. Si \(a^2-7b^2\) était nul avec \(b \neq 0\), on aurait \(\sqrt{7}=|a/b| \in \mathbb{Q}\), ce qui est faux. Si \(b=0\), alors \(a \neq 0\). Dans tous les cas, \(a^2-7b^2 \neq 0\), et :

\[\frac{1}{a+b\sqrt{7}}=\frac{a}{a^2-7b^2}-\frac{b}{a^2-7b^2}\sqrt{7} \in K.\]

Par conséquent, \(K\) est un corps.

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