Rolle et accroissements finis en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Raccord, valeur absolue et tangentes

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) qui vaut \(x^2\) pour \(x \leqslant 1\) et \(2x – 1\) pour \(x > 1\).

1. Prouver que \(f\) admet un nombre dérivé en 1, puis écrire une équation de sa tangente au point d’abscisse 1.
2. Étudier la dérivabilité en 0 de \(k : x \mapsto \sqrt{|x|}\,\sin x\).
3. Étudier la dérivabilité en 2 de \(j : x \mapsto |x^2 – 4|\). Donner les demi-tangentes à gauche et à droite.

Exercice 2 – Dérivée de la réciproque de x + exp(x)

Pour \(x\) réel, on pose \(f(x) = x + e^x\).

1. Prouver que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) dans lui-même ; sa réciproque sera notée \(g\).
2. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(g^{\prime}(y)\) en fonction de \(y\) et de \(g(y)\).
3. Calculer \(g^{\prime}(1)\) et \(g^{\prime}(1 + e)\).
4. Justifier que \(g\) est deux fois dérivable et calculer \(g^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 3 – Points critiques d’une fonction polynomiale

Soit \(f(x) = x^4 – 4x^3 + 10\), étudiée sur le segment \([-1, 4]\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Pour chacun d’eux, dire s’il s’agit d’un extremum local, en étudiant le signe de \(f^{\prime}\).
3. Donner les valeurs extrêmes de \(f\) sur \([-1,4]\) en précisant où elles sont prises. Expliquer pourquoi la dérivée ne s’annule pas en l’un de ces points.

La courbe de \(f\) sur \([-1,4]\) est donnée ci-dessous pour contrôler les résultats.

Exercice 4 – Dérivées successives d’un produit

1. Soit \(n \geqslant 3\). Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(u : x \mapsto x^3 e^{2x}\), mise sous la forme \(2^{n-3}e^{2x}Q_n(x)\) avec \(Q_n\) un polynôme de degré 3.
2. En déduire \(u^{(n)}(0)\).
3. Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(w : x \mapsto x^2 \cos x\), pour \(n \geqslant 2\), en utilisant \(\cos^{(j)}(x) = \cos\left(x + j\frac{\pi}{2}\right)\).

Exercice 5 – Encadrer une valeur de l’arctangente

1. Montrer que pour tous réels \(x\) et \(y\), \(|\arctan x – \arctan y| \leqslant |x – y|\).
2. Soit \(0 < a < b\). Montrer que \[\frac{b-a}{1+b^2} < \arctan b – \arctan a < \frac{b-a}{1+a^2}.\]
3. En déduire l’encadrement \(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{5}{61} < \arctan\dfrac{6}{5} < \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{10}\).

Pour s’entraîner

Exercice 6 – Les solutions de l’équation 2^x = x^2

On note \(\varphi(x) = 2^x – x^2\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Calculer \(\varphi^{\prime\prime\prime}\). Combien de solutions l’équation \(2^x = x^2\) peut-elle avoir, au maximum ?
2. Trouver deux solutions évidentes.
3. Montrer qu’il existe une troisième solution, strictement négative, et la situer dans un intervalle de longueur \(\frac{1}{2}\).
4. Conclure sur le nombre de solutions.

Les deux courbes sont tracées ci-dessous.

Exercice 7 – Racines des polynômes de Legendre

Soit \(n \geqslant 1\), \(P_n(x) = (x^2-1)^n\) et \(L_n = P_n^{(n)}\).

1. Montrer que \(L_n\) est un polynôme de degré \(n\) et préciser son coefficient dominant.
2. En écrivant \(P_n = (x-1)^n (x+1)^n\) et en utilisant la formule de Leibniz, montrer que \(P_n^{(k)}(1) = P_n^{(k)}(-1) = 0\) pour \(0 \leqslant k \leqslant n-1\).
3. Établir par récurrence sur \(k \in [\![1,n]\!]\) que \(P_n^{(k)}\) s’annule en \(k\) points distincts au moins de l’ouvert \(]-1, 1[\).
4. Conclure : \(L_n\) possède \(n\) racines réelles distinctes, simples, qui appartiennent toutes à \(]-1,1[\).

Exercice 8 – Encadrement des sommes harmoniques

Pour \(n \geqslant 1\), on note \(H_n\) la somme des inverses des entiers de 1 à \(n\).

