Inégalités par Rolle et par convexité : contrôle de maths en MPSI

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Ce qu’évalue le contrôle : inégalités par Rolle et par convexité

Le sujet du contrôle : inégalités par Rolle et par convexité

Exercice 1 – Trois zéros, pas un de plus (4 points)

On définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(h : x \mapsto \mathrm{e}^{x} – (1 + x)^2\). On admet en outre que \(2{,}7 < \mathrm{e} < 2{,}8\). Par ailleurs, la figure ci-dessous donne l’allure de la courbe de \(h\) sur \(\left[-2{,}5\,;3\right]\).

1. Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(p\) réels distincts, avec \(p \geq 2\). Démontrer alors que \(f^{\prime}\) s’annule en au moins \(p – 1\) réels distincts. (1 point)
2. Calculer \(h^{\prime\prime\prime}\). En déduire, à l’aide de la question 1, que \(h\) possède au plus trois zéros réels. (1 point)
3. Montrer ensuite que \(h\) admet exactement trois zéros : \(0\), un réel \(\alpha \in \left]-2\,;-1\right[\) et un réel \(\beta \in \left]2\,;3\right[\). (1,5 point)
4. Déterminer alors le signe de \(h\) sur \(\left]0\,;\beta\right[\), puis comparer \(\mathrm{e}^{x}\) et \((1 + x)^2\) sur cet intervalle. (0,5 point)

Exercice 2 – Une racine carrée contractante (4 points)

On pose \(I = \left[-2\,;+\infty\right[\) et, pour \(x \in I\), \(g(x) = \sqrt{x + 6}\). On étudie ensuite la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = g(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\). Enfin, la figure représente la courbe de \(g\), la droite d’équation \(y = x\) et la construction en escalier des premiers termes.

1. Montrer que \(g(I) \subset I\), puis que \(g\) est \(\frac{1}{4}\)-lipschitzienne sur \(I\). (1 point)
2. Démontrer que \(3\) est l’unique point fixe de \(g\) dans \(I\). (0,5 point)
3. Établir que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in I\) et \(\left|u_n – 3\right| \leq \frac{3}{4^n}\). Que peut-on en conclure sur la suite \((u_n)\) ? (1,5 point)
4. Déterminer un rang \(N\) à partir duquel \(u_n\) est une valeur approchée de \(3\) à \(10^{-3}\) près, sans calculer aucun terme. (1 point)

Exercice 3 – Jensen, moyennes et boîte de volume fixé (4 points)

Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2. On rappelle l’inégalité de Jensen à poids égaux : si \(\varphi\) est convexe sur un intervalle \(J\) et si \(t_1, \ldots, t_n\) sont des points de \(J\), alors

\[\varphi\left(\frac{t_1 + \cdots + t_n}{n}\right) \leq \frac{\varphi(t_1) + \cdots + \varphi(t_n)}{n}.\]

1. Montrer que \(\ln\) est concave sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). En déduire que, pour tous réels strictement positifs \(x_1, \ldots, x_n\), on a \(\left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)^{1/n} \leq \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\). (1 point)
2. Une boîte en forme de pavé droit, de dimensions \(a\), \(b\) et \(c\) en centimètres, doit contenir exactement \(27\text{ cm}^3\). Montrer que l’aire totale de ses six faces vaut au moins \(54\text{ cm}^2\), puis préciser une boîte pour laquelle cette valeur est atteinte. (1 point)
3. On considère \(\psi : t \mapsto \ln\left(1 + \mathrm{e}^{t}\right)\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(\psi\) est convexe, puis en déduire que, pour tous réels strictement positifs \(y_1, \ldots, y_n\), on a

   \[1 + \left(y_1 \cdots y_n\right)^{1/n} \leq \Big((1 + y_1) \cdots (1 + y_n)\Big)^{1/n}.\]

   (1,5 point)

4. Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels strictement positifs tels que \(abc = 1\). Prouver que \((1 + a)(1 + b)(1 + c) \geq 8\). (0,5 point)

Exercice 4 – Arc tangente entre corde et tangente (3 points)

On étudie la fonction \(\arctan\) sur l’intervalle \(\left[0\,;+\infty\right[\), sans utiliser de développement limité.

1. Montrer que \(\arctan\) est concave sur \(\left[0\,;+\infty\right[\). (1 point)
2. Prouver que, pour tout \(x \in [0\,;1]\), on a \(\frac{\pi}{4}\,x \leq \arctan x \leq x\). Nommer aussi la propriété de cours utilisée pour chaque inégalité. (1 point)
3. Démontrer que \(t \mapsto \frac{\arctan t}{t}\) est décroissante sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) grâce aux pentes de la courbe. En déduire que \(\arctan t \leq \frac{\pi}{4}\,t\) pour tout \(t \geq 1\). (1 point)

Exercice 5 – Problème : l’écart entre une courbe et sa corde (5 points)

Soient \(a < b\) deux réels et \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur \([a\,;b]\). On note ensuite \(L\) la fonction affine telle que \(L(a) = f(a)\) et \(L(b) = f(b)\) : sa courbe est la corde de \(f\) entre \(a\) et \(b\). La figure illustre la partie B, avec \(f = \ln\) sur \([1\,;2]\).

Partie A : une majoration de l’écart

1. Soit \(x_0 \in \left]a\,;b\right[\). On choisit le réel \(K\) tel que la fonction \(\varphi : t \mapsto f(t) – L(t) – K(t – a)(t – b)\) vérifie \(\varphi(x_0) = 0\). Justifier d’abord l’existence de \(K\). Montrer ensuite qu’il existe \(c \in \left]a\,;b\right[\) tel que \(f(x_0) – L(x_0) = \frac{f^{\prime\prime}(c)}{2}(x_0 – a)(x_0 – b)\). (1,5 point)
2. Justifier l’existence de \(M = \max_{[a,b]} \left|f^{\prime\prime}\right|\), puis établir que, pour tout \(x \in [a\,;b]\), \(\left|f(x) – L(x)\right| \leq \frac{M}{2}(x – a)(b – x)\). (0,5 point)
3. On suppose ici \(f^{\prime\prime} \geq 0\) sur \([a\,;b]\). Retrouver, à partir de la question 1, la position de la courbe de \(f\) par rapport à sa corde, et relier ce résultat à la convexité. (1 point)

Partie B : applications

1. On prend \(f = \ln\), \(a = 1\) et \(b = 2\). Expliciter \(L\), puis démontrer l’encadrement \(\frac{3}{2}\ln 2 + \frac{1}{32} \leq \ln 3 \leq \frac{3}{2}\ln 2 + \frac{1}{8}\). (1,5 point)
2. En étudiant \(f : x \mapsto x^2\), montrer que la constante \(\frac{1}{2}\) de la question A.2 ne peut pas être remplacée par une constante plus petite. (0,5 point)

Réviser inégalités par Rolle et par convexité avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours dérivabilité, rolle et accroissements finis puis fonctions convexes et inégalités de convexité ; entraînez-vous sur les exercices dérivabilité, rolle et accroissements finis et fonctions convexes et inégalités de convexité avant de retenter le sujet.

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