1. Établir, pour chaque réel \(x > 0\), l’encadrement \(\dfrac{1}{x+1} < \ln(x+1) – \ln x < \dfrac{1}{x}\).
2. En déduire que \(\ln(n+1) < H_n\) pour \(n \geqslant 1\), et \(H_n < 1 + \ln n\) pour \(n \geqslant 2\).
3. Déterminer la limite de \(\dfrac{H_n}{\ln n}\).
4. Prouver que \((v_n)\), où \(v_n = H_n – \ln n\), décroît et reste positive. Que peut-on en conclure ?

Exercice 9 – Point fixe d’une fonction contractante

Soit \(g(x) = 2 + \frac{1}{3}\cos x\) et la suite définie par \(u_0 = 1{,}5\) et \(u_{n+1} = g(u_n)\).

1. Montrer que \(g(\mathbb{R}) \subset \left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]\).
2. Montrer que \(g\) est \(\frac{1}{3}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
3. Prouver que \(g\) possède un point fixe et un seul, noté \(\ell\), situé dans \(\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{3}\right]\).
4. Établir que \(|u_n – \ell| \leqslant \left(\frac{1}{3}\right)^n |u_0 – \ell|\) et en déduire la limite de \((u_n)\).
5. Trouver un entier \(N\) tel que, dès que \(n \geqslant N\), l’erreur \(|u_n – \ell|\) soit inférieure à \(10^{-6}\).

Exercice 10 – Lipschitzienne ou non

1. Soit \(f\) dérivable et \(k\)-lipschitzienne sur un intervalle \(I\). Montrer que \(|f^{\prime}| \leqslant k\) sur \(I\).
2. Montrer que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne sur \([1, +\infty[\).
3. Montrer que \(x \mapsto x^2\) est 6-lipschitzienne sur \([-3, 3]\), mais qu’elle n’est lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\) pour aucune constante.
4. Montrer que \(x \mapsto \sin(x^2)\) est bornée et de classe C1 sur \(\mathbb{R}\), mais n’est pas lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
5. Soit \(f\) \(k\)-lipschitzienne et \(h\) \(k^{\prime}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(h \circ f\) est \(kk^{\prime}\)-lipschitzienne.

Exercice 11 – Une fonction de classe C1 sans dérivée seconde en 0

On note \(f\) la fonction égale à \(x^3 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) hors de 0, et nulle en 0.

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x \neq 0\), puis montrer que \(f\) est de classe C1 sur \(\mathbb{R}\).
3. Montrer que \(f^{\prime}\) n’est pas dérivable en 0.

Exercice 12 – Fonction auxiliaire exponentielle

Soit \(a < b\) et \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \(f(a) = f(b) = 0\).

1. Pour un réel \(\lambda\) fixé, établir l’existence de \(c \in \,]a,b[\) vérifiant \(f^{\prime}(c) = \lambda f(c)\). Indication : étudier \(x \mapsto e^{-\lambda x} f(x)\).
2. Prouver que \(f^{\prime}(d) + d\,f(d) = 0\) pour au moins un \(d \in \,]a,b[\).
3. Dans le cas où \(a > 0\), trouver de même un point \(e \in \,]a,b[\) où \(e\,f^{\prime}(e) = 2f(e)\).

Exercice 13 – Exponentielles complexes et dérivation

1. Soit \(f(t) = e^{it}\) sur \([0, 2\pi]\). Vérifier qu’aucun \(c \in \,]0, 2\pi[\) ne satisfait \(f(2\pi) – f(0) = 2\pi f^{\prime}(c)\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculer la dérivée \(n\)-ième de \(t \mapsto e^{(1+i)t}\). En déduire que la dérivée \(n\)-ième de \(t \mapsto e^t \cos t\) vaut \(2^{n/2} e^t \cos\left(t + \frac{n\pi}{4}\right)\).
3. En utilisant la version complexe de la majoration des accroissements, prouver que \(|e^{ix} – e^{iy}| \leqslant |x – y|\) pour tous réels \(x\), \(y\).
4. Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(t \mapsto t\,e^{it}\).

Pour approfondir

Exercice 14 – Erreur d’interpolation affine

Soit \(a < b\) et \(f\) de classe C2 sur \([a,b]\). On note \(M_2 = \max_{[a,b]} |f^{\prime\prime}|\) et \(P\) la fonction affine telle que \(P(a) = f(a)\) et \(P(b) = f(b)\). On fixe \(x \in \,]a,b[\).

1. Justifier qu’il existe un unique réel \(A\) tel que \(\psi(t) = f(t) – P(t) – A(t-a)(t-b)\) vérifie \(\psi(x) = 0\).
2. Montrer que \(\psi\) s’annule en trois points, puis qu’il existe \(c \in \,]a,b[\) tel que \(\psi^{\prime\prime}(c) = 0\).
3. Exprimer alors \(f(x) – P(x)\) à l’aide de \(f^{\prime\prime}(c)\) : on doit trouver \(\dfrac{(x-a)(x-b)}{2} f^{\prime\prime}(c)\).
4. Établir la majoration uniforme \(|f(x) – P(x)| \leqslant \dfrac{(b-a)^2}{8} M_2\) sur \([a,b]\).
5. Application : prouver, pour \(x\) dans \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), \(0 \leqslant \sin x – \dfrac{2x}{\pi} \leqslant \dfrac{\pi^2}{32}\).

Exercice 15 – Une fonction plate de classe C infini

La fonction \(f\) vaut \(e^{-1/x}\) sur \(]0, +\infty[\) et 0 sur \(]-\infty, 0]\).

1. Prouver l’existence, pour chaque entier \(n\), d’un polynôme \(R_n\) vérifiant \(f^{(n)}(x) = R_n\left(\frac{1}{x}\right) e^{-1/x}\) sur \(]0, +\infty[\). Donner \(R_{n+1}\) en fonction de \(R_n\), puis \(R_1\) et \(R_2\).
2. Montrer que pour tout polynôme \(R\), \(R\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}\) tend vers 0 quand \(x \to 0^+\).
3. Montrer par récurrence que \(f\) est de classe Cⁿ sur \(\mathbb{R}\) pour tout \(n\), avec \(f^{(n)}(0) = 0\).
4. On pose \(b(x) = f(x)\,f(1-x)\). Montrer que \(b\) est de classe C^∞ sur \(\mathbb{R}\), nulle en dehors de \(]0,1[\) et strictement positive sur \(]0,1[\).

Exercice 16 – Problème : accroissements finis de Cauchy et règle de L’Hospital

Partie A. Soit \(a < b\) et \(f, g\) continues sur \([a,b]\), dérivables sur \(]a,b[\). On pose \(h(x) = \bigl(f(b) – f(a)\bigr)g(x) – \bigl(g(b) – g(a)\bigr)f(x)\).

1. Vérifier que \(h(a) = h(b)\).
2. En déduire l’existence de \(c \in \,]a,b[\) tel que \(\bigl(f(b) – f(a)\bigr)g^{\prime}(c) = \bigl(g(b) – g(a)\bigr)f^{\prime}(c)\).
3. Dans cette question, \(g^{\prime}\) ne prend jamais la valeur 0 sur \(]a,b[\). Prouver que \(g(b) \neq g(a)\) et que \(\dfrac{f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)} = \dfrac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)}\).

Partie B. Soit \(\delta > 0\) et \(f, g\) continues sur \([a, a+\delta]\), dérivables sur \(]a, a+\delta[\), avec \(f(a) = g(a) = 0\) et \(g^{\prime}\) qui ne s’annule pas sur \(]a, a+\delta[\). On suppose que \(\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\) tend vers un réel \(\ell\) quand \(x \to a^+\).

4. Montrer que \(g(x) \neq 0\) pour \(x \in \,]a, a+\delta]\).
5. Montrer que \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\) tend vers \(\ell\) quand \(x \to a^+\).

Partie C. Applications.

6. Déterminer la limite de \(\dfrac{1 – \cos x}{x^2}\), puis celle de \(\dfrac{x – \sin x}{x^3}\), quand \(x \to 0^+\).
7. Déterminer la limite de \(\dfrac{e^x – 1 – x}{x^2}\) quand \(x \to 0^+\).
8. Avec \(f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) et \(g(x) = x\), montrer que \(f(x)/g(x)\) a une limite en \(0^+\) alors que \(f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)\) n’en a pas. Que dire de la réciproque du résultat de la partie B ?

Pour aller plus loin

